Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn tự 6 bạn học sinh đề sắp xếp vào 3 vị trí
Số cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh và xếp thành một hàng dọc bằngA. 720 Show B. 120
Đáp án chính xác
C. 20 D. 40 Xem lời giải
1.Hoán vịa)Định nghĩa hoán vị:Cho tập hợp A có n\(\left(n\ge1\right)\)phần tử. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tựnphần tử của tập hợp Ađược một hoán vị của n phần tử đó. b) Ví dụ và cách tính số các hoán vịVí dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ngồi? Giải: Mỗi cáchsắp xếp bốn bạn vào một bàn bốn chỗ là một hoán vị của 4 phần tử. Ta tính số hoán vị bằng 2 cách như sau: - Cách 1: Liệt kê: Để cho gọn, ta viết A, B, C, D thay cho tên bốn bạn: An, Bình, Chi, Dung. Ta có tất cả các cách sắp xếp là: ABCD , ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA DABC. DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA Có tất cả 24 cách. - Cách 2: Sử dụng qui tắc nhân: Để chọn được một cách sawos xếp thì ta thực hiện liên tiếp 4 hành động sau: + Chọn người vào vị trí đầu tiên của bàn: Có 4 cách chọn (A, B, C, D) + Sau khi chọn người vào vị trí đầu, ta chọn tiếp người vào vị trí thứ hai: có 3 cách chọn (vì không chọn người đã ngồi vị trí thứ nhất) + Sau khi chọn hai người vào vị trí thứ nhất và thứ hai, ta chọn tiếp ngườ vào vị trí thứ ba: Có 2 cách chọn (vì không chọn lại hai người ở vị trí thứ nhất và vị trí thứ hai) + Sau khi chọn ba người vào ba vị trí đầu tiên, vị trí thứ tư chỉ còn 1 lựa chọn. Vậy số cách chọn là: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cách. Qua ví dụ trên, ta có công thức tính số hoạn vị của n phần tử như sau: Định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu là\(P_n\): \(P_n=n!=n.\left(n-1\right)...2.1\) Ví dụ 2: Một đoàn khách du lịch dự định tham quan bảy địa điểmA,B,C,D,E,GvàHở thủ đô Hà Nội. Họ đi thăm quan theo một thứ tự nào đó, chẳng hạnB→A→C→E→D→G→H. Như vậy, mỗi cách chọn thứ tự các địa điểm tham quan trên là một hoán vị của tập{A,B,C,D,E,G,H}. Thành thử, đoàn khách có tất cả7!=5040cách chọn. Bài Tập Trắc Nghiệm Hoán Vị Chỉnh Hợp Tổ Hợp Có Đáp Án Và Lời GiảiBởi Baitaptracnghiem.net- 0 13838 Bài Tập Trắc Nghiệm Và Tự Luận Chương Tổ Hợp Xác Suất Có Đáp Án Và Lời Giải
Bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có đáp án và lời giải rất hay gồm 90 câu trắc nghiệm. Các bạn xem ở dưới để ôn tập và cũng cố thêm kiến thức nhé. BÀI TẬP HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP CÓ ĐÁP ÁN Vấn đề 1. HOÁN VỊ Câu 1:Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau) A.120. B.100. C.80. D.60. Câu 2:Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài? A.120 B.5 C.20 D.25 Câu 3:Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A.6!4!. B.10!. C.6!−4!. D.6!+4!. Câu 4:Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là A.24. B.120. C.60. D.16. Câu 5:Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế? A.120. B.16 C.12. D.24. Câu 6:Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A.24. B.48. C.72. D.12. Câu 7:Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A.345600. B.725760. C.103680. D.518400. Câu 8:Cô dâu và chú rể mời6người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau. A.8!−7!. B.2.7!. C.6.7!. D.2!+6!. Câu 9:Trên giá sách muốn xếp20cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập1và tập2đặt cạnh nhau. A.20!−18!. B.20!−19!. C.20!−18!.2!. D.19!.18. Câu 10:Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn? A.12. B.24. C.4. D.6. Câu 11:Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A.576. B.144. C.2880. D.1152. Câu 12:Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau? A.44. B.24. C.1. D.42. Vấn đề 2. CHỈNH HỢP Câu 13:Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài? A.15. B.720. C.30. D.360. Câu 14:Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)? A.35. B.30240. C.210. D.21. Câu 15:Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)? A.60. B.10. C.15. D.720. Câu 16:Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? A.15. B.360. C.24. D.17280. Câu 17:Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ0→có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? A.15. B.12. C.1440. D.30. Câu 18:Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ. A.462. B.55. C.55440. D.11!.5! Câu 19:Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba? A.336. B.56. C.24. D.120. Câu 20:Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? A.210. B.200. C.180. D.150. Câu 21:Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? A.2730. B.2703. C.2073. D.2370. Câu 22:Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể? A.94109040. B.94109400. C.94104900. D.94410900. Câu 23:Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? A.944109. B.941409. C.941094. D.941049. Câu 24:Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? A.3766437. B.3764637. C.3764367. D.3764376. Câu 25:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm5chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, …, 9? A.15120. B.95. C.59. D.126. Câu 26:Cho tập A = { 0,1, 2, …, 9}. Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A là? A.30420. B.27162. B C.27216. D.30240. Câu 27:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? A.249. B.7440. C.3204. D.2942. Vấn đề 3. TỔ HỢP Câu 28:Một lớp học có40học sinh gồm25nam và15nữ. Chọn3học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A.9880. B.59280. C.2300. D.455. Câu 29:Một tổ có10người gồm6nam và4nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm5người, hỏi có bao nhiêu cách lập? A.25. B.252. C.50. D.455. Câu 30:Trong một ban chấp hành đoàn gồm7người, cần chọn3người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của3người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn? A.25. B.42. C.50. D.35. Câu 31:Một cuộc thi có15người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra4người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? A.1635. B.1536. C.1356. D.1365. Câu 32:Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ? A.665280. B.924. C.7. D.942. Câu 33:Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm52con? A.104. B.450. C.1326. D.2652. Câu 34:Có15đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? A.100. B.105. C.210. D.200. Câu 35:Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)? A.10. B.30. C.6. D.60. Câu 36:Trong mặt phẳng cho tập hợpPgồm2018điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộcP? A.2018!2016!. . B.2016!2!. C.2018!2!. D.2018!2016!.2!. Câu 37:Cho10điểm, không có3điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo bởi2trong10điểm nói trên? A.90. B.20. C.45. D.Một số khác. Câu 38:Trong mặt phẳng, cho6điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A.15. B.20. C.60. D.Một số khác. Câu 39:Cho10điểm phân biệtA1,A2, ...,A10trong đó có4điểmA1,A2,A3,A4thẳng hàng, ngoài ra không có3điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có3đỉnh được lấy trong10điểm trên? A.96tam giác. B.60tam giác. C.116tam giác. D.80tam giác. Câu 40:Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H ) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H ). A.1440. B.360. C.1120. D.816. Câu 41:Cho hai đường thẳng song songd1vàd2.Trênd1lấy 17 điểm phân biệt, trênd2lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ37điểm này. A.5690. B.5960. C.5950. D.5590. Câu 42:Số giao điểm tối đa của5đường tròn phân biệt là: A.10. B.20. C.18. D.22. Câu 43:Số giao điểm tối đa của10đường thẳng phân biệt là: A.50. B.100. C.120. D.45. Câu 44:Với đa giác lồi10cạnh thì số đường chéo là A.90. B.45. C.35. D.Một số khác. Câu 45:Cho đa giác đều n đỉnh n ≥3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135đường chéo. A.n=15. B.n=27. C.n=8. D.n=18. Câu 46:Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó. A.60. B.48. C.20. D.36. Câu 47:Một lớp có15học sinh nam và20học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn5bạn học sinh sao cho trong đó có đúng3học sinh nữ? A.110790. B.119700. C.117900. D.110970. Câu 48:Có bao nhiêu số tự nhiên có4chữ số khác nhau và khác0mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? A.4!C41C51. B.3!C32C52. C.4!C42C52. D.3!C42C52. Câu 49:Một túi đựng6bi trắng,5 bi xanh. Lấy ra4 viên bi từ túi đó. Hỏi có baonhiêu cách lấy mà4viên bi lấy ra có đủ hai màu. A.300. B.310. C.320. D.330. Câu 50:Một nhóm học sinh có6bạn nam