Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,984,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,127,Đề thi THỬ Đại học,399,Đề thi thử môn Toán,64,Đề thi Tốt nghiệp,45,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,207,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,13,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,306,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
thuvientoan.net xin gửi đến các bạn tài liệu Định lý con bướm trong hình học và những ứng dụng của tác giả Hoàng Minh Quân.
Định lí con bướm phát biểu về một bài toán đẹp có nhiều ứng dụng trong hình học phẳng. Bài viết sau đây sẽ khai thác một số ứng dụng của định lí con bướm trong các bài toán hay và thú vị, đa phần trong số đó là các bài thi toán của nhiều nước trên thế giới.
Bài viết này bao gồm các nội dung:
- NỘI DUNG ĐỊNH LÍ CON BƯỚM
Định lí: Cho đường tròn [O] với dây cung AB. Gọi I là trung điểm của AB, qua I dựng hai dây cung MN và PQ sao cho MP và NQ cắt AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Định lý con bướm. Giả sử $M$ là trung điểm của dây cung $XY$ trên đường tròn tâm $O$. Qua $M$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $XY$ với hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Vậy thì $M$ là trung điểm của $PQ$.
Chúng ta thấy hình vẽ của định lý nhìn giống như hình một con bướm với hai cánh giao nhau tại điểm $M$. Đó là lý do tại sao định lý này mang tên là định lý con bướm.
Định lý con bướm có nhiều cách chứng minh. Công cụ sử dụng trong các cách chứng minh này khá là đa dạng. Ví dụ, có cách chứng minh sử dụng định lý Menelaus, có cách chứng minh sử dụng phương tích, trục đẳng phương, cách chứng minh khác lại dùng lượng giác, hay hình học tọa độ, v.v...
Hôm nay chúng ta sẽ trình bày một cách chứng minh đơn giản cho định lý con bướm bằng cách sử dụng định lý lục giác Pascal. Định lý Pascal phát biểu như sau.
Định lý Pascal. Cho hình lục giác $123456$ nội tiếp một đường tròn. Vậy thì ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $$\{12, 45\}, ~\{23, 56\}, ~\{34, 61\}$$ của hình lục giác luôn luôn thẳng hàng.
Nhà toán học Pascal khám phá ra định lý lục giác này khi ông chỉ mới 16 tuổi. Điểm thú vị của định lý ở chỗ là nó rất đa dạng. Sáu đỉnh của hình lục giác không nhất thiết phải nằm cùng một thứ tự nhất định trên đường tròn mà có thể nằm theo thứ tự tùy ý. Cho nên với mỗi thứ tự sắp xếp của các đỉnh, chúng ta lại có một dạng cấu hình khác nhau cho định lý Pascal.
Định lý Pascal còn được gọi là định lý lục giác kỳ diệu. Nếu các bạn thay đường tròn bởi đường elíp, đường parabol, hay đường hypebol, và vẽ một hình lục giác nội tiếp các đường cônic này thì định lý vẫn đúng. Các bạn có thấy định lý này kỳ diệu không?!
Chứng minh định lý con bướm
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh định lý con bướm bằng cách sử dụng định lý lục giác Pascal.
Vẽ các đường kính $AU$ và $CV$. Gọi $N$ là giao điểm của $DU$ và $BV$. Theo định lý Pascal cho hình lục giác $ABVCDU$, chúng ta có ba giao điểm $M$, $O$, $N$ thẳng hàng.
Vì $M$ là trung điểm của dây cung $XY$ nên $NOM$ vuông góc với $XY$. Vì $AU$ và $CV$ là hai đường kính nên $$\angle ADU = \angle CBV = 90^{o}.$$ Từ đó suy ra $MNDP$ và $MNBQ$ là hai tứ giác nội tiếp đường tròn. Do đó $$\angle MNP = \angle MDP = \angle MBQ = \angle MNQ .$$ Vậy hai tam giác vuông $MNP$ và $MNQ$ bằng nhau, và chúng ta suy ra điều cần chứng minh $MP=MQ$.