Giải bài 23 trang 55 sgk toán 9 tập 1 năm 2024

Cấu trúc bài 23 này đó là định các giá trị b sao cho hàm số thỏa mãn một số yêu cầu của đề bài.

Câu a:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-3\) có nghĩa là \(x=0;y=-3\)

\(\Leftrightarrow -3=0.2+b\Rightarrow b=-3\)

Câu b:

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(1; 5)\) có nghĩa là với \(x=1\Rightarrow y=5\)

\(\Leftrightarrow 5=2.1+b\Rightarrow b=3\)

-- Mod Toán 9 HỌC247

1. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-3\), nghĩa là đồ thị hàm số đi qua điểm \(M(0; -3)\). Thay \(x=0;\ y=-3\) vào công thức hàm số \(y = 2x + b\), ta được:

\(-3=2.0+b \Leftrightarrow -3=0+ b \)

\(\Leftrightarrow b=-3\)

Vậy \(b=-3\).

2. Vì đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(A(1; 5)\) nên thay \(x=1;\ y=5\) vào công thức hàm số \(y = 2x + b\), ta được:

\(5=2.1+b \Leftrightarrow 5=2+b\)

\(\Leftrightarrow 5-2 =b\)

\(\Leftrightarrow b=3\)

Vậy \(b=3\).

Bài 24 trang 55 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2k - 3.

Tìm điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là:

1. Hai đường thẳng cắt nhau;

2. Hai đường thẳng song song với nhau;

3. Hai đường thằng trùng nhau.

Phương pháp:

+) Điều kiện để hàm số \(y=ax+b\) là hàm số bậc nhất là \((a \ne 0)\)

+) Hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\) và \((d')\): \(y=a'x+b'\) \((a' \ne 0)\):

\((d)\) cắt \((d') \Leftrightarrow a \ne a'\)

\((d)\) // \((d') \Leftrightarrow a = a'\) và \(b \ne b'\)

\((d)\) \(\equiv\) \((d') \Leftrightarrow a = a'\) và \(b=b'\)

Lời giải:

Ta có:

\((d_{1}) \) \(y = 2x + 3k \Rightarrow \left\{ \matrix{ {a} = 2 \hfill \cr {b} = 3k \hfill \cr} \right.\)

\((d_{2})\) \(y = \left( {2m + 1} \right)x + 2k - 3 \Rightarrow \left\{ \matrix{ {a'} = 2m + 1 \hfill \cr {b'} = 2k - 3 \hfill \cr} \right.\)

Hai hàm số đã cho là hàm bậc nhất khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{ a \ne 0 \hfill \cr a' \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 \ne 0 \hfill \cr 2m + 1 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 \ne 0 \hfill \cr 2m \ne - 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 \ne 0 (luôn\ đúng) \hfill \cr m \ne \dfrac{-1}{2} \hfill \cr} \right.\)

1. Hai đường thẳng cắt nhau:

\((d_{1}) \) cắt \((d_{2}) \Leftrightarrow a \ne a'\)

\(\Leftrightarrow 2\neq 2m+1\)

\(\Leftrightarrow 2-1 \neq 2m\)

\(\Leftrightarrow 1 \ne 2m\)

\(\Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\)

Kết hợp điều kiện hàm bậc nhất \(m \ne \pm \dfrac{1}{2}\).

2. Hai đường thẳng song song:

\((d_{1}) // (d_{2}) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=a' \\ b\neq b' \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k\neq 2k-3 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-1=2m\\ 3k-2k\neq -3 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=\dfrac{1}{2} (thỏa\ mãn)\\ k\neq -3 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\) và \( k \ne -3\) thì hai đồ thị trên song song.

3. Hai đường thẳng trùng nhau:

\((d_{1})\) \(\equiv\) \((d_{2}) \Leftrightarrow\) \(\left\{ \begin{matrix} a=a' \\ b=b' \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k= 2k-3 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-1=2m\\ 3-2k= -3 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m=1 \\ k=-3 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=\dfrac{1}{2}(tm) \\ k= -3 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\) và \(k=-3\) thì đồ thị hai hàm số trên trùng nhau.

Bài 25 trang 55 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

\(y = \dfrac{2}{3}x + 2\); \(y = - \dfrac{3}{2}x + 2\)

2. Một đường thẳng song song với trục hoành \(Ox\), cắt trục tung \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \(1\), cắt các đường thẳng \(y = \dfrac{2}{3}x + 2\) và \(y = - \dfrac{3}{2}x + 2\) theo thứ tự tại hai điểm \(M\) và \(N\). Tìm tọa độ của hai điểm \(M\) và \(N\).

Lời giải:

1. Hàm số \(y = \dfrac{2}{3}x + 2\)

Cho \(x= 0 \Rightarrow y = \dfrac{2}{3}. 0+ 2=0+2=2 \Rightarrow A(0; 2)\)

Cho \(y= 0 \Rightarrow 0 = \dfrac{2}{3}. x+ 2 \Rightarrow x=-3 \Rightarrow B(-3; 0)\)

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\ B\) là đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{2}{3}x + 2\).

+) Hàm số \(y =- \dfrac{3}{2}x + 2\)

Cho \(x= 0 \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2}. 0+ 2=0+2=2 \Rightarrow A(0; 2)\)

Cho \(y=0 \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2}. x+ 2 \Rightarrow x= \dfrac{4}{3} \Rightarrow C {\left(\dfrac{4}{3}; 0 \right)}\)

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\ C\) là đồ thị của hàm số \(y = -\dfrac{3}{2}x + 2\).

2. Đường thẳng song song với trục \(Ox\) cắt trục \(Oy\) tại điểm có tung độ \(1\) có dạng: \(y=1\).

Vì \(M\) là giao của đường thẳng \(y=\dfrac{2}{3}x+2\) và \(y=1\) nên hoành độ của \(M\) là nghiệm của phương trình:

\(\dfrac{2}{3}x+2=1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x=1-2\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x=-1\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}\)

Do đó tọa độ \(M\) là: \(M{\left( -\dfrac{3}{2}; 1 \right)}\).

Vì \(N\) là giao của đường thẳng \(y=-\dfrac{3}{2}x+2\) và \(y=1\) nên hoành độ của \(N\) là nghiệm của phương trình:

\(-\dfrac{3}{2}x+2=1\)

\(\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}x=1-2\)

\(\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}x=-1\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

Do đó tọa độ \(N\) là: \(N{\left( \dfrac{2}{3}; 1 \right)}\).

Bài 26 trang 55 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho hàm số bậc nhất \(y = ax - 4\) (1). Hãy xác định hệ số \(a\) trong mỗi trường hợp sau:

1. Đồ thị của hàm số \((1)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\).

2. Đồ thị của hàm số \((1)\) cắt đường thẳng \(y = -3x + 2\) tại điểm có tung độ bằng \(5\).

Lời giải:

1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(y=ax-4\) và \(y=2x-1\) là: \(ax-4=2x-1\).

Đồ thị hàm số \(y = ax – 4\) cắt đường thẳng \(y = -3x + 2\) tại điểm \(A\) có tung độ bằng \(5\) nên đường thẳng \(y = -3x + 2\) đi qua điểm có tung độ bằng \(5.\)