và5bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra5học sinh trong đó có cả nam và nữ? A.455. B.7. C.456. D.462. Câu 51:Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có19học sinh nam và16học sinh nữ. Giáo viên cần chọn5học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn5học sinh sao cho có ít nhất1học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại. A.C195. B.C355−C195. C.C355−C165. D.C165. Câu 52:Một lớp học có40học sinh, trong đó có25nam và15nữ. Giáo viên cần chọn3học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất1học sinh nam? A.2625. B.455. C.2300. D.3080. Câu 53:Từ20người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm1trưởng đoàn,1phó đoàn,1thư kí và3ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ? A.4651200. B.4651300. C.4651400. D.4651500. Câu 54:Một tổ gồm10học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có5học sinh,3học sinh và2học sinh. Số các chia nhóm là: A.2880. B.2520. C.2515. D.2510. Câu 55:Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có21đoàn viên nam và15đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia nhóm về3ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ? A.3C3612. B.C3612. C.3C217C155 D.C217C155C147C105. Câu 56:Trong một giỏ hoa có5bông hồng vàng,3bông hồng trắng và4bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm7bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng1bông hồng đỏ? A.56. B.112. C.224. D.448. Câu 57:Một hộp có6viên bi xanh,5viên bi đỏ và4viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A.2163. B.3843. C.3003. D.840. Câu 58:Đội văn nghệ của nhà trường gồm4học sinh lớp 12A,3học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A.126. B.102. C.98. D.100. Câu 59:Có12học sinh giỏi gồm3học sinh khối 12,4học sinh khối 11 và5họcsinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra6học sinh trong số học sinh giỏi đó saocho mỗi khối có ít nhất1học sinh? A.85. B.58. C.508. D.805. Câu 60:Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có5học sinh, khối 11 có5học sinh và khối 12 có5học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm10học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất2học sinh khối 10. A.50. B.500. C.502. D.501. Câu 61:Đội văn nghệ của một nhà trường gồm4 học sinh lớp 12A,3học sinh lớp 12B và2học sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên5học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất2học sinh lớp 12A? A.80. B.78. C.76. D.98. Câu 62:Một hộp đựng8viên bi màu xanh,5viên bi đỏ,3viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra4viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ? A.280. B.400. C.40. D.1160. Câu 63:Một hộp bi có5viên bi đỏ,3 viên bi vàng và4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra4viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng. A.654. B.275. C.462. D.357. Câu 64:Có5tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? A.1000. B.1200. C.2000. D.2200. Câu 65:Cho10câu hỏi, trong đó có4câu lý thuyết và6câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm3câu hỏi trong đó có ít nhất1câu lý thuyết và1câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên ? A.69. B.88. C.96. D.100. Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 66:Tìm tất cả các giá trịx thuộcℕthỏa mãn6(Px−Px−1)=Px+1. A.x=2. B.x=3 C.x=2;x=3. D.x=5. Câu 67:Tính tổngS của tất cả các giá trị củax thỏa mãnP2.x2-P3.x=8. A.S=−4. B.S=−1. C.S=4. D.S=3. Câu 68:Có bao nhiêu số tự nhiênxthỏa mãn3.A2x-A22x+42=0. A.0. B.1. C.2. D.6. Câu 69:Cho số tự nhiênxthỏa mãnAx10+Ax9=9.Ax8. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.xlà số chính phương. B.xlà số nguyên tố. C.xlà số chẵn. D.xlà số chia hết cho3. Câu 70:Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãnAn3+5An2=2(n+15)? A.0. B.1. C.2. D.3. Câu 71:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn+11+3Cn+22=Cn+13 A.n=12. B.n=9. C.n=16. D.n=2. Câu 72:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củaxthỏa mãnC14x+C14x+2=2C14x+1. A.P = 4. B.P = 32. C.P =−32. D.P = 12. Câu 73:Tính tổngS của tất cả các giá trị củanthỏa mãn 1Cn1-1Cn+12=76Cn+41 A.S=8. B.S=11. C.S=12. D.S=15. Câu 74:Tìm giá trịx∈ℕthỏa mãnCx0+Cxx-1+Cxx-2=79. A.x =13. B.x =17. C.x =16. D.x =12. Câu 75:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn+4n+1-Cn+3n=7(n+3). A.n=15. B.n=18. C.n=16. D.n=12. Câu 76:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn1+Cn2+Cn3=7n2. A.n=3. B.n=4. C.n=6. D.n=8. Câu 77:Tính tổng S tất cả các giá trị của x thỏa mãnCx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x. A.S=2. B.S=7. C.S=9. D.S=14. Câu 78:Tìm giá trịn∈ℕthỏaCn6+3Cn7+3Cn8+Cn9=2Cn+28 A.n=18. B.n=16. C.n=15. D.n=14. Câu 79:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củanthỏa mãnPnAn2+72=6(An2+2P2). A.P=12. B.P=5. C.P=10. D.P=6. Câu 80:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củaxthỏa mãn7(Ax+1x-1+2Px-1)=30Px. A.P =7. B.P = 4. C.P = 28. D.P =14. Câu 81:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn+8n+3=5An+63 A.n=15. B.n=17. C.n=6. D.n = 14 Câu 82:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnAx2.Cxx-1=48. A.x=4. B.x=3. C.x=7. D.x=12. Câu 83:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnAn2-Cn+1n-1=5. A.n=3. B.n=5. C.n=4. D.n=6. Câu 84:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củanthỏa mãnAn2-3Cn2=15-5n. A.P=5. B.P=6. C.P=30. D.P=360. Câu 85:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãn3Ax4=24(Ax+13-Cxx-4). A.x=3. B.x=1. C.x=5. D.x=1;x=5. Câu 86:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãnAn+44(n+2)!<15(n-1)!? A.1. B.2. C.3. D.Vô số. Câu 87:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãn2Cn+12+3An2-20<0? A.1. B.2. C.3. D.Vô số. Câu 88:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãn2Cn+12+3An2<30? A.1. B.2. C.3. D.Vô số. Câu 89:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãn14P3.Cn-1n-3 A.1 B.2. C.3. D.Vô số. Câu 90:Giải hệ phương trìnhCxy-Cxy+1=04Cxy-5Cxy-1=0 A.(x;y)=(17;8). B.(x;y)=(17;-8). C.(x;y)=(9;8). D.(x;y)=(7;9). ----------------------------------------------- ĐÁP ÁN
LỜI GIẢI Vấn đề 1. HOÁN VỊ Câu 1:Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau) A.120. B.100. C.80. D.60. Lời giải. Số các khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng là một hoán vị của 5 phần tử nên có5!=120cách.Chọn A. Câu 2:Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài? A.120 B.5 C.20 D.25 Lời giải. Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có5!=120cách.Chọn A. Câu 3:Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A.6!4!. B.10!. C.6!−4!. D.6!+4!. Lời giải. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ là một hoán vị của 10 phần tử nên có 10! cách.Chọn B. Câu 4:Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là A.24. B.120. C.60. D.16. Lời giải. Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách. Số cách xếp 4 bạnsinhAn, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! cách. Vậy có 24 cách xếp. Chọn A. Câu 5:Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế? A.120. B.16 C.12. D.24. Lời giải. Xếp An và Dũng ngồi hai đầu ghế có 2! cách xếp. Số cách xếp 3 bạn Bình, Chi, Lệ vào 3 ghế còn lại là một hoán vị của 3 phần tử nên có có 3! cách. Vậy có2!.3!=12cách.Chọn C. Câu 6:Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A.24. B.48. C.72. D.12. Lời giải. Số cách xếp 5 bạn vào 5 chỗ trên ghế dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có5!=120cách. Số cách xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi cạnh nhau là2.4!=48cách ( An và Dũng ngồi cạnh nhau xem như 1 bạn; xếp 4 bạn vào 4 chỗ có 4! cách; cách xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau là 2!=2) Vậy số cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau là 120‐48=72cách.Chọn C. Câu 7:Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A.345600. B.725760. C.103680. D.518400. Lời giải. Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là 3! Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là 3! Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là 4! Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là 5! ⇒Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là3!.3!.4!.5!=103680cách.Chọn C. Câu 8:Cô dâu và chú rể mời6người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau. A.8!−7!. B.2.7!. C.6.7!. D.2!