VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song: Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song. Phương pháp: Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu song song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm phương chiếu đóng vai trò khá quan trọng. Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng [BCD] theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD. b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác BCD: Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng [BCD]. Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và giữa B và I. Trong tam giác AB, G’ là trọng tâm của tam giác BCD. b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng [BCD]. Ta thấy: BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng [BCD]; M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của BD. BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng [BCD]; N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của BC.
Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN // BC’. Giả sử đã tìm được McDB’ và Ne AC sao cho MN // BC’. Xét phép chiếu song song theo phương BC lên B”. mặt phẳng [ABCD]. Khi đó qua phép chiếu này hình chiếu của các điểm D, M, B lần lượt là D, N, B. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B cũng thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau: Cách dựng: Dựng B là hình chiếu của Bỏ qua phép chiếu theo phương BC lên mặt phẳng [ABCD]. Dựng N là giao điểm của DB và AC. Trong mặt phẳng [DBB”], ta kẻ NM // B’B” cắt DB tại M. Vậy M và N là các điểm cần tìm.
Cho mặt phẳng [a] và đường thẳng cắt [a]. Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng vớiD sẽ cắt [a] tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng [a] theo phương của đường thẳngD hoặc nói gọn là theo phương D. Mặt phẳng[a] gọi là mặt phẳng chiếu. Phương D gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt phẳng [a] được gọi là phép chiếu song song lên [a] theo phương D.
Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H’ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song nói trên.
Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.
2. Các tính chất của phép chiếu song song
Định lí 1:
a] Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
b] Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c] Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d] Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
3. Biểu diễn hình không gian trên mặt phẳng
a. Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
b. Hình biểu diễn của các hình thường gặp: Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song
Các dạng toán có hướng dẫn giải về Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian
I. Phép chiếu song song
Cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ và đường thẳng $\Delta $ cắt $\left[ \alpha \right]$. Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với $\Delta $ cắt $\left[ \alpha \right]$ tại điểm M’ xác định.
Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ theo phương $\Delta $.
Mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của đường thẳng $\Delta $ được gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ được gọi là phép chiếu song song lên $\left[ \alpha \right]$ theo phương $\Delta $.
II. Tính chất của phép chiếu song song
* Định lí 1
a] Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
b] Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c] Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d] Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
* Định lí 2 [về giao tuyến của ba mặt phẳng]
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
III. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
* Hình biểu diễn của các hình thường gặp
1. Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước [có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông...].
2. Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước [có thể là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi...]
3. Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài đáy của hình biểu diễn bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã cho.
4. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.
Page 2
SureLRN
B. Hoạt động hình thành kiến thức
1. Khái niệm về hình chiếu và các phép chiếu
Thực hiện yêu cầu:
1. Hình 3.1 sử dụng phép chiếu gì để thể hiện hình chiếu của các vật thể?
2. Quan sát hình 3.2 và nhận xét về đặc điểm của các tia chiếu trong các hình a, b và c
Quan sát ta thấy:
1. Hình 3.1 sử dụng phép chiếu xuyên tâm để thể hiện hình chiếu của các vật thể. Hình chiếu có cạnh hướng từ trái sang phải.
2. Đặc điểm của các tia chiếu trong các hình a, b, c là:
- Hình 3.2a là phép chiếu xuyên tâm có các tia chiếu xuất phát từ một điểm, dùng để biểu diễn ba chiều bổ sung cho các hình chiếu vuông góc trên bản vẽ kĩ thuật
- Hình 3.2b là phép chiếu song song có các tia chiếu song song với nhau theo góc xiên, dùng để biểu diễn ba chiều bổ sung cho các hình chiếu vuông góc trên bản vẽ kĩ thuật
- Hình 3.2c là phép chiếu vuông góc có các tia chiếu song song với nhau theo phương thẳng đứng, dùng để vẽ các hình chiếu vuông góc.