Phương trình Logarit và bài tập phương trình logarit có lời giải là chuyên đề thường gặp trong chương trình toán 12. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng banmaynuocnong.com tìm hiểu cụ thể hơn nhé!.
Định nghĩa phương trình logarit là gì?
Tìm hiểu về hàm số Logarit
Hàm số Logarit là hàm số có dạng [y=Log_{a}x] [với cơ số a dương khác 1]. Tính chất của hàm số lôgarit [y=Log_{a}x] [a> 0, a# 1]. – Tập xác định: [0; +∞]. – Đạo hàm ∀x ∈ [0; +∞], [y’ = frac{1}{x.lna}] – Chiều biến thiên: +] Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến +] Nếu 0< a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến – Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng. – Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm [1;0] và đi qua điểm [a;1].
Liên quan: phương trình logarit cơ bản
Xem chi tiết >>> Công thức logarit: Tóm tắt lý thuyết và Các dạng bài tập
Các dạng phương trình Logarit cơ bản
Với điều kiện: [0 < a neq 1], ta có các phương trình logarit cơ bản sau
- [log _{a}x = b Leftrightarrow x = a^{b}]
- [log _{a}f[x] = log _{a} g[x] Leftrightarrow left{begin{matrix} f[x], g[x] > 0& \ f[x] = g[x] & end{matrix}right.]
- [log_{f[x]}g[x] = b Leftrightarrow left{begin{matrix} 0< f[x] neq 1& \ g[x] = f[x]^{2} & end{matrix}right.]
- [log _{a} f[x] geq log _{a} g[x]] [*]
Nếu a > 1 thì phương trình [*] [Leftrightarrow left{begin{matrix} f[x] > g[x] & \ g[x] > 0 & end{matrix}right.]
Nếu 0 < a < 1 thì phương trình [*] [Leftrightarrow left{begin{matrix} f[x] < g[x] & \ f[x] > 0 & end{matrix}right.]
Chú ý: [log _{a} f[x]] có nghĩa [Leftrightarrow left{begin{matrix} f[x] > 0 & \ 0 < a neq 1 & end{matrix}right.]
Các phương pháp giải phương trình logarit
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Đưa về phương trình mũ cơ bản:
- [log _{a} x = b Leftrightarrow x = a^{b}, [ 0 < a neq 1]]
- [lg x = b Leftrightarrow x = 10^{b}]
- [ln x = b Leftrightarrow x = e ^{b}]
Ví dụ 1: Giải phương trình: [[latex]log _{2}[3x-4] = 3][/latex]
Giải: Điều kiện: 3x – 4 > 0 [Leftrightarrow x geq frac{4}{3}]
[log_{2}[3x-4] = 3 Leftrightarrow 3x – 4 = 2^{3} Leftrightarrow 3x = 8 + 4 Leftrightarrow x = 4]
Vậy phương trình có nghiệm x = 4
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 2: Giải phương trình: [2^{2x} – sqrt{2^{x} + 6} = 6]
Giải: Đặt: [u = 2^{x}], điều kiện u > 0
Khi đó phương trình thành: [u^{2} – sqrt{u + 6} = 6]
Đặt [v = sqrt{u + 6}], điều kiện [v geq sqrt{6} Rightarrow v^{2} = u + 6]
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
[left{begin{matrix} u^{2}=v-6\ v^{2}=u-6 end{matrix}right.] [left{begin{matrix} u^{2}-v=6\ v^{2}-u=6 end{matrix}right.]
[Leftrightarrow u^{2} – v = v^{2} – uLeftrightarrow [u – v][u + v + 1] = 0]
[Leftrightarrow u – v = 0 hoặc u + v + 1 = 0]
Với u = v ta có: [u^{2} – u – 6 = 0] [Leftrightarrow u = 3 hoặc u = -2]
[Rightarrow u = 3 Rightarrow 2^{x} = 3 Leftrightarrow x = log _{2}3]
Với u + v + 1 = 0 ta được: [u^{2} + u – 5 = 0 Leftrightarrow u = frac{-1 + sqrt{21}}{2} hoặc u = frac{-1 – sqrt{21}}{2}]
[Rightarrow u = frac{-1 + sqrt{21}}{2} Rightarrow 2^{x} = frac{-1 + sqrt{21}}{2} Leftrightarrow x =log _{2}frac{-1 + sqrt{21}}{2}]
Vậy phương trình có 2 nghiệm là [x = log _{2}3] và [x = log _{2}frac{-1 + sqrt{21}}{2}]
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa, mũ hóa
Ví dụ 3: Giải phương trình sau: [3^{x}.2^{x^{2}} = 1]
Giải: Lấy Logarit hai vế với cơ số 2, ta được:
[log _{2} [3^{x}2^{2^{x}}] = log_{2}1 Leftrightarrow log _{2}3^{x} + log _{2}2^{x^{2}} = 0 Leftrightarrow x.log _{2}3 + x^{2}.log _{2}2 = 0]
[Leftrightarrow x.log _{2}3 + x^{2} = 0Leftrightarrow x = 0 hoặc log _{2}3 + x = 0] [Leftrightarrow x = 0 hoặc x = – log _{2}3]
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và [x = – log _{2}3]
Dạng 4: Phương pháp đồ thị để giải phương trình logarit
nghiệm duy nhất của [*]
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 7
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về Phương trình Logarit, nếu có bất kì thắc mắc hoặc đóng góp cho bài viết, các bạn vui lòng để lại bình luận xây dựng bên dưới để chúng mình hoàn thiện hơn. Nếu thấy hay thì chia sẻ nha 0\\f[x]=g[x] \end{cases}\\ &\small \bull log_{f[x]}g[x]=b⟺\begin{cases}0< f[x] \not =1\\g[x]=f[x]^b \end{cases}\\ &\small \bull log_af[x] \ge log_ag[x]\ [1] \\ &\small \ \ \ \circ \text{Nếu a > 1 thì [1] }⟺ \begin{cases}f[x] \ge g[x]\\ g[x]>0 \end{cases}\\ &\small \ \ \ \circ \text{Nếu 0 < a < 1 thì [1] }⟺ \begin{cases}f[x] \le g[x]\\ f[x]>0 \end{cases}\\ &\small \bull \text{Chú ý: } log_af[x] \text{ có nghĩa }⟺\begin{cases}f[x]>0\\0 < a \not= 1 \end{cases}\\ \end{aligned}
Ngoài ra, các em cũng cần nắm vững các công thức liên quan về Logarit và lũy thừa dưới đây:
Để giải phương trình logarit các em có thể dùng phương pháp đưa về cùng cơ số. Cụ thể:
- Bước 1: Xác định điều kiện của phương trình [nếu có]
- Bước 2: Vận dụng tất cả định nghĩa và tính chất của Logarit để đưa các Logarit có mặt trong phương trình về cùng một cơ số
- Bước 3: Tiến hành biến đổi phương trình về các dạng phương trình logarit cơ bản để giải
- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận để kết thúc bài toán sau khi giải phương trình
Tổng Hợp Công Thức Hình Học Toán 12 Đầy Đủ Và Chi Tiết Nhất
Ví dụ:
Giải phương trình logarit sau: log2x + log3x + log4x = log20x
Hướng dẫn giải:
\begin{aligned} &\text{ĐKXĐ: }x>0\\ &log_2x + log_3x + log_4x = log_{20}x\\ \Leftrightarrow\ &log_2x+\frac{log_2x}{log_23}+\frac{log_2x}{log_24}+\frac{log_2x}{log_220}=0\\ \Leftrightarrow\ &log_2x\left[1+\frac{1}{log_23}+\frac12-\frac{1}{log_220} \right]=0\\ \Leftrightarrow\ &log_2x\left[\frac32+log_32-log_{20}2\right]=0\\ \Leftrightarrow\ &log_2x=0\\ \Leftrightarrow\ &x=1\\ &\text{Vậy phương trình có nghiệm }x=1. \end{aligned}
>>> Xem thêm: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit – Lý Thuyết Toán 12
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Để giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ, các em có thể thực hiện theo các phương pháp sau:
\begin{aligned} &f[log_ag[x]]=0\ [0< a \not=1]\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}t=log_ag[x]\\f[t]=0 \end{cases} \end{aligned}
Công thức đổi cơ số logarit:
log_bx=\frac{log_ax}{log_ab} \Rightarrow log_ab=\frac{1}{log_ba}\ \forall a,b,x>0 \text{ và }a,b \not= 1
Ví dụ:
Giải phương trình sau:
\sqrt{log_9x+1}+\sqrt{log_3x+3}=5
Hướng dẫn giải:
\begin{aligned} &\text{ ĐKXĐ: }\begin{cases}x>0\\log_9x+1\ge0\\log_3x+3\ge 0 \end{cases}\\ &\text{ Đặt }t=log_3x\\ &\sqrt{log_9x+1}+\sqrt{log_3x+3}=5\\ \Leftrightarrow \ &\sqrt{\frac12t+1}+\sqrt{t+3}=5 \ [ĐK: t\ge -2]\\ \Leftrightarrow \ &\frac12t+1+t+3+2\sqrt{\left[ \frac12t+1\right]\left[ t+3\right]}=25\\ \Leftrightarrow \ &\sqrt{\frac12t^2+\frac52t+3}=21-\frac32t\\ \Leftrightarrow \ &\begin{cases}-2\le t \le 14\\t^2-292t+1716=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow \ &t=6 \text{ [thỏa điều kiện]}\\ \Leftrightarrow \ &x=64\\ &\text{Vậy nghiệm của phương trình là }x=64. \end{aligned}
Cách 3: Phương pháp mũ hóa
Khi gặp dạng phương trình còn có chứa cả logarit và mũ, các em có thể áp dụng phương pháp mũ hóa sau đó logarit hóa 2 vế để giải.
Ví dụ:
Giải phương trình: log2[2x + 6] = 2x + 1
Hướng dẫn giải:
\begin{aligned} &log_2[2^x + 6] = 2x + 1\\ \Leftrightarrow\ & 2^{log_2[2^x+6]}=2^{2x+1}\\ \Leftrightarrow\ & 2^x+6=2.2^x\\ \Leftrightarrow\ & 2.2^x-2^x-6=0\\ \Leftrightarrow\ & \left[ \begin{array}{c}2^x=-3\\2^x=2 \end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ & x=1\\ &\text{Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là }x=1. \end{aligned}
Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education
Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.
Lý Thuyết Và Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
Công Thức Tính Nguyên Hàm e Mũ u Và Các Hàm Số Đơn Giản
Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Các khóa học online tại Marathon Education
Trên đây là những chia sẻ về các dạng phương trình logarit thường gặp và các phương pháp giải chi tiết. Hy vọng những nội dung này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập và ôn thi. Chúc các em luôn học tập tốt và điểm tốt trong các bài kiểm tra sắp tới!