Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \] và AM + BN bé nhất
Đề bài
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \] và AM + BN bé nhất
Lời giải chi tiết
Giả sử hai điểm M, N nằm trên d sao cho \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \]
Lấy điểm A sao cho \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \] thì điểm A hoàn toàn xác định và AMNA là hình bình hành nên AM = AN
Ta có: AM + BN = AN + BN
Gọi A là điểm đối xứng của A qua d, khi đó:
AN + BN = AN + BN AB
Từ đó ta suy ra AM + BN nhỏ nhất khi N là giao điểm của BA với d
Từ đó tìm được điểm M thỏa \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \]