Cho A, B là hai ma trận vuông hệ số phức cấp $n.$ Xét ánh xạ tuyến tính $X\mapsto AX-XB$ từ không gian các ma trận vuông phức cấp $n$ vào chính nó.
Vấn đề: ước lượng chiều của hạt nhân của ánh xạ này.
Một kết quả trong sách Advanced Linear Algebra của Steve Roman là: Nếu A, B có tập các giá trị riêng không giao nhau thì hạt nhân này bằng không gian vector 0.
Vậy nếu $A, B$ có chung giá trị riêng nào đó thì ta có thể tính được chiều không? Và ước lượng thế nào?
Nghĩa là hệ gồm m VTR ứng với m GTR đôi một khác nhau có số vectơ độc lập tuyến tính là m nên hệ đã cho là đltt.
II. Chéo hóa ma trận:
2.1. Ma trận đồng dạng:
Hai ma trận A, B vuông cấp n được gọi là đồng dạng nếu tốn tại 1 ma trận không suy biến S sao cho: . Ký hiệu A ~ B
2.2. Tính chất:
Hai ma trận đồng dạng có cùng 1 đa thức đặc trưng
Chứng minh:
Do: nên ta có:
2.3. Ma trận chéo hóa được:
Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo. [nghĩa là: A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: , với D là 1 ma trận chéo].
Khi đó, P được gọi là ma trận làm chéo hóa ma trận A, D là dạng chéo của ma trận A.
Ví dụ: Cho . Ma trận là ma trận không suy biến có:
Khi đó, ta dễ dàng có được:
Khi nào ma trận A chéo hóa được? Làm sao tìm được ma trận C làm chéo hóa ma trận A?
2.4. Định lý:
Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính
2.5. Hệ quả:
1. Nếu ma trận A vuông cấp n có đủ n GTR đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.
2. Ứng với mỗi GTR bội k phải có đủ k VTR độc lập tuyến tính [Cơ sở của không gian con riêng ứng với GTR đó phải có k vecto]
2.6. Ma trận làm chéo hóa ma trận A. Và dạng chéo của ma trận A:
Nếu ma trận A chéo hóa được thì tồn tại ma trận P làm chéo hóa ma trận A, nghĩa là:
Mà D là ma trận chéo nên D có dạng:
Bây giờ, ta ký hiệu cột thứ i của ma trận P là thì ta dễ dàng nhận thấy cột thứ i của ma trận tích AP sẽ là và cột thứ i của ma trận PD sẽ là
Mà 2 ma trận bằng nhau khi các phần tử tương ứng bằng nhau. Do đó, ta có:
Do đó, theo định nghĩa của GTR, VTR ta có là VTR ứng với GTR
Vậy P là ma trận gồm các VTR và D là ma trận gồm các GTR được xác định như sau:
Cột thứ i của ma trận P là VTR ứng với GTR thứ i. Cột thứ i của ma trận D có phần tử
2.7. Các ví dụ ứng dụng:
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng ma trận A chéo hóa được và tìm ma trận làm chéo hóa ma trận A và dạng chéo của nó:
Theo ví dụ 3, phần 1 ta có: ma trận A có các GTR lần lượt là:
Do đó, theo hệ quả 2.5, thì ma trận A là chéo hóa được.
Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng có dạng:
VTR ứng với giá trị riêng có dạng:
VTR ứng với giá trị riêng có dạng:
Vậy theo tính chất 1. 6 ma trận A có 3 VTR độc lập tuyến tính là
Như vậy, ta có thể chọn: và dạng chéo của ma trận A tương ứng là . Khi đó:
Ta cũng có thể chọn: và dạng chéo của ma trận A tương ứng là
Ví dụ 2: Cho A là ma trận vuông cấp 2 có 2 GTR là 1 và – 2 và 2 VTR tương ứng là [1,0] và [1, -1]. Tính:
Giải
Đặt .
Ta tìm được:
Khi đó:
Do đó:
Mặt khác: [theo tính chất của ma trận chéo]
Nên:
Nhận xét: 1 ứng dụng của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta dễ dàng tính toán được lũy thừa bậc cao của ma trận.
Ứng dụng khác: 1 ứng dụng đặc biệt khác của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta xây dựng 1 công cụ để giải hệ phương trình vi phân: với . Đây chính là thuật toán Euler trong việc giải hệ phương trình vi phân.
– 1 ứng dụng khác của thuật toán chéo hóa ma trận đó là giúp chúng ta có 1 công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các đường bậc 2 và mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều.