Giải pt lượng giác bằng phương pháp đánh giá năm 2024

More Related Content

What's hot [20]

Similar to Phương pháp giải phương trình lượng giác [20]

More from Duy Anh Nguyễn [20]

Recently uploaded [18]

Phương pháp giải phương trình lượng giác

• 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản - cos x = cos α  x= ±α +k2π - sin x = sin α  [ 𝑥=𝑎+𝑘2𝜋 x=π−α +k2π [với k Є Z] - tan x = tan α  x=α+kπ - cot x= cot α  x=α+kπ Dạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác a sin 𝑥2 + b sin x + c = 0 Đặt t = sin x, |t| ≤ 1 a cos 𝑥2 + b cos x + c = 0 Đặt t = cos x, |t|≤1 a tan 𝑥2 + b tan x +c = 0 Đặt t = tan x a cot 𝑥2 + b cot x +c = 0 Đặt t = cot x  Giải ra t,đưa phương trình về dạng 1 Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx asinx +bcosx = c [*] Điều kiện: 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 𝑐2  Cách 1: Chia hai vế cho √𝑎2 + 𝑏2 [*]  𝑎 √𝑎2+𝑏2 sinx + 𝑏 √𝑎2+𝑏2 cos = 𝑐 √𝑎2+𝑏2 Vì [ 𝑎 √𝑎2+𝑏2 ] 2 + [ 𝑏 √𝑎2+𝑏2 ] 2 = 1 Nên ta có thể đặt: 𝒂 √ 𝒂 𝟐+𝒃 𝟐 = cos α [𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1] 𝒃 √ 𝒂 𝟐+𝒃 𝟐 = sin α  𝑠𝑖𝑛𝑥cosα+ cosxsinα = 𝑐 √𝑎2+𝑏2  sin[x+α] = 𝑐 √𝑎2+𝑏2 [Lúc này phương trình về dạng 1]  𝐂á𝐜𝐡 𝟐 ∶ 𝐶ℎ𝑖𝑎 ℎ𝑎𝑖 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑎 [ 𝑔𝑖ả 𝑠ử 𝑎 ≠ 0 ] [*]  sinx + 𝑏 𝑎 cos 𝑥 = 𝑐 𝑎 Đặt 𝑏 𝑎 = tan α. Khi đó [*]  sinx + 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 cosx = 𝑐 𝑎
• 2. sinαcosx = 𝑐 𝑎 cosα  sin[x+α]= 𝑐 𝑎 cosα [về dạng 1 tiếp] Dạng 4: Phương trình đối xứng: a[sinx + cosx] + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx + cosx = √𝟐 cos[𝐱 − 𝝅 𝟒 ] [hoặc t =√𝟐 𝐜𝐨𝐬 [𝒙 − 𝝅 𝟒 ] ] Điều kiện |t| ≤ √2 Khi đó: 𝑡2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx = 𝑡2−1 2 Thay vào phương trình ta có: at+ b 𝒕 𝟐−𝟏 𝟐 + c = 0 [phương trình bậc 2 ẩn t]  Sau khi giải ra t,ta có phương trình dạng 1: t =√2 cos[x- 𝜋 4 ] * Chú ý: Với phương trình: a[sinx – cosx] + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx – cos x = √𝟐 sin[𝐱 − 𝝅 𝟒 ] [hoặc t =−√𝟐 𝐜𝐨𝐬 [𝒙 + 𝝅 𝟒 ] ] [|t| ≤ √𝟐 ]  t = 1- 2sinxcosx Giải tiếp tương tự nhé ! Dạng 5: Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx a𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 0 [*] - B1: Xét cosx = 0  x= 𝜋 2 +kπ [k Є Z] có phải nghiệm không - B2: Tiếp tục xét cos x ≠ 0. Chia 2 vế cho 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 [*]  a𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑏𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 = 0. Đặt t = tan x rồi giải ra t,lúc này phương trình về dạng 1  Chú ý:Nếu không phải bậc 2 mà là bậc k,xét cos x =0 và cosx ≠ 0 [Lúc này chia 2 vế của phương trình với 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑥,thu được phương trình bậc k ẩn t,giải t,đưa phương trình về dạng 1 -NGUYỄN DUY ANH-

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các phương pháp giải Phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.

