1. Định nghĩa
Cho hai điểm cố định ${F_1},{F_2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn ${F_1}{F_2}$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho
${F_1}M + {F_2}M = 2a$
Các điểm ${F_1}$ và ${F_2}$ gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài ${F_1}{F_2} = 2c$ gọi là tiêu cự của elip.
2. Phương trình chính tắc của elip
Cho elip [E] có các tiêu điểm ${F_1}$ và ${F_2}$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi ${F_1}M + {F_2}M = 2a$. Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho ${F_1} = \left[ { - c;0} \right]$ và ${F_2} = \left[ {c;0} \right]$. Khi đó người ta chứng minh được:
$M\left[ {x;y} \right] \in E \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$
trong đó ${b^2} = {a^2} - {c^2}$.
Phương trình [1] gọi là phương trình chính tắc của elip.
3. Hình dạng của elip
Xét elip [E] có phương trình [1] :
* Nếu điểm M[x ; y] thuộc [E] thì các điểm ${M_1} = \left[ { - x;y} \right],{M_2} = \left[ {x; - y} \right]$ cũng thuộc [E].
Vậy [E] có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
* Thay y = 0 vào [1] ta có x = ±a, suy ra [E] cắt Ox tại hai điểm ${A_1} = \left[ { - a;0} \right]$ và ${A_2} = \left[ {a;0} \right]$.
Tương tự thay x = 0 vào [1] ta được y = ±b, vậy [E] cắt Oy tại hai điểm ${B_1} = \left[ {0; - a} \right],{B_2} = \left[ {0;b} \right]$.
Các điểm ${A_1},{A_2},{B_1},{B_2}$ gọi là các đỉnh của elip.
Đoạn thẳng ${A_1}{A_2}$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng ${B_1}{B_2}$ gọi là trục nhỏ của elip.
4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip
* Từ hệ thức ${b^2} = {a^2} - {c^2}$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.
* Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn [C ] có phương trình
${x^2} + {y^2} = {a^2}$
Với mỗi điểm M[x ; y] thuộc đường tròn ta xét điểm M’[x’ ; y’] sao cho
$\left\{ \begin{gathered} x' = x \hfill \\ y' = \frac{b}{a}y \hfill \\ \end{gathered} \right.\left[ {0 < b < a} \right]$
thì tập hợp các điểm M' có toạ độ thoả mãn phương trình $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ là một elip [E].
Khi đó ta nói đường tròn [C] được co thành elip [E].
Page 2
SureLRN
Với Công thức viết phương trình chính tắc của Elip Toán lớp 10 Hình học chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn Công thức viết phương trình chính tắc của Elip biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Công thức viết phương trình chính tắc của Elip - Toán lớp 10
I. Lý thuyết tổng hợp.
- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M+F2M=2a.
- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip [E] có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F1[-c; 0] và F2[c; 0]. Khi đó ta có:
M [x; y] ∈[E]⇔x2a2+y2b2=1. [1] với b2=a2−c2
Phương trình [1] là phương trình chính tắc của elip.
II. Các công thức.
Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:
+ Hai tiêu điểm: F1[-c; 0] và F2[c; 0]
+ Bốn đỉnh: A1[-a; 0], A2[a; 0], B1 [0; -b] và B2[0; b]
+ Độ dài trục lớn: A1A2=2a
+ Độ dài trục nhỏ: B1B2=2b
+ Tiêu cự: F1F2=2c
+ Tâm sai của [E]: e=ca 0].
Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2a = 12 => a = 6
Ta có độ bé bằng 6 nên 2b = 6 => b = 3
Vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$
3. Thành phần và hình dạng của elip
Với elip [E] có phương trình [1]:
Nếu điểm M[x;y] thuộc [E] thì các điểm $M_{1}$[-x;y], $M_{2}$=[x;-y] cũng thuộc [E].
Vậy [E] có:
+ Các trục đối xứng: Ox, Oy
+ Tâm đối xứng là gốc O
Thay y = 0 vào [1] ta có $x=\pm a$, suy ra [E] cắt Ox tại hai điểm $A_{1}$=[-a;0] và $A_{2}=[a;0]$.
