Đề bài
Câu 1. Giải và biện luận phương trình \[{m^2}x + 1 = mx + m\] theo tham số \[m\].
Câu 2. Tìm m để phương trình \[\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + m - 2 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]thỏa mãn điều kiện \[x_1^2 + x_2^2 = 36\].
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có \[{m^2}x + 1 = mx + m \]
\[\Leftrightarrow \left[ {{m^2} - m} \right]x = m - 1\]
+] \[{m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 1\end{array} \right.\]
Phương trình có nghiệm duy nhất \[x = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} - m}} = \dfrac{1}{m}\]
+] \[{m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\]
+ Với \[m=0\] phương trình trở thành \[0x = -1\]. Phương trình vô nghiệm.
+ Với \[m=1\] phương trình trở thành \[0x = 0\]. Phương trình nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\] .
Kết luận
\[m \ne 0\] và \[m \ne 1\] : Phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\dfrac{1}{m}} \right\}\] .
\[m =0\] : Phương trình có tập nghiệm \[S = \emptyset \] .
\[m = 1\] : Phương trình có tập nghiệm \[S = \mathbb{R}\]
Câu 2.
Điều kiện để phương trình \[\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + m - 2 = 0\] có hai nghiệm phân biệt
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\5m - 1 > 0\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m > \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\]
Khi đó \[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left[ {m + 1} \right]}}{{m - 1}},{\rm{ }}{{\rm{x}}_1}{x_2} = \dfrac{{m - 2}}{{m - 1}}\] .
Suy ra \[x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} \]\[\;= \dfrac{{4{{\left[ {m + 1} \right]}^2}}}{{{{\left[ {m - 1} \right]}^2}}} - \dfrac{{2\left[ {m - 2} \right]}}{{m - 1}}\]\[\; = \dfrac{{2{m^2} + 14m}}{{{{\left[ {m - 1} \right]}^2}}}\] .
Do đó: \[x_1^2 + x_2^2 = 36 \Leftrightarrow \dfrac{{2{m^2} + 14m}}{{{{\left[ {m - 1} \right]}^2}}} = 36\]
\[ \Leftrightarrow 17{m^2} - 43m + 18 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = \dfrac{9}{{17}}\end{array} \right.\] [thỏa mãn điều kiện].
Vậy các giá trị cần tìm là \[m = 2\] và \[m = \dfrac{9}{{17}}\].