1. Giải và biện luận phương trình [1] Do nên để giải phương trình [1] ta đi biện luận theo các bước sau Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm Bước 2: Nếu |m|0 và P[x] ,Q[x] không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho ta có [] hoặc [*] trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: Giải: [4] Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Bài tập: Giải các phương trình sau :
11. 1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và .
12. Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình. [1] trong đó a, b, c, d
13. Cách giải : Chia từng vế của phương trình [1] cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra: xem nó có phải là nghiệm của phương trình[1] hay không? Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình [1] trở thành Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình đã cho về phương trình Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n [n3] với dạng tổng quát trong đó Khi đó ta cũng làm theo 2 bước : Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : [1] Giải: Cách 1: Phương trình [1] Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +] Thử với vào phương trình [1] ta có vô lí. Vậy không là nghiệm của phươngtrình. +]Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được Vậy phương trình có hai họ nghiệm
14. Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện

    một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: [2] Giải : Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Phương trình [2] +] Xét với . Khi đó phương trình có dạng mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận làm nghiệm +] Với . Chia cả hai vế của phương trình [2] cho ta được : . Đặt phương trình có được đưa về dạng: Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

    Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: [3] Giải : Điều kiện Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng : Chia cả hai vế của phương trình [3] cho ta được : [do vô nghiệm] nên: Phương trình [] Vậy phương trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Đặt ta được : Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập : Giải các phương trình sau :
23. 1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và .
24. Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng trong đó [1]
25. Cách giải:

    Cách 1: Do nên ta đặt . Điều kiện Suy ra và phương trình [1] được viết lại: Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt thì nên phương trình [1] trở thành . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải

    Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó Ví Dụ Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó Khi đó phương trình [1] sẽ có dạng Với không thoả mãn điều kiện nên [] Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng [’] Ta thấy không thoả mãn Do đó [’]

    Vậy phương trình có hai họ nghiệm

    Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình Cách giải: Phương trình [1] có thể viết *Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Ta có [2] Ta có [3] [4] [6] Các gía trị của x trong [5] và [6] đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình: với [1] Cách giải: Ta có: Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình Ví Dụ 3: Giải phương trình [3] Giải: Điều kiện [3] Giải [4] Giải [5]: Đặt [] Suy ra . Phương trình [5] trở thành Kết hợp với điều kiện [*] thì bị loại Với ta có Các nghiệm của phương trình [4] và [5] đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải : Ta có: Phương trình [1] có dạng Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình: [2] Giải: Điều kiện: Phương trình [2] [loại] Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Bài tập: Giải các phương trình sau:
28. 4.
29. 6.
30. 8.
32. 11. 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và .
33. Phương trình có dạng Cách giải: Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đại số Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x Ví dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Phương trình [1] Đặt , phương trình [2] trở thành hay Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giải phương trình: [2] Giải: Điều kiện Ta có: Phương trình [2] [3] Đặt , phương trình [3] có dạng Với thì nên [4] Suy ra [ thoả mãn điều kiện[2]]. Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài tập:Giải các phương trình sau:
34. 2.
35. 4.
36. 6.
37. 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG. Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp. Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau: 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình [1] thoả mãn điều kiện [] nào đó Trước hết ta giải phương trình [1] sau đó thay nghiệm của phương trình [1] tìm được vào [] để loại nghiệm không thích hợp. Ví Dụ: Giải phương trình [1] Giải: Điều kiện [] Khi đó [1] Thay vào [] xem có thoả mãn hay không ? Suy ra không thoả mãn [] . Vậy phương trình [1] vô nghiệm . 1.3.2- Phương pháp hình học [dùng đường tròn lượng giác]. Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình [1] thoả mãn điều kiện [] nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện [], N là tập nghiệm của phg trình [1].Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu [x], điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu [.]. Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu [.] mà không bị đánh dấu [x] là nghiệm của phương trình. Ví Dụ: Giải phương trình: [1] Giải: Điều kiện Khi đó phương trình [1] Biểu diễn các họ nghiệm [] và [ ] lên trên cùng một đường tròn lượng giác. sin cos Từ đó ta có nghiệm của phương trình [1] là 1.3.3- Phương pháp đại số. Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình [thường là phương trình nghiệm nguyên] hoặc bất phương trình đại số.
38. Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện Khi đó [1] Gía trị này là nghiệm của [1] nếu Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập: 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình: 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 6: Giải phương trình: Tài liệu đính kèm:

• Chuyen_de_phuong_trinh_luong_giac_11.doc