Đề bài
Cho hai điểm \[A\left[ {3;0} \right]\], \[B\left[ {0;4} \right]\]. Đường tròn nội tiếp tam giác \[OAB\]có phương trình là:
A. \[{x^2} + {y^2} = 1\]
B. \[{x^2} + {y^2} = 2\]
C. \[{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\]
D. \[{x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 25 = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \[I\left[ {a;b} \right]\]là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[OAB\].
- Dựng hình, lập phương trình ẩn \[a,b\], giải và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\left[ {a;b} \right]\]là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[OAB\]\[\left[ {0 < a,b < 3} \right]\]
Đường thẳng \[AB\]đi qua \[A\left[ {3;0} \right],B\left[ {0;4} \right]\]nên có phương trình \[\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\]
\[d\left[ {I,OA} \right] = d\left[ {I,OB} \right] = d\left[ {I,AB} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3b - 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\]
Dễ thấy \[a,b > 0\]nên \[a = b\].
Do đó \[a = \dfrac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5}\]\[ \Leftrightarrow 5a = \left| {7a - 12} \right|\]\[ \Leftrightarrow 25{a^2} = 49{a^2} - 168a + 144\]\[ \Leftrightarrow 24{a^2} - 168a + 144 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6\left[ L \right]\\a = 1\left[ {TM} \right]\end{array} \right.\]
Do đó \[I\left[ {1;1} \right],R = 1\]nên ta có phương trình \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 1\]hay \[{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\].
Chọn C.