Cho mặt cầu [S]: x 4+y? +2?-4=0 và 4 điểm M[E20], N[0;1,0], P[E] , Q[L-b2] . Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu [s] ?
Cập nhật ngày: 14-09-2022
Chia sẻ bởi: Hoàng Đình Hiếu
Cho mặt cầu và 4 điểm , . Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu ?
Chủ đề liên quan
Mặt cầu tâm và đi qua có phương trình:
Chọn khẳng định sai?
A
Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
B
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó.
C
Mọi mặt phẳng trong không gian đều có phương trình dạng: .
D
Trong không gian , mỗi phương trình dạng: đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó.
Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng [P] có phương trình . Mặt phẳng [P] có một vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm , , . Phương trình mặt phẳng là:
Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm và . Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng là:
Trong không gian cho mặt cầu . Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm là
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng , biết mặt phẳng song song với mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , và . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng .
Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình cầu . Phương trình mặt phẳng chứa cắt hình cầu theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?
Khẳng định nào sau đây sai?
C
Nếu và đều là nguyên hàm của hàm thì .
Công thức nào sau đây sai
Tìm nguyên hàm của hàm số trên .
Họ nguyên hàm của hàm số là:
Họ nguyên hàm của hàm số là:
Cho hàm số có đạo hàm và . Hàm số là:
Cho và .Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tìm nguyên hàm của hàm số
Cho hàm số , liên tục trên và số thực tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Cho hàm số thỏa mãn . Tính .
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là dạng bài tập rất hay gặp trong các đề ôn thi đại học. Để có thể ôn luyện thật hiệu quả và đạt được điểm cao, các bạn học sinh hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây, sẽ có đầy đủ lý thuyết và công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cho học sinh tham khảo.
1. Cách xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua 4 đỉnh hay 4 điểm A, B, C, D. Để tìm và xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, chúng ta làm theo 3 cách sau:
Cách 1: Sử dụng tính chất IA = IB = IC = ID. Gọi I là tâm mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.
Cách 2: Ví dụ phương trình mặt cầu là $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by+2cz+d=0$.
Vì mặt cầu cùng đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu. Ta sẽ có hệ 4 phương trình ẩn a, b, c, d. Giải hệ này ta sẽ nhận được phương trình mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.
Cách 3: Ta viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, CD, BC. Giao của ba mặt phẳng này là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD hay tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
2. Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Phương pháp chung để tính nhanh công thức mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:
- Chúng ta xác định tâm của đáy để từ đó dựng được đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực [P] của một cạnh bên bất kì.
- Tâm mặt cầu là giao điểm của d và [P].
Đăng ký ngay để nhận bộ tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia
3. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là dạng bài tập rất phổ biến. Ta có các dạng công thức dưới đây:
3.1. Dạng 1: Hình chóp đều
Ta có a là độ dài cạnh bên của hình chóp, h là chiều cao của hình chóp.
R = $\frac{a^{2}}{2h}$
Ví dụ: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho biết ta có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a.
Giải:
Gọi O chính là tâm hình vuông ABCD, vậy ta có SO$\perp $[ABCD].
ao = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta xét tam giác SAO vuông tại O.
SO = $\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a\sqrt{34}}{2}$
Ta lại có R = $\frac{SA^{2}}{2SO}=\frac{9a\sqrt{34}}{34}$
3.2. Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
Ta gọi r, h là bán kính và chiều cao đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Có:
R=$\sqrt{[\frac{h}{2}]{2}+r{2}}$
Ví dụ: Hãy tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC khi cho tứ diện OABC, các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 2a.
Giải:
Ta có tam giác OBC vuông tại O nên h = OA = a
Ta có BC =$\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=2\sqrt{2}a$
r = $a\sqrt{2}$
Theo công thức ta áp dụng:
R = $\sqrt{[\frac{a}{2}]{2}+[a\sqrt{2}]{2}}=\frac{3a}{2}$
3.3. Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy được gọi lần lượt là $R_{b},R_{d}$. GT là độ dài giao tuyến mặt bên và đáy.
R=$\sqrt{R_{b}{2}+R_{d}{2}-\frac{GT^{2}}{4}}$
Ví dụ: Hãy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Tam giác SAB đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Giải
Giao tuyến của [SAB] và [ABCD] là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Bán kính R đường tròn ngoại tiếp mặt bên là R = SG =$\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Ta có công thức:
$R=\sqrt{R_{b}{2}+R_{d}{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$
Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ
4. Một số bài tập tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Bài 1: Hãy tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết rằng S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. BC = 4a, AB = 3a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy.
Giải:
Ta có $R_{d}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=\frac{5a}{2}$
\=> R=$\sqrt{R_{d}{2}+[\frac{h}{2}]{2}}=\sqrt{[\frac{5a}{2}]{2}+[\frac{12a}{2}]{2}}=\frac{13a}{2}$
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC bằng nhau và đều bằng a. Hãy tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết rằng $\widehat{ASC}=\widehat{ASB}=90^{\circ}$
Giải:
S = $4\pi R^{2}=\frac{7\pi a^{2}}{3}$
Bài 3: Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp khi cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy [ABC]. AB = a và $\widehat{BAC}=120^{\circ}$
Giải:
Áp dụng định lý cos ta có:
BC =$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.cos\widehat{BAC}}=a\sqrt{3}$
Lại có r = $\frac{AB.BC.AC}{4.S_{ABC}}=\frac{AB.BC.AC}{2.AB.AC.sin\widehat{BAC}}=a$
R=$\sqrt{[\frac{h}{2}]{2}+r{2}}=\sqrt{[\frac{2a}{a}]{2}+a{2}}=a\sqrt{2}$
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình vuông. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SC = 2a.
Giải:
Ta có:
R = $\frac{AC}{2}$, h = SA
R = $\sqrt{[\frac{AC}{2}]{2}+[\frac{SA}{2}]{2}}=\frac{1}{2}S_{c}=a$
Bài 5: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết mặt phẳng [SAB] vuông góc với đáy, SA = SB = a và $\widehat{ASB}=120^{\circ}$
Giải:
AB = $\sqrt{SA^{2}+SB^{2}-2SA.SB.cos\widehat{ASB}}=a\sqrt{3}$
\=> GT=AB=$a\sqrt{3}$
$R_{d}=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
$R_{b}=\frac{SA.SB.AB}{4.S_{ABC}}=\frac{SA.SB.AB}{2.SA.SB.sin120^{\circ}}=a$
Để ôn tập nhiều hơn về các lý thuyết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đồng thời áp dụng để thực hành các bài tập luyện tập, cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Trường Giang nhé. Có rất nhiều mẹo giải nhanh bằng CASIO mà các em học sinh không nên bỏ qua đâu đó!
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách giải chi tiết nhất của bài toán mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Để có thể đạt được kết quả cao thì hãy kết hợp luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nữa. Các bạn có thể truy cập nền tảng Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề ôn thi THPT Quốc gia!