Tương tự thay x=0 vào [1] ta được y=b, vậy [E] cắt Oy tại hai điểm $B_{1}=[0;-a],B_{2}=[a;0]$.
Các điểm $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}$ gọi là các đỉnh của elip.
Trong đó đoạn thẳng $A_{1},A_{2}$ là trục lớn, đoạn thẳng $B_{1},B_{2}$ là trục nhỏ của elip.
Ví dụ: Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip [E] có phương trình: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Giải:
Vì phương trình đường elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\left\{\begin{matrix}a^{2}=25\\ b^{2}=9\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=5\\ b=3\end{matrix}\right.$
$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$
Vậy [E] có:
- Trục lớn : $A_{1}A_{2}$ = 2a =10
- Trục nhỏ : $B_{1}B_{2}$ = 2b = 6
- Hai tiêu điểm: $F_{1}$[- 4;0], $F_{2}$[4;0]
- Bốn đỉnh: $A_{1}$[- 5;0], $A_{2}$[5;0], $B_{1}$[0;– 3], $B_{2}$[0;3].
4. Các dạng bài tập về phương trình đường elip
Câu 1: Cho Elip [E]: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ và điểm M nằm trên [E]. Giả sử điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của [E] bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có $a^{2}=16,b^{2}=12$
nên $c^{2}=a^{2}-b^{2}=4$
$\Rightarrow a=4;c=2$ và hai tiêu điểm $F_{1}$[-2; 0]; $F_{2}$[2;0]
Điểm M thuộc [E] và $x_{M}=1\Rightarrow y_{M}\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$
Tâm sai của elip $e=\frac{c}{a}\Rightarrow e=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow MF_{1}=a+ex_{M}=4+0.5=4.5$
$MF_{2}=a-ex_{M}=4-0.5=3.5$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip [E] có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $2\sqrt{5}$.
Giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip [E] có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0
Tâm sai $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow c^{2}=\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$.
Độ dài đường chéo hình chữ nhật $\sqrt{\left [ 2a \right ]^{2}+\left [ 2b \right ]^{2}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=5\Leftrightarrow b^{2}=5-a^{2}$
Khi đó: $a^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow a^{2}=5-a^{2}+\frac{a^{2}}{3}\Leftrightarrow a^{2}=3\Rightarrow b^{2}=2$
Vậy phương trình chính tắc của elip [E] cần lập là: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Viết phương trình chính tắc của elip [E] biết rằng elip [E] có hai tiêu điểm $F_{1},F_{2}$, với $F_{1}[-\sqrt{3};0]$ và có một điểm M thuộc [E] để tam giác F1MF2 vuông tại M và có S=1.
Giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip [E] có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0
Với $F_{1}[-\sqrt{3};0]$, suy ra $c=\sqrt{3}$ => $a^{2}-b^{2}-c^{2}=3$ hay $a^{2}=b^{2}+3$ [1]
Gọi $M\left [ x_{0};y_{0} \right ]$ $\Rightarrow\left\{\begin{matrix}
\vec{MF_{1}}=\left [ -\sqrt{3}-x_{0};-y_{0}\right ]\\ \vec{MF_{2}}=\left [ \sqrt{3} -x_{0};-y_{0}\right ]\end{matrix}\right.$
Khi đó: $\widehat{F_{1}MF_{2}}=90^{\circ}$ $\Leftrightarrow \overline{MF_{1}}.\overline{MF_{2}}=0$ $\Leftrightarrow x_{0}^{2}-3+y_{0}^{2}=0$
$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=3$
Ta có: $S_{F_{1}MF_{2}}=\frac{1}{2}d[M,Ox].F_{1}F_{2}=\frac{1}{2}\left | y_{0} \right |.2\sqrt{3}=\sqrt{3}\left | y_{0} \right |=1$ $\Leftrightarrow y_{0}^{2}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow x_{0}^{2}=\frac{8}{3}$
Mặt khác $M[x_{0};y_{0}]\epsilon [E]$ $\Leftrightarrow \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \frac{8}{3a^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}=1$ [2]
