Đề bài
Chứng minh:
\[{7 \over {16}}\ln \left[ {3 + 2\sqrt 2 } \right] - 4\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] - {{25} \over 8}\ln \left[ {\sqrt 2 - 1} \right] = 0\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}
3 + 2\sqrt 2 = 2 + 2\sqrt 2 + 1\\
= {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} + 2\sqrt 2 + {1^2} = {\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]^2}\\
\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\left[ {\sqrt 2 + 1} \right] = 2 - 1 = 1\\
\Rightarrow \sqrt 2 - 1 = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}=[\sqrt 2 + 1]^{-1}
\end{array}\]
Do đó,
\[{7 \over {16}}\ln \left[ {3 + 2\sqrt 2 } \right] - 4\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] - {{25} \over 8}\ln \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\]
\[ = {7 \over {16}}\ln {\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]^2} - 4\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] - {{25} \over 8}\ln {[\sqrt 2 + 1]^{-1} }\]
\[ = \frac{7}{{16}}.2\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] - 4\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] - \frac{{25}}{8}.\left[ { - \ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right]} \right]\]
\[ = {7 \over 8}\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] - 4\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] + {{25} \over 8}\ln \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] = 0\]
Cách trình bày khác: