Đề bài
Cho hai đường tròn [O] và [O] cắt nhau tại B và C. Tiếp tuyến tại C của đường tròn [O] cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai M. Vẽ cát tuyến MBA [A thuộc đường tròn tâm O]. Qua M vẽ tiếp tuyến d của đường tròn [O]. Chứng minh rằng:
a] \[M{C^2} = MA.MB\]
b] AC // d
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tam giác MAC và MCB đồng dạng.
b] Chứng minh hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác MAC và tam giác MCB có:
\[\widehat M\,chung;\]
\[\widehat {MAC} = \widehat {MCB}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC của đường tròn \[\left[ O \right]\]];
\[ \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MCB\,\,\left[ {g.g} \right] \]
\[\Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MC}}{{MB}} \Rightarrow M{C^2} = MA.MB\].
b] Ta có: \[\widehat {BMx} = \widehat {MCB}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC của đường tròn \[\left[ {O'} \right]\]].
Mà \[\widehat {MCB} = \widehat {MAC}\] [cmt] \[ \Rightarrow \widehat {BMx} = \widehat {MAC}\]. Hai góc này ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow AC//d\,\,\left[ {dpcm} \right]\].