Trong toán học và đặc biệt là trong giải tích hàm, tích chập là 1 phép toán thực hiện đối với 2 hàm số f và g, kết quả cho ra 1 hàm số thứ 3. Phép tích chập khác với tương quan chéo ở chỗ nó cần lật kernel theo chiều ngang và dọc trước khi tính tổng của tích. Nó được ứng dụng trong xác suất, thống kê, thị giác máy tính [computer vision], xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện, học máy, và các phương trình vi phân.
Tích chập của 2 xung vuông, kết quả sóng đầu ra có dạng tam giác.
Tích chập của 1 xung vuông với 1 đáp ứng xung của 1 mạch RC.
Mục lục
- 1 Định nghĩa
- 1.1 Tích chập tuần hoàn
- 2 Tích chập rời rạc
- 3 Tính chất
- 3.1 Đại số
- 4 Tham khảo
- 5 Liên kết ngoài
Định nghĩaSửa đổi
Tích chập của hàm số ƒ và g được viết là ƒg, là 1 phép biến đổi tích phân đặc biệt: [ f g ] [ t ] {\displaystyle [f*g][t]\ \ \,}
= d e f f [ τ ] g [ t τ ] d τ {\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f[\tau ]\,g[t-\tau ]\,d\tau }
= f [ t τ ] g [ τ ] d τ . {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }f[t-\tau ]\,g[\tau ]\,d\tau .}
[giao hoán]
Một cách tổng quát, nếu f và g là hàm số phức trong không gian Rd, thì tích chập của chúng được định nghĩa như sau: [ f g ] [ x ] = R d f [ y ] g [ x y ] d y = R d f [ x y ] g [ y ] d y . {\displaystyle [f*g][x]=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f[y]g[x-y]\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f[x-y]g[y]\,dy.}
Hình ảnh minh họa tích chập.
- Thể hiện mỗi hàm bằng một biến giả τ . {\displaystyle \tau .}
- Lấy đối xứng hàm qua trục tung: g [ τ ] {\displaystyle g[\tau ]}
g [ τ ] . {\displaystyle g[-\tau ].}
- Thêm biến thời gian, t, cho phép g [ t τ ] {\displaystyle g[t-\tau ]}
trượt dọc theo trục τ {\displaystyle \tau }
.
- Bắt đầu t từ - và trượt đến +.
Tích chập tuần hoànSửa đổi
Nếu hàm số gT tuần hoàn với chu kỳ T > 0 {\displaystyle T>0}
, và hàm f sao cho ƒgT tồn tại, thì tích chập của chúng cũng tuần hoàn với chu kỳ T và được định nghĩa như sau: [ f g T ] [ t ] t 0 t 0 + T [ k = f [ τ + k T ] ] g T [ t τ ] d τ , {\displaystyle [f*g_{T}][t]\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f[\tau +kT]\right]g_{T}[t-\tau ]\,d\tau ,}
Với to là giá trị tùy ý.
Tích chập rời rạcSửa đổi
Với các hàm số phức f và g xác định trên tập số nguyên Z, thì tích chập của chúng được định nghĩa: [ f g ] [ n ] = d e f m = f [ m ] g [ n m ] {\displaystyle [f*g][n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]}
= m = f [ n m ] g [ m ] . {\displaystyle =\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m].}
[time-shift]
Tính chấtSửa đổi
Đại sốSửa đổi
Tích chập được định nghĩa là 1 phép toán trên không gian khả tích của các hàm tuyến tính, cho nên nó có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối. Giao hoán f g = g f {\displaystyle f*g=g*f\,}
Kết hợp f [ g h ] = [ f g ] h {\displaystyle f*[g*h]=[f*g]*h\,}
Phân phối f [ g + h ] = [ f g ] + [ f h ] {\displaystyle f*[g+h]=[f*g]+[f*h]\,}
Kết hợp với phép nhân vô hướng a [ f g ] = [ a f ] g = f [ a g ] {\displaystyle a[f*g]=[af]*g=f*[ag]\,}
, với giá trị a {\displaystyle {a}\,}
là một số phức bất kỳ.
Tham khảoSửa đổi
- Bracewell, R. [1986], The Fourier Transform and Its Applications [ấn bản 2], McGrawHill, ISBN0071160434.
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. [1979], Abstract harmonic analysis. Vol. I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 115 [ấn bản 2], Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-09434-0, MR0551496.
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. [1970], Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0262773.
- Hörmander, L. [1983], The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., 256, Springer, ISBN3-540-12104-8, MR0717035.
- Kassel, Christian [1995], Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics, 155, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-94370-1, MR1321145.
- Knuth, Donald [1997], Seminumerical Algorithms [ấn bản 3], Reading, Massachusetts: AddisonWesley, ISBN0-201-89684-2.
- Rudin, Walter [1962], Fourier analysis on groups, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 12, Interscience Publishers [a division of John Wiley and Sons], New YorkLondon, ISBN047152364X, MR0152834.
- Sobolev, V.I. [2001], Convolution of functions, trong Hazewinkel, Michiel [biên tập], Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN978-1-55608-010-4.
- Stein, Elias; Weiss, Guido [1971], Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN0-691-08078-X.
- Strichartz, R. [1994], A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN0849382734.
- Titchmarsh, E [1948], Introduction to the theory of Fourier integrals [ấn bản 2], New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. [xuất bản 1986], ISBN978-0828403245.
- Uludag, A. M. [1998], On possible deterioration of smoothness under the operation of convolution, J. Math. Anal. Appl. 227 no. 2, 335358
- Treves, François [1967], Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, ISBN0486453529.
- von zur Gathen, J.; Gerhard, J. [2003], Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, ISBN0-521-82646-2.
- Diggle, P. J. [1995], A kernel method for smoothing point process data, Journal of the Royal Statistical Society, Series C] 34 [1985] 138147
Liên kết ngoàiSửa đổi
Tra convolution trong từ điển mở tiếng Việt Wiktionary Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Tích chập.
- Earliest Uses: The entry on Convolution has some historical information.
- Convolution Lưu trữ 2006-02-21 tại Wayback Machine, on The Data Analysis BriefBook Lưu trữ 2006-05-12 tại Wayback Machine
- //www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Visual convolution Java Applet.
- //www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Visual convolution Java Applet for discrete-time functions.
- Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 7 is on 2-D convolution., by Alan Peters.
- //www.vuse.vanderbilt.edu/~rap2/EECE253/EECE253_01_Intro.pdf Lưu trữ 2009-03-24 tại Wayback Machine
- Convolution Kernel Mask Operation Interactive tutorial
- Convolution at MathWorld
- Freeverb3 Impulse Response Processor: Opensource zero latency impulse response processor with VST plugins
- Stanford University CS 178 interactive Flash demo showing how spatial convolution works.