Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có các giá trị cực trị trái dấu

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{y'}} > 0\\
S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} > 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm âm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{y'}} > 0\\
S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} < 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn:

$\left\langle \begin{array}{l}
{x_1} < \alpha < {x_2}\\
{x_1} < {x_2} < \alpha \\
\alpha < {x_1} < {x_2}
\end{array} \right.$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}} 0\\
  {y_C} + {y_{CT}} > 0
  \end{array} \right.$
  • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

  $\Leftrightarrow $phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và$\left\{ \begin{array}{l}
  {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\\
  {y_{CD}} + {y_{CT}} < 0
  \end{array} \right.$

  • Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

  $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$[áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số]

  Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

  $\Leftrightarrow $đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

  $\Leftrightarrow $phương trình hoành độ giao điểm $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm phân biệt [áp dụng khi nhẩm được nghiệm]

  3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị
  ${g\left[ x \right] = \left[ {\frac{{2c}}{3} - \frac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right]x + d - \frac{{bc}}{{9a}}}$hoặc ${g\left[ x \right] = y - \frac{{y'.y''}}{{18a}}.}$hoặc ${g\left[ x \right] = y - \frac{{y'.y''}}{{3y'''}}}$

  3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

  $AB=\sqrt{\frac{4e+16{{e}^{3}}}{a}}$ với $e=\frac{{{b}^{2}}-3ac}{9a}$

  3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c,\text{ }\left[ a\ne 0 \right]$

  3.2.1. Một số kết quả cần nhớ

  • Hàm số có một cực trị $\Leftrightarrow ab\ge 0.$
  • Hàm số có ba cực trị $\Leftrightarrow ab 0\\
    b \ge 0
    \end{array} \right.$
  • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a < 0\\
    b \le 0
    \end{array} \right.$
  • Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a > 0\\
    b < 0
    \end{array} \right.$
  • Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a < 0\\
    b > 0
    \end{array} \right.$

  3.2.2. Một số công thức tính nhanh

  Giả sử hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có $3$cực trị: $A[0;c],B\left[ -\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right],C\left[ \sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right]$

  tạo thành tam giác $ABC$thỏa mãn dữ kiện: $ab