+6!. Lời giải. Khi cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau (có thể thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và đứng với 6 vị khách mời để chụp ảnh nên có 2.7! cách sắp xếp. Chọn B. Câu 9:Trên giá sách muốn xếp20cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập1và tập2đặt cạnh nhau. A.20!−18!. B.20!−19!. C.20!−18!.2!. D.19!.18. Lời giải. Sắp xếp 20 cuốn sách trên giá là một hoán vị của 20 phần tử nên ta có 20! cách sắp xếp. Khi hai cuốn tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và cùng sắp xếp với 18 cuốn sách còn lại trên giá nên có 2.19! cách sắp xếp. Vậy có tất cả20!-2.19!=19!.18cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán.Chọn D. Câu 10:Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn? A.12. B.24. C.4. D.6. Lời giải. Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì . Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có có3!=6cách.Chọn D. Câu 11:Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A.576. B.144. C.2880. D.1152. Lời giải. Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8. Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài). Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách. Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đẫ xếp ở trên có 4! cách. Vậy có3!.4!=144cách.Chọn B. Câu 12:Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau? A.44. B.24. C.1. D.42. Lời giải. Số các số tự nhiện có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là một hoán vị của 4 phần tử bằng4!=24.Chọn B. Vấn đề 2. CHỈNH HỢP Câu 13:Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài? A.15. B.720. C.30. D.360. Lời giải. Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra cóA64=360cách.Chọn D. Câu 14:Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)? A.35. B.30240. C.210. D.21. Lời giải. Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Suy ra cóA73=210cách.Chọn C. Câu 15:Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)? A.60. B.10. C.15. D.720. Lời giải. Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra cóA53=60cách.Chọn A. Câu 16:Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? A.15. B.360. C.24. D.17280. Lời giải. Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra cóA64=360cách.Chọn B. Câu 17:Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ0→có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? A.15. B.12. C.1440. D.30. Lời giải. Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểmA,Bcho ta một vectơ có điểm đầuAvà điểm cuốiBvà ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Suy ra cóA62=30cách.Chọn D. Câu 18:Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ. A.462. B.55. C.55440. D.11!.5! Lời giải. Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử. Vậy cóA115=55440.Chọn C. Câu 19:Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba? A.336. B.56. C.24. D.120. Lời giải. Số kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy cóA83=336.Chọn A. Câu 20:Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? A.210. B.200. C.180. D.150. Lời giải. Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ từ 7 người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử. Vậy cóA73=210. Chọn A. Câu 21:Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? A.2730. B.2703. C.2073. D.2370. Lời giải. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập ba của 15 phần tử, do đó ta có:A153=2730kết quả. Chọn A. Câu 22:Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể? A.94109040. B.94109400. C.94104900. D.94410900. Lời giải.Mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 100 phần tử, do đó ta có: A1004=94109400kết quả.Chọn B. Câu 23:Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? A.944109. B.941409. C.941094. D.941049. Lời giải.Vì người giữ vé số 47 trúng giải nhất nên mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 99 phần tử, do đó ta có:A993=941094kết quả.Chọn C. Câu 24:Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? A.3766437. B.3764637. C.3764367. D.3764376. Lời giải. Nếu người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải thì: �Người giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải. �Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có A993=941094cách . Vậy số kết quả bằng4×A993=4×941094=3764376kết quả.Chọn D. Câu 25:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm5chữ số khác nhau được lập từ các số1, 2, …, 9? A.15120. B.95. C.59. D.126. Lời giải.Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số 1, 2,…, 9 là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử. Vậy cóA95=15120.Chọn A. Câu 26:Cho tập A = { 0,1, 2, …, 9}. Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A là? A.30420. B.27162. B C.27216. D.30240. Lời giải. Gọi số cần tìm làabcde¯,a≠0. �Chọnacó 9 cách. �Chọnb,c,d,etừ 9 số còn lại cóA94=3024cách. Vậy có9×3024=27216.Chọn C. Câu 27:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? A.249. B.7440. C.3204. D.2942. Lời giải. Ta chia thành các trường hợp sau: �TH1: Nếu số 123 đứng đầu thì cóA74số. �TH2: Nếu số 321 đứng đầu thì cóA74số. �TH3: Nếu số 123;321 không đứng đầu Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu ( khác 0;1; 2;3 ), khi đó còn 6 vị trí có 4 cách xếp 3 số 321 hoặc 123 , còn lại 3 vị trí cóA63cách chọn các số còn lại. Do đó trường hợp này có6.2.4.A63=5760 Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là2A74+5760=7440.Chọn B. Vấn đề 3. TỔ HỢP Câu 28:Một lớp học có40học sinh gồm25nam và15nữ. Chọn3học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A.9880. B.59280. C.2300. D.455. Lời giải Nhóm họcsinh3người được chọn (không phân biệt nam, nữ‐công việc) là một tổ hợp chậm 3 của 40 (học sinh). Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh làC403=40.!37!3!=9880.Chọn A. Câu 29:Một tổ có10người gồm6nam và4nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm5người, hỏi có bao nhiêu cách lập? A.25. B.252. C.50. D.455. Lời giải. Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có làC105=10!5!.5!=252.Chọn B. Câu 30:Trong một ban chấp hành đoàn gồm7người, cần chọn3người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của3người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn? A.25. B.42. C.50. D.35. Lời giải.Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ nên mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Như vậy, ta cóC75=7.!2!5!=35cách chọn ban thường vụ.Chọn D. Câu 31:Một cuộc thi có15người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra4người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? A.1635. B.1536. C.1356. D.1365. Lời giải. Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Như vậy, ta cóC154=1365kết quả.Chọn D. Câu 32:Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ? A.665280. B.924. C.7. D.942. Lời giải.Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 của 12 (viên bi). Vậy ta cóC126=924cách lấy.Chọn B. Câu 33:Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm52con? A.104. B.450. C.1326. D.2652. Lời giải.Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử. Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con làC522=1326.Chọn C. Câu 34:Có15đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? A.100. B.105. C.210. D.200. Lời giải. Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá). Như vậy, ta cóC152=15.!13!2!=105trận đấu.Chọn B. Câu 35:Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)? A.10. B.30. C.6. D.60. Lời giải. Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá). Như vậy, ta cóC152=15.!13!2!=105trận đấu.Chọn B. Câu 36:Trong mặt phẳng cho tập hợpPgồm2018điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộcP? A.2018!2016!. .B.2016!2!. C.2018!2!. D.2018!2016!.2!. Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trongnđiểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 2018 phần tử (điểm). Như vậy, ta cóC20182=2018.!2016!2!đoạn thẳng.Chọn D. Câu 37:Cho10điểm, không có3điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo bởi2trong10điểm nói trên? A.90. B.20. C.45. D.Một số khác. Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trongnđiểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (điểm). Như vậy, ta cóC102=10!8!.2!=45đường thẳng.Chọn C. Câu 38:Trong mặt phẳng, cho6điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A.15. B.20. C.60. D.Một số khác. Lời giải. Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác. Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm phân biệt thì số tam giác cần tìm chính là một tổ hợp chập 3 của 6 phần từ (điểm). Như vậy, ta cóC63=20tam giác.Chọn B. Câu 39:Cho10điểm phân biệtA1,A2, ...,A10trong đó có4điểmA1,A2,A3,A4thẳng hàng, ngoài ra không có3điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có3đỉnh được lấy trong10điểm trên? A.96tam giác. B.60tam giác. C.116tam giác. D.80tam giác. Lời giải.Số cách lấy 3 điểm từ 10 điểm phân biệt làC103=120. Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểmA1,A2,A3,A4làC43=4. Khi lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểmA1,A2,A3,A4thì sẽ không tạo thành tam giác. Như vậy, số tam giác tạo thành 120‐4=116tam giác.Chọn C. Câu 40:Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H ) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H ). A.1440. B.360. C.1120. D.816. Lời giải. Lấy một cạnh bất kỳ của (H) làm cạnh của một tam giác có 20 cách. Lấy một điểm bất kỳ trong 18 đỉnh còn lại của (H) (trừ đi hai đỉnh của một cạnh) có 18 cách. Vậy số tam giác cần tìm là20.18=360.Chọn B. Câu 41:Cho hai đường thẳng song songd1vàd2.Trênd1lấy 17 điểm phân biệt, trênd2lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ37điểm này. A.5690. B.5960. C.5950. D.5590. Lời giải. Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét: TH1. Chọn 1 điểm thuộcd1và 2 điểm thuộcd2→cóC171.C202tam giác. TH2. Chọn 2 điểm thuộcd1và 1 điểm thuộcd2→cóC172.C201tam giác. Như vậy, ta cóC171.C202+C172.C201=5950tam giác cần tìm.Chọn C. Câu 42:Số giao điểm tối đa của5đường tròn phân biệt là: A.10. B.20. C.18. D.22. Lời giải. Hai đường tròn cho tối đa hai giao điểm. Và 5 đường tròn phân biệt cho số giao điểm tối đa khi 2 đường tròn bất kỳ trong 5 đường tròn đôi một cắt nhau. Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là2.C52=20.Chọn B. Câu 43:Số giao điểm tối đa của10đường thẳng phân biệt là: A.50. B.100. C.120. D.45. Lời giải. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có ba đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường thẳng nào song song. Và cứ hai đường thẳng ta có một giao điểm suy ra số giao điểm chính là số cặp đường thẳng bất kỳ được lấy từ 10 đường thẳng phân biệt. Như vậy, ta cóC102=45giao điểm.Chọn D. Câu 44:Với đa giác lồi10cạnh thì số đường chéo là A.90. B.45. C.35. D.Một số khác. Lời giải.Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi. Vậy số đường chéo cần tìm làC102-10=10!8!.2!-10=35.Chọn C. Câu 45:Cho đa giác đều n đỉnh n ≥3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135đường chéo. A.n=15. B.n=27. C.n=8. D.n=18. Lời giải. Đa giác lồinđỉnh thì cóncạnh. Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trongnđỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo. Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh, với �Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trongn điểm, tức là số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 củanphần tử. Như vậy, tổng số đoạn thẳng làCn2. �Số cạnh của đa giác lồi làn. Suy ra số đường chéo của đa giác đềunđỉnh làCn2-n=nn-32. Theo bài ra, ta cón≥3nn-32=135 ⇔n≥3n2-3n-270=0⇔n=18ChọnD. Câu 46:Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó. A.60. B.48. C.20. D.36. Lời giải. Cứ 2 đường thẳng song song với 2 đường thẳng vuông góc với chúng cắt nhau tại bốn điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật. Vậy lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song và lấy 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường đó ta được số hình chữ nhật làC42.C52=60. Chọn A. Câu 47:Một lớp có15học sinh nam và20học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn5bạn học sinh sao cho trong đó có đúng3học sinh nữ? A.110790. B.119700. C.117900. D.110970. Lời giải. Số cách chọn 3 học sinh nữ là:C203=1140cách. Số cách chọn 2 bạn học sinh nam là:C152=105cách. Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:1140×105=119700. ChọnB. Câu 48:Có bao nhiêu số tự nhiên có4chữ số khác nhau và khác0mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? A.4!C41C51. B.3!C32C52. C.4!C42C52. D.3!C42C52. Lời giải. Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp {2;4;6;8} là:C42cách. Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp {1;3;5;7;9} là:C52cách. Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách. Vậy có4!×C42×C52số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn C. Câu 49:Một túi đựng6bi trắng,5 bi xanh. Lấy ra4viên bi từ túi đó. Hỏi có baonhiêu cách lấy mà4viên bi lấy ra có đủ hai màu. A.300. B.310. C.320. D.330. Lời giải.Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trường hợp: Số bi trắng Số bi xanh Số cách chọn TH1: Chọn 1 bị trắng và 3 bi xanh cóC61×C53cách. TH2: Chọn 2 bị trắng và 2 bi xanh cóC62×C52cách. TH3: Chọn 3 bị trắng và 1 bi xanh cóC63×C51cách. Vậy có tất cảC61×C53+C62×C52+C63×C51=310cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Cách 2.Dùng phần bù. Số cách chọn 4 viên bi tùy ý từ 11 viên bi là:C115cách. Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là:C64cách. Số cách chọn 4 viên bi là màu xanh là:C54cách. Vậy cóC115-C64+C54=310cách chọn 4 viên bi trong đó có cả 2 màu. Câu 50:Một nhóm học sinh có6bạn nam và5bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra5học sinh trong đó có cả nam và nữ? A.455. B.7. C.456. D.462. Lời giải. Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là:C115cách. Số cách chọn 5 học sinh nam là:C65cách. Số cách chọn 5 học sinh nữ là:C55cách. Vậy cóC115-C65-C55=455cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn A. Cách 2.Do trong 5 học sinh được chọn có cả nam cả nữ nên ta có các trường hợp sau: TH1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ cóC61×C54cách. TH2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ cóC62×C53cách. TH3: Chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ cóC63×C52cách. TH4: Chọn 4 học sinh nam và 1 học sinh nữ cóC64×C51cách. Vậy cóC61×C54+C62×C53+C63×C52+C64×C51=455cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 51:Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có19học sinh nam và16học sinh nữ. Giáo viên cần chọn5học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn5học sinh sao cho có ít nhất1học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại. A.C195. B.C355−C195. C.C355−C165. D.C165. Lời giải. Tổng số học sinh lớp10Alà 35 . CóC355cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh lớp10A. CóC195cách chọn 5 học sinh từ 19 học sinh nam của lớp10A. Do đó cóC355-C195cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất một học sinh nữ.Chọn B. Câu 52:Một lớp học có40học sinh, trong đó có25nam và15nữ. Giáo viên cần chọn3học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất1học sinh nam? A.2625. B.455. C.2300. D.3080. Lời giải. Dùng phần bù Số cách chọn 3 học sinh bất kì trong lớp là:C403cách. Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ là:C252×C151cách. Số cách chọn 3 học sinh nam là:C253×C150cách. Vậy cóC403-C252×C151+C253×C150=3080cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 53:Từ20người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm1trưởng đoàn,1phó đoàn,1thư kí và3ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ? A.4651200. B.4651300. C.4651400. D.4651500. Lời giải. Số cách chọn 1 người trong 20 người làm trưởng đoàn là:C201cách. Số cách chọn 1 người trong 19 người còn lại làm phó đoàn là:C191cách. Số cách chọn 1 người trong 18 người còn lại làm thư kí là:C181cách. Số cách chọn 3 người trong 17 người còn lại làm ủy viên là:C173cách. Vậy số cách chọn đoàn đại biểu làC201×C191×C181×C173=4651200.Chọn A. Câu 54:Một tổ gồm10học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có5học sinh,3học sinh và2học sinh. Số các chia nhóm là: A.2880. B.2520. C.2515. D.2510. Lời giải. Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là:C105cách. Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là:C53cách. Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là:C22cách. Vậy cóC105×C53×C22=2520cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B. Câu 55:Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có21đoàn viên nam và15đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia nhóm về3ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ? A.3C3612 B.C3612 C.3C217C155 D.C217C155C147C105. Lời giải. Số cách chọn nhóm thứ nhất là:C217×C155cách. Số cách chọn nhóm thứ hai là:C147×C105cách. Số cách chọn nhóm thứ ba là:C77×C55cách. Vậy cóC217×C155×C147×C105×C77×C55 =C217C155C147C105cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 56:Trong một giỏ hoa có5bông hồng vàng,3bông hồng trắng và4bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm7bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng1bông hồng đỏ? A.56. B.112. C.224. D.448. Lời giải. Chọn 1 hồng đỏ và 6 hoa còn lại ( hồng vàng và hồng trắng) cóC41×C86=112 Vậy có 11 cách chọn bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 57:Một hộp có6viên bi xanh,5viên bi đỏ và4viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A.2163. B.3843. C.3003. D.840. Lời giải. Số cách chọn 5 viên bi bất kì trong hộp là:C155cách. Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu vàng là:C115cách. Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu đỏ là:C105cách. Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu xanh là:C95cách. Vậy cóC155-C115+C105+C95=2163cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn A. Câu 58:Đội văn nghệ của nhà trường gồm4học sinh lớp 12A,3học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A.126. B.102. C.98. D.100. Lời giải. Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là 9 học sinh. Số cách chọn 5 học sinh bất kì trong 9 học sinh là:C95cách. Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp12Alà:C55cách. Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp12Blà:C65cách. Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp12Clà:C75cách. Vậy cóC95-C55+C65+C75=98cách thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 59:Có12học sinh giỏi gồm3học sinh khối 12,4học sinh khối 11 và5học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra6học sinh trong số học sinh giỏi đó saocho mỗi khối có ít nhất1học sinh? A.85. B.58. C.508. D.805. Lời giải. Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học sinh là:C126cách. Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 là:C76cách. Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 11 là:C86cách. Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 là:C96cách. Vậy cóC126-C76+C86+C96=805cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 60:Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có5học sinh, khối 11 có5học sinh và khối 12 có5học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm10học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất2học sinh khối 10. A.50. B.500. C.502. D.501. Lời giải.Từ giả thiết suy ra có 2 khả năng xảy ra như sau: TH1: Có đúng 1 học sinh khối 10. Số cách chọn 1 học sinh khối 10 là:C51cách. Số cách chọn 9 học sinh còn lại khối 11 và 12 là:C109cách. TH2: Có đúng 2 học sinh khối 10. Số cách chọn 2 học sinh khối 10 là:C52cách. Số cách chọn 8 học sinh còn lại từ khối 11 và 12 là:C108cách. Vậy cóC51×C109+C52×C108=500cách lập đội thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 61:Đội văn nghệ của một nhà trường gồm4 học sinh lớp 12A,3học sinh lớp12B và2học sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên5học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất2học sinh lớp 12A? A.80. B.78. C.76. D.98. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 3 khả năng xảy ra như sau: TH1. Chọn 2 học sinh lớp12A, 2 học sinh lớp12Bvà 1 học sinh lớp12CcóC42×C32×C21cách. TH2. Chọn 2 học sinh lớp12A, 1 học sinh lớp12Bvà 2 học sinh lớp12CcóC42×C31×C22cách. TH3. Chọn 3 học sinh lớp12A, 1 học sinh lớp12Bvà 1 học sinh lớp12CcóC43×C31×C21cách. Vậy có C42×C32×C21+C42×C31×C22+C43×C31×C21=78cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B. Câu 62:Một hộp đựng8viên bi màu xanh,5viên bi đỏ,3viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra4viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ? A.280. B.400. C.40. D.1160. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 2 trường hợp xảy ra như sau: TH1. Chọn 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng cóC81×C51×C32cách. TH2. Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ và 0 viên bi vàng cóC82×C52×C30cách. Vậy cóC81×C51×C32+C82×C52×C30=400cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B. Câu 63:Một hộp bi có5viên bi đỏ,3 viên bi vàng và4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra4viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng. A.654. B.275. C.462. D.357. Lời giải. Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trường hợp xảy ra: TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên. Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số 9 viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là:C94cách. Số cách lấy 4 viên bi xanh là:C44cách. ⇒Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là:C94-C44=125cách. TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên. Số cách lấy 1 viên bi vàng:C31cách. Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là:C52×C41cách. Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là:C53×C40cách. ⇒Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là:C31×C52×C41+C53×C40=150cách. Vậy có125+150=275cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B. Câu 64:Có5tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? A.1000. B.1200. C.2000. D.2200. Lời giải. Số cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư khác nhau là:C53cách. Số cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư khác nhau là:C63cách. Số cách dán tem thư thứ nhất vào 3 bì thư là:C31cách. Số cách dán tem thư thứ hai vào 2 bì thư còn lại là:C21cách. Số cách dán tem thư thứ hai vào bì thư cuối cùng là:C11cách. Vậy cóC53×C63×C31×C21×C11=1200cách làm thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B. Câu 65:Cho10câu hỏi, trong đó có4câu lý thuyết và6câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm3câu hỏi trong đó có ít nhất1câu lý thuyết và1câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên ? A.69. B.88. C.96. D.100. Lời giải. Theo bài ra, một đề thi gồm 3 câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có câu hỏi bài tập nên ta xét: TH1: Đề thi gồm 1 câu lý thuyết, 2 câu bài tập. Lấy 1 câu lý thuyết trong 4 câu lý thuyết cóC41cách, tương ứng lấy 2 câu bài tập trong 6 câu bài tập cóC62cách. Vậy cóC41.C62đề. TH2: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết, 1 câu bài tập. Lập luận tương tự TH1, ta sẽ tạo đượcC42.C61đề. Vậy có thể tạo đượcC41×C62+C42×C61=96đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 66:Tìm tất cả các giá trịxthuộcℕthỏa mãn6(Px−Px−1)=Px+1. A.x=2. B.x=3 C.x=2;x=3. D.x=5. Lời giải. Điều kiện:x≥1vàx∈N. Ta có 6Px-Px‐1=Px+1 ⇔6x!-x-1!=x+1! ⇔6x-1!.x-1=x-1!.xx+1 ⇔6.x-1=xx+1 ⇔x2-5x+6=0 ⇔x=2(nhận) hoặcx=3(nhận) Chọn C. Câu 67:Tính tổngS của tất cả các giá trị củax thỏa mãnP2.x2-P3.x=8. A.S=−4. B.S=−1. C.S=4. D.S=3. Lời giải. Ta cóP2.x2-P3.x=8⇔2!.x2-3!.x=8 ⇔2x2-6x-8=0⇔x=-1x=4
⇒S=-1+4=3. Chọn D. Câu 68:Có bao nhiêu số tự nhiênxthỏa mãn3.A2x-A22x+42=0. A.0. B.1. C.2. D.6. Lời giải.Điều kiện:x≥2vàx∈N. Tacó3Ax2-A2x2+42=0 ⇔3.x!x-2!-2x!2x-2!+42=0 ⇔3.x-1.x-2x-1.2x+42=0 ⇔x2+x-42=0⇔x=-7(l)x=6(n) Chọn B. Câu 69:Cho số tự nhiênxthỏa mãnAx10+Ax9=9.Ax8. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.xlà số chính phương. B.xlà số nguyên tố. C.xlà số chẵn. D.xlà số chia hết cho3. Lời giải. Điều kiện:x≥10vàx∈N. Ta cóAx10+Ax9=9Ax8 ⇔x!x-10!+x!x-9!=9x!x-8! ⇔11+1x-9=9x-9x-8 ⇔x2-16x+55=0 ⇔x=5(loại) hoặcx=11(nhận) Chọn B. Câu 70:Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãnAn3+5An2=2(n+15)? A.0. B.1. C.2. D.3. Lời giải. Điều kiện:n≥3vàn∈N. TacóAn3+5An2=2n+15 ⇔n!n-3!+5.n!n-2!-2n-30=0 ⇔n-2.n-1.n+5.n-1.n-2n-30=0 ⇔n3+2n2-5n-30=0⇔n=3Chọn B. Câu 71:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn+11+3Cn+22=Cn+13 A.n=12. B.n=9. C.n=16. D.n=2. Lời giải. Điều kiện:n≥2vàn∈N. TacóCn+11+3Cn+22=Cn+13 ⇔n+1!1!.n!+3.n+2!2!.n!=.n+1!3!n-2! ⇔n+1+3.n+1.n+22=n-1.n.n+16 ⇔1+3.n+22=n-1.n6
⇔6+9n+18=n2-n ⇔n2-10n-24=0 ⇔n=-2lhoặcn=12(n) Chọn A. Câu 72:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củaxthỏa mãnC14x+C14x+2=2C14x+1. A.P = 4. B.P = 32. C.P =−32. D.P = 12. Lời giải. Điều kiện:0≤x≤12vàx∈N. Ta cóC14x+C14x+2=2C14x+1⇔ 14!x!14-x!+14!x+2!12-x!=214!x+1!13-x! ⇔114-x13-x+1x+1x+2=2.1x+113-x ⇔x+1x+2+14-x13-x=2x+214-x
⇔x2-12x+32=0⇔x=8x=4 →P=4.8=32.
Chọn B. Câu 73:Tính tổngS của tất cả các giá trị củanthỏa mãn 1Cn1-1Cn+12=76Cn+41 A.S=8. B.S=11. C.S=12. D.S=15. Lời giải.Điều kiện:n≥1vàn∈N. Ta có1Cn1-1Cn+12=76Cn+41 ⇔n-1!n!-2!.n-1!n+1!=7n+3!6n+4! ⇔1n-2nn+1=76n+4 ⇔n2-11n+24=0⇔n=3(n)n=8(n) →S=3+8=11. Chọn B. Câu 74:Tìm giá trịx∈ℕthỏa mãnCx0+Cxx-1+Cxx-2=79. A.x =13. B.x =17. C.x =16. D.x =12. Lời giải. Điều kiện:x∈N. Ta cóCx0+Cxx-1+Cxx-2=79⇔Cx0+Cx1+Cx2=79 ⇔1+x+xx-12=79 ⇔x2+x-156=0 ⇔x=12(nhận) hoặcx=-13l Chọn D. Câu 75:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn+4n+1-Cn+3n=7(n+3). A.n=15. B.n=18. C.n=16. D.n=12. Lời giải. Điều kiện:n∈N. TacóCn+4n+1-Cn+3n=7n+3 ⇔Cn+43-Cn+33=7n+3 ⇔n+4n+23!-n+2n+13!=7 ⇔3n-36=0⇔n=12(nhận). Chọn D. Câu 76:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn1+Cn2+Cn3=7n2. A.n=3. B.n=4. C.n=6. D.n=8. Lời giải. Ta cóCn1+Cn2+Cn3=7n2⇔ n!n-1!+n!2!.n-2!+n!3!n-3!=7n2 ⇔n2-16=0→n=4.Chọn B. Câu 77:Tính tổng S tất cả các giá trị của x thỏa mãnCx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x. A.S=2. B.S=7. C.S=9. D.S=14. Lời giải. TacóCx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x ⇔x!1!.x-1!+6.x!2!.x-2!+6.x!3!.x-3!=9x2-14x ⇔x+3xx-1+x-2x-1x=9x2-14x ⇔x=0(l);x=2(l);x=7(n) Chọn B. Câu 78:Tìm giá trịn∈ℕthỏaCn6+3Cn7+3Cn8+Cn9=2Cn+28 A.n=18. B.n=16. C.n=15. D.n=14. Lời giải. Điều kiện:n≥9vàn∈N. Áp dụng công thứcCnk+Cnk+1=Cn+1k+1, ta cóCn6+3Cn7+3Cn8+Cn9=2Cn+28 ⇔Cn6+Cn7+2Cn7+Cn8+Cn8+Cn9=2Cn+28 ⇔Cn+17+2Cn+18+Cn+19=2Cn+28 ⇔Cn+17+Cn+18+Cn+18+Cn+19=2Cn+28 ⇔Cn+28+Cn+29=2Cn+28 ⇔Cn+29=Cn+28→n+2=9+8⇔n=15.Chọn C. Câu 79:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củanthỏa mãnPnAn2+72=6(An2+2P2). A.P=12. B.P=5. C.P=10. D.P=6. Lời giải. Điều kiện:n≥2vàn∈N. TacóPnAn2+72=6An2+2Pn ⇔n!.n!n-2!+72=6n!n-2!+2.n! ⇔n!.n-1.n+72=6n-1n+2.n! ⇔n!-6n2-n-12=0 ⇔n2-n-12=0n!-6=0⇔n=4(n)n=-3(l)n=3(n) ⇒P=4.3=12. Chọn A. Câu 80:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củaxthỏa mãn7(Ax+1x-1+2Px-1)=30Px. A.P =7. B.P = 4. C.P = 28. D.P =14. Lời giải. Điều kiện:x≥1vàx∈N. Ta có 7Ax+1x‐1+2Px‐1=30Px ⇔7x+1!2!+2.x-1!=30.x! ⇔7xx+12+2=30x ⇔7x2-53x+28=0 ⇔x=47l;x=7(n)→P=7. Chọn A. Câu 81:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnCn+8n+3=5An+63 A.n=15. B.n=17. C.n=6. D.n = 14 Lời giải. Áp dụng công thứcCnk=Cnn-k, ta cóCn+8n+3=5An+63⇔Cn+85=5.An+63 ⇔n+8n+75!=5 ⇔n2+15n-544=0 ⇔n=17(n); n=-32(l) Chọn B Câu 82:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnAx2.Cxx-1=48. A.x=4. B.x=3. C.x=7. D.x=12. Lời giải. Điều kiện:x≥2vàx∈N. TacóA2.Cxx‐1=48⇔x!x-2!.x!x-1!.1!=48 ⇔x-1x.x=48 ⇔x3-x2-48=0⇔x=4(n).ChọnA. Câu 83:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãnAn2-Cn+1n-1=5. A.n=3. B.n=5. C.n=4. D.n=6. Lời giải. Điều kiện:n≥2vàn∈N. TacóAn2-Cn+1n‐1=5⇔n!n-2!-n+1!n-1!2!=5 ⇔n-1.n-nn+12-5=0 ⇔n2-3n-10=0⇔n=-2(l)n=5(n)Chọn B. Câu 84:Tính tíchPcủa tất cả các giá trị củanthỏa mãnAn2-3Cn2=15-5n. A.P=5. B.P=6. C.P=30. D.P=360. Lời giải. Điều kiện:n≥2vàn∈N. TacóAn2-3Cn2=15-5n ⇔n!n-2!-3.n!2!.n-2!=15-5n ⇔nn-1-3nn-12=15-5n ⇔-n2+11n-30=0⇔n=6(n);n=5(n) →P=5.6=30. Chọn C. Câu 85:Tìm giá trịn∈ℕthỏa mãn3Ax4=24(Ax+13-Cxx-4). A.x=3. B.x=1. C.x=5. D.x=1;x=5. Lời giải. Điều kiện:x≥4vàx∈N. Tacó3Ax4=24Ax+13-Cxx-4 ⇔23.x!x-4!=24.x+1!x-2!-x!x-4!.4! ⇔23.1x-4!=24.x+1x-2!-1x-4!.4! ⇔23.11=24.x+1x-2x-3-11.24 ⇔23=24x+1x-2x-3-1 ⇔x+1x-2x-3=1 ⇔x=5(n);x=1(l) Chọn C. Câu 86:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãnAn+44(n+2)!<15(n-1)!? A.1. B.2. C.3. D.Vô số. Lời giải. Điều kiện:n∈N. Tacó An+44n+2!<15n-1! ⇔n+4.!n+2!n!<15n-1! ⇔n+3n+4n<15 ⇔n+3n+4<15n. ⇔n2-8n+12<0 ⇔2 Câu 87:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãn2Cn+12+3An2-20<0? A.1. B.2. C.3. D.Vô số. Lời giải. Điều kiện:n≥2vàn∈N. Tacó2Cn+12+3An2-20<0 ⇔2n+1!2!.n-1!+3.n!n-2!-20<0 ⇔nn+1+3n-1n-20<0 ⇔2n2-n-10<0⇔-2 màn≥2n∈Nnênn=2. Chọn A. Câu 88:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãn2Cn+12+3An2<30? A.1. B.2. C.3. D.Vô số. Lời giải. Điều kiện:n≥2vàn∈N. Ta có2Cn+12+3An2<30 ⇔2.n+1!2!n-1!+3.n!n-2!<30 ⇔nn+1+3n-1x<30 ⇔2n2-n-15<0⇔-52 Màn≥2n∈N⇒n=2Chọn A. Câu 89:Có bao nhiêu số tự nhiênnthỏa mãn14P3.Cn-1n-3 A.1 B.2. C.3. D.Vô số. Lời giải. Điều kiện:n≥3vàn∈N. Ta có14.P3Cn‐1n‐3 ⇔14.3!.n-1.!n-3!2! ⇔42n-2n-1 ⇔42 ⇔n<-7n>6 mà n≥3n∈Nsuy ra có vô số số n. Chọn D. Câu 90:Giải hệ phương trìnhCxy-Cxy+1=04Cxy-5Cxy-1=0 A.(x;y)=(17;8). B.(x;y)=(17;-8). C.(x;y)=(9;8). D.(x;y)=(7;9). Lời giải. Điều kiện:x≥y+1vàx,y∈N. Ta cóCxy-Cxy+1=014Cxy-5Cxy‐1=02 Phương trình ( 1)⇔Cxy=Cxy+1 ⇔y+y+1=x ⇔x-2y-1=0 Phươngtrình (2)⇔4Cxy=5Cxy‐1 ⇔4.x!y!.x-y!=5.x!y-1!.x-y+1! ⇔4y=5x-y+1⇔4x-9y+4=0. Do đó hệ phương trình đã cho ⇔x-2y-1=04x-9y+4=0⇔x=17y=8(thỏa mãn). ChọnA. Share Facebook Twitter Pinterest WhatsApp Bài trướcBài Tập Trắc Nghiệm Quy Tắc Đếm Có Đáp Án Và Lời Giải Bài tiếp theoBài Tập Trắc Nghiệm Xác Suất Có Đáp Án Và Lời Giải Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpBạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (417.15 KB, 63 trang ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Trần Thị Mai Yên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết quả khóa luận là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của cô giáo - Th.S Dương Thị Hà. Khóa luận với đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” chưa từng được công bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào. Nếu có gì sai phạm người viết sẽ chịu mọi hình thức kỉ luật theo đúng quy định của việc nghiên cứu khoa học. Hà Nội, tháng 05 năm 2013. Tác giả khóa luận Trần Thị Mai Yên MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU………………………………………………………......1 1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………1 2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………2 4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………...2 5. Cấu trúc khóa luận………………………………………………………….3 PHẦN 2: NỘI DUNG………………………………………………………..3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN………………………………………………3 1.1. Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……3 1.2. Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……………….5 1.3. Một số khó khăn, sai lầm thường gặp khi giải toán về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……………………………………………………………...11 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP…………………………………………………...17 2.1. Dạng 1: Thực hiện bài toán đếm…………………………………………17 2.2. Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức……………………………… 29 2.3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức…………………………..37 2.4. Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, hệ bất phương trình…………………………………………………………………..45 PHẦN 3: KẾT LUẬN………………………………………………………..58 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học mang tính thực tiễn phổ dụng có thể ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ sản xuất trong đời sống xã hội hiện đại. Trong chương trình toán ở trung học phổ thông “Tổ hợp và xác suất” là một trong những mảng kiến thức rất cơ bản và cần thiết. Trong đó, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng, nó liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như: đại số, lí thuyết xác suất, hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính vào vật lí, thống kê. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là ba quy tắc đếm cụ thể nhằm để đếm các phần tử của tập hữu hạn theo các quy luật thứ tự. Song song cùng với nó học sinh lần lượt làm quen với các dạng bài tập có liên quan chẳng hạn: thực hiện bài toán đếm; rút gọn và tính các giá trị của biểu thức; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; giải phương trình, bất phương trình và hệ có chứa các đại lượng về số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Với lí do nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng biết phân biệt, áp dụng các công thức, tính chất vào làm các bài tập có liên quan đến phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lí luận về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong SGK, trên cơ sở đó xây dựng và khai thác hệ thống các bài tập liên quan chủ đề này góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lí luận của chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. - Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 5. Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Bao gồm 2 chương là: Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phần 3: Kết luận 2 PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1. Hoán vị a) Hoán vị Cho tập hợp A có n (n 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A). b) Số các hoán vị - Kí hiệu Pn là số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử. - Định lí: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn = n! = n(n 1)(n 2)...1. 1.1.2. Chỉnh hợp a) Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A). b) Số các chỉnh hợp - Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Ank . - Định lí: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: Ank n(n 1)(n 2)...(n k 1). 3 Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập hợp đó nên Ann Pn n!. 1.1.3. Tổ hợp a) Tổ hợp Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). Như vậy lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự). b) Số các tổ hợp - Kí hiệu Cnk (hoặc ) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n n k phần tử. - Định lí: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: Ank n (n 1)( n 2)....(n k 1) C . k! k! k n (3) Chú ý: Với 1 k n, ta có thể viết công thức (3) dưới dạng: Cnk n! . k !(n k )! (4) 0 Ta quy ước C n 1 (coi là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử). Với quy ước này công thức (4) cũng đúng với k = 0. Vậy công thức (4) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 k n. 4 1.1.4. Một số tính chất của các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Ank k !Cnk . Cn0 Cnn 1. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n Khi đó: Cnk Cnn k . Cho các số nguyên n và k với 1 k n k k k 1 Khi đó: Cn 1 Cn Cn . (5) (5) được gọi là hằng số Pa-xcan. Để phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp ta cần lưu ý đến nhận xét sau: - Chỉnh hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà “quan tâm” đến thứ tự sắp xếp. - Tổ hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà “không quan tâm” đến thứ tự sắp xếp. - Việc phân biệt đúng lúc nào dùng công thức tổ hợp lúc nào dùng công thức chỉnh hợp là rất quan trọng. Nếu chọn nhầm cách sử dụng, kết quả phép tính sẽ sai hoàn toàn. 1.2. Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Trong chương trình sách giáo khoa ta đã được làm quen với một số dạng bài tập cơ bản sau: 1. Thực hiện bài toán đếm Ví dụ: (SGK – ĐS>NC11, trang 63). Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. a) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể? b) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? 5 Giải 4 a) Chọn 4 người điểm cao nhất thì số kết quả có thể là: C15 1365. b) Chọn 3 người sắp thứ tự nhất, nhì, ba là một chỉnh hợp. Do đó số kết 3 quả có thể là: A15 2730. 2. Chứng minh đẳng thức Ví dụ: (SBT – ĐS>CB11, trang 63). Chứng minh rằng với các số nguyên k, n không âm, 1 k n. Ta có: Cnk11 Cnk Cnk1 ... Ckk1 Ckk . Giải Ta có: C nk11 C nk C nk 1 C nk 1 C nk1 C nk11 .......................... C kk 21 C kk1 C kk11 C nk11 C nk C nk1 ... C kk1 C kk11 C nk11 C nk C nk1 ... C kk1 C kk . Trong chương trình môn Toán nói chung ngoài những dạng trên ta có thể thấy một số dạng bài tập sau: 1. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức Ví dụ: Rút gọn biểu thức: T Pn 1 n! . n 3! An2 n 2 ! Giải Ta có: n ! n 2 ! n! n! n 2. 2 n 3! An n 3 ! n ! n 3 ! n ! n 2 ! 6 n 1! 1 . Pn 1 n 2! n 2 ! n 2 Khi đó: T n 2 n 2 n 2 1 n2 5 . 1 n2 n2 n2 2. Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh rằng: n ! 2n 1 với n Z , n 3. Giải Cách 1: (Sử dụng phương pháp đánh giá). Ta có nhận xét: 2 2 2 3 n – 1 phần tử. ... 2 n Suy ra: 2n1 2.3...n 1.2.3...n n! (Đpcm). Cách 2: (Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp). Với n = 3 ta có: 3! 231 6 4 (luôn đúng). Vậy bất đẳng thức đúng với n = 3. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có: k ! 2k 1 , với k Z , k 3. Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là chứng minh k 1! 2k , với 7 k Z , k 3. Thật vậy: k 3 k 1! k 1 k ! k 1 .2k 1 2.2k 1 2k (Đpcm). 3. Giải phương trình, bất phương trình và hệ Ví dụ 1: Giải phương trình 2 Pn 6 An2 Pn An2 12. Giải Xét phương trình 2 Pn 6 An2 Pn An2 12. (1) Điều kiện để (1) có nghĩa là n 2, n . () (1) 2 n ! 6 n! n! n! 12 0 n 2 ! n 2 ! 2 n ! 6 n 1 n n ! n 1 n 12 0 2 n ! 6 n n 1 n ! 6 0 n ! 6 2 n n 1 0 n ! 6 0 2 n n 2 0 n ! 3! n 3 n 1 n 1. n 2 n 2 Đối chiếu với điều kiện (), thì n = 1 bị loại. Vậy tập nghiệm của (1) là S = {2, 3}. C nn13 1 . Ví dụ 2: Giải bất phương trình 4 An 1 14 P3 Giải C nn13 1 . Xét bất phương trình 4 An 1 14 P3 n 3 0 n 3 n 1 4 . Điều kiện để (1) có nghĩa là n N n N 8 (1) Ta có: (1) n 1! n 3 ! 1 n 3 !2! n 1! 14.6 1 1 2 n 1 n 84 n n 1 42 n 2 n 42 0 n 6 . n 7 Kết hợp với điều kiện thì n < 7 bị loại. Vậy nghiệm của (1) là n > 6, n N. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: Ayx Cyyx 126 . Px1 P 720 x 1 Giải Điều kiện: x, y , 2 x y. Biến đổi phương trình về dạng: y! y! 126 ( y x )!( x 1)! ( y x )! x ! ( x 1)! 6! y !( x 1) 126 ( y x )! x ! x5 y !6 126 ( y 5)!5! x5 9 ( y 4)( y 3)( y 2)( y 1) y 21.5! y 7. Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y 5; 7 . Ví dụ 4: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2004). Giải bất phương trình hai ẩn n, k (với n, k 0) sau: Pn 5 60 Ank32 . (n k )! Giải Xét bất phương trình: Pn 5 60 Ank32 . (n k )! (1) Điều kiện để (1) có nghĩa là: nk nk n 3 0 k 2 . k 2 0 n, k N n, k N Do n, k 0, nên điều kiện là n k, n, k là các số tự nhiên. () Ta có: (1) (n 5)! (n 3)! 60 60 (n 4)(n 5) (n k )! (n k 1)! n k 1 (n 4)(n 5)(n k 1) 60 . (3) Vì n k n k 1 1 (n 4)(n 5)(n k 1) (n 4)(n 5). Xét các khả năng sau: Nếu n 4 thì (n + 4)(n + 5) 72. Từ đó (3) không đúng, vậy với mọi n 4 đều không thỏa mãn (3). Nếu n = 0. Do 0 k n k = 0. Khi n = k = 0, thì VT(3) = 20 < 60, vậy n = k = 0 thỏa mãn (3). k 0 Nếu n = 1 . Do 0 k n . k 1 10 Thử lại n = 1, k = 0 hoặc n = k = 1 đều thỏa mãn (3). Nếu n = 2. Ta có: (3) 6.7.(3 k ) 60 3 k 10 11 k . 7 7 Kết hợp với k 2 k 2. Nếu n = 3. Ta có: (3) 7.8.(4 k) 60 4 k 15 41 k . 14 14 Kết hợp với k 3 k = 3. Tóm lại nghiệm của (1) là các cặp (n ; k) sau đây: (n ; k) = {(0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}. 1.3. Một số khó khăn sai lầm thường gặp khi giải toán về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cơ sở để giải các bài toán tổ hợp là việc vận dụng các quy tắc nhân, quy tắc cộng và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Đối với học sinh khi mới học về toán tổ hợp thì ít nhiều cũng gặp khó khăn nhất định. Khó khăn đầu tiên gặp phải là một bài toán không biết khi nào sử dụng tổ hợp, khi nào sử dụng chỉnh hợp, tuy nhiên khó khăn này sẽ nhanh chóng được giải quyết nếu ta để ý bản chất của tổ hợp là sắp xếp tùy ý không có thứ tự còn chỉnh hợp là có thứ tự. Ví dụ 1: Một cửa hàng có 4 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách vào một cửa và ra cửa khác? Cách giải sai: Mỗi cách vào một cửa, ra một cửa là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử. 2 Số cách là: C4 6(cách). Lời giải quên rằng khi vào cửa A ra cửa B và vào cửa B ra cửa A là 2 cách khác nhau. 11 Cách giải đúng: 2 Vậy đáp án đúng là A4 12(cách). Ví dụ 2: Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau mà có chữ số 1? Cách giải sai: Vì chữ số đầu tiên khác 0 nên có 4 cách chọn chữ số thứ nhất còn 3 vị trí còn lại là chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. Số cách chọn là 4. A43 96. Sai lầm của bài giải là chưa thỏa mãn tính chất có chữ số 1 trong số tạo thành (Sai lầm này ít gặp). Cách giải đúng: - Nếu chữ số đầu tiên là 1 thì số các số tạo thành thỏa mãn đầu bài là: 1. A43 24 . - Nếu chữ số đầu tiên khác 1 thì khi đó chữ số đầu tiên sẽ có 3 cách chọn. Khi đó số 1 sẽ nằm 1 trong 3 vị trí còn lại. Do đó số các số tạo thành là: 3.3. A32 54. Theo quy tắc cộng ta có số các số tạo thành là: 24 + 54 = 78 số. Ví dụ 3: Tính số cách chọn 3 cặp nhảy từ 10 bạn nam và 6 bạn nữ (mỗi cặp nhảy gồm một nam và một nữ)? Cách giải sai: 3 Số cách chọn 3 bạn nam từ 10 bạn là A10 . 3 Số cách chọn 3 bạn nữ trong 6 bạn là A6 . 3 3 Vậy số cách chọn là A10 . A6 86400 . 12 Sai lầm của bài giải: Đây là cách chọn bình đẳng, không kể thứ tự nhưng học sinh lại tính theo cách chọn có thứ tự. Cách giải đúng: 3 Cách chọn 3 bạn nam là C10 . 3 Cách chọn 3 bạn nữ là C6 . Trong một lần sắp cặp như vậy thì có 3! cách sắp xếp cho 3 nam nhảy với 3 nữ vậy số cách sắp thỏa mãn là: C103 .C63 .3! 14400 (cách). Ví dụ 4: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Cách giải sai: 3 Cách chọn 3 bạn nam là C10 . 3 Cách chọn 3 bạn nữ là C6 . Trong một lần sắp cặp như vậy thì có 3! cách sắp xếp cho 3 nam nhảy với 3 nữ vậy số cách sắp thỏa mãn là: C103 .C63 .3! 14400 (cách). Cách giải đúng: - Chọn 3 nam trong 10 nam. Vì 3 người này có thể đổi vị trí cho nhau nên số cách chọn là số chỉnh hợp chập 3 của 10 ta được: A103 10! 10! 8.9.10 720 (cách). (10 3)! 7! - Tương tự số cách chọn 3 trong 6 nữ là: A63 6! 4.5.6 120 (cách). 3! 13 Vậy số cách chọn 3 cặp là: A103 . A63 720.120 86400 cách. Ví dụ 5: Một nhóm có 18 học sinh trong đó có 7 học sinh lớp 12, 6 học sinh lớp 11, 5 học sinh lớp 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 em đi thi mà một khối có ít nhất một em? Cách giải sai: Ta sẽ chọn 3 em học sinh ở cả 3 khối, sau đó sẽ chọn ngẫu nhiên 5 em còn lại trong số 15 học sinh ta được C71.C61.C51.C155 630630 (cách). Bài giải sai vì theo nguyên tắc cơ bản của quy tắc nhân các hoạt động được chọn phải độc lập với nhau. Ở hành động thứ tư (chọn ra 5 em trong số các học sinh còn lại) không còn độc lập nữa rồi. Nó phụ thuộc vào kết quả trước đó đã chọn ra những em nào? Do đó phép đếm bị trùng lặp rất nhiều. Cách giải đúng: Lời giải đúng phải sử dụng quy tắc cộng tổng quát (gộp vào và loại đi). Ta sẽ có số cách chọn là: C188 C118 C128 C138 41811(cách) . Trên là những sai lầm mà học sinh hay mắc phải khi giải các bài toán đếm. Ngoài ra khi giải phương trình có chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp học sinh cũng có thể mắc sai lầm. Ví dụ 6: Giải phương trình Ax3 C xx 2 14 x . Cách giải sai: Phương trình đã cho tương đương với: x! x! 14 x ( x 3)! 2!( x 2)! x ( x 1) x( x 1)( x 2) 14 x 2 14 2 x 2 5 x 25 0 x5 5. x 2 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5; . 2 Cách giải đúng: Điều kiện của phương trình là x 3, x N . Biến đổi phương trình về dạng: x! x! 14 x ( x 3)! 2!( x 2)! x( x 1) x( x 1)( x 2) 14 x 2 2 x 2 5 x 25 0 x5 5. x 2 Kết hợp với điều kiện thì x 5 bị loại. 2 Vậy nghiêm của phương trình đã cho là x 5 . Kết luân: Chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán, là cơ sở để có thể học tốt phần xác suất thống kê và còn được sử dụng rất nhiều trong đời sống hàng ngày. Trong quá trình giải các bài toán thuộc chủ đề này học sinh còn hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp, khi giải phương trình còn chưa chú ý đến tập xác định của phương trình. Với mục đích giúp học sinh có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, từ đó đưa ra phương pháp giải phù hợp 15 với yêu cầu của bài toán nên tôi đã sắp xếp hệ thống các kiến thức, các dạng bài tập trong sách giáo khoa và trong chương trình môn Toán của chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; đồng thời tôi cũng nêu lên một số khó khăn và việc khắc phục những sai lầm của học sinh khi học phần này. Ở chương 2, tôi sẽ phân loại các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Ở mỗi dạng trước hết có các ví dụ minh họa bao gồm: một số bài tập trong sách giáo khoa, trong các đề thi tốt nghiêp của các năm, các bài toán chọn lọc nâng cao, các bài toán giải bằng nhiều cách khác nhau. Sau đó đưa ra một số bài tâp luyện tâp. 16 CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 2.1. Dạng 1: Thực hiện bài toán đếm 2.1.1. Kiến thức thường sử dụng 1. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: - Tất cả n phần tử đều có mặt. - Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần. - Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử. 2. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn. 3. Để nhận biết một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn. 2.1.2. Ví dụ Ví dụ 1: (SGK- ĐS & GTNC11, trang 62). Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội bóng trong một giải bóng đá có 5 đội bóng (giả sử không có hai đội nào đó điểm trùng nhau)? Giải Số khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng là: 5! = 120 (khả năng). Ví dụ 2: Cho tập A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 17 a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau và chia hết cho 5? c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có 9 chữ số khác nhau? Giải Một số có 9 chữ số phân biệt được kí hiệu: a a1a 2 ...a 9 với a i A; i 1,9; a i a j . a) Ta có ngay a1, a2,…,a9 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A, do đó nó là một hoán vị của 9 phần tử. Vậy từ A có thể lập được: P9 = 9! = 362880 số thỏa mãn điều kiện đầu bài. b) Số a chia hết cho 5, do đó: a 9 5 tức là a 9 có một cách chọn. a1 , a 2 ,..., a 8 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A\{5} do đó nó là một hoán vị của 8 phần tử, do đó có P8 cách chọn. Theo quy tắc nhân, số các số gồm 9 chữ số phân biệt và chia hết cho 5 hình thành từ tập A bằng: 1.P8 = 40320 số. c) Số a là số chẵn, do đó: a9 {2, 4, 6, 8} tức là có 4 cách chọn . a 1 , a 2 , ..., a 8 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A\{a9} do đó nó là một hoán vị của 8 phần tử , do đó có P8 cách chọn . Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 9 chữ số phân biệt hình thành từ tập A bằng: 4.P8 = 161280 số. Ví dụ 3: Xét mọi hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tính tổng S của tất cả các số tạo bởi hoán vị này? 18 Giải Từ 6 số đã cho ta có thể lập được: P6 = 6! = 720 số gồm 6 chữ số khác nhau. Nhận xét rằng “Ứng với mỗi số N thuộc tập hợp này luôn tồn tại một và chỉ một số N’ sao cho tổng N + N’ = 777777”. Do đó có tất cả: 720 360 cặp số (N, N’) mà tổng bằng 777777. 2 Vậy tổng S của tất cả các số tạo bởi hoán vị đã cho bằng: S = 777777. 360 = 279999720. Nhận xét: Trong lời giải của ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng tương ứng 1 - 1 để tạo ra các cặp số có tổng không đổi (ví dụ số 123456 sẽ ứng với số 654321) từ đó tính được tổng các hoán vị. Ví dụ 4: a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người ngồi quanh một bàn chữ U? b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người ngồi quanh một bàn tròn? Giải Đặt E = {a1, a2, a3, a4} là tập 4 người. a) Với bàn hình chữ U, có thể phân biệt vị trí chỗ ngồi bằng cách đánh số thứ tự. Khi đó mỗi cách sắp xếp ứng với một và chỉ một bộ 4 phần tử của tập E. Vậy số cách sắp xếp bằng: P4 = 4! = 24 cách. b) Với một bàn tròn người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi có nghĩa là các kết quả chỉ do đổi chỗ vòng tròn, sẽ không coi là khác nhau. Vậy số cách sắp xếp bằng: P4 6. 4 Ví dụ 5: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 19 Giải Đây là số hoán vị 8 vật trong đó có 3 vật giống nhau (ba chữ số 1). Do đó số các số thỏa mãn là: 8! 3! Trong đó kể cả những số có chữ số 0 tận cùng bên trái. Số các số này có thể xem là số hoán vị 7 vật có 3 vật được lặp lại là: 7! 3! Do đó, số các số gồm 8 chữ số được viết từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần là: 8! 7! 8! 7! 7.7! 7.4.5.6.7 5880. 3! 3! 3! 3! Ví dụ 6: Cho các số 1, 2, 5, 7, 8. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 số trên sao cho: a) Số tạo thành có một số chẵn. b) Số tạo thành không có chữ số 7. c) Số tạo thành nhỏ hơn 278. Giải a) Do có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có: 2.4.3 2. A42 24 số chẵn. b) Các chữ số chỉ được chọn trong 4 số. Vậy có: 4.3.2 A42 24 số không có chữ số 7. c) Trong trường hợp này: Chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2. - Nếu chữ số hàng trăm là 1 thì có 4.3 A42 12. - Nếu chữ số hàng trăm là 2 thì có đúng 8 số (275, 271, 258, 257, 251, 218, 217, 215). Vậy có 20 số nhỏ hơn 278. 20 Ví dụ 7: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5? Trong các số đó có bao nhiêu số không chia hết cho 5? Giải Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng: a1a 2a 3a 4a 5a 6 , với ai A, i 1, 6 ; ai aj , i j. Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta thấy: 5 {a1, a2, a3, a4, a5, a6} nên có 6 cách chọn. Tiếp theo mỗi bộ số dành cho 5 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của các phần tử của tập A\{5} – có 8 phần tử. 5 Có A8 cách chọn. Như vậy ta được: 6 A85 40320 số. Trong các số trên, những số chia hết cho 5 khi a6 = 5 .Tức là ta có A85 Vậy số các số tìm được không chia hết cho 5 là: 6 A85 A85 5 A85 33600 số. Ví dụ 8: Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5? Giải Một số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng: a1a 2a 3a 4 a 5 với ai A, i 1,5 ; ai aj , i j. Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta đi xét 2 khả năng. - Khả năng 1: Nếu a1 = 5 thì có 1 cách chọn. Khi đó, mỗi bộ (a2, a3, a4, a5) ứng với một chỉnh hợp chập 4 của các 4 phần tử của tập A\{5} – có 6 phần tử. Do đó có A6 cách chọn. Như vậy, trong khả năng này, ta được 1.A64 số. 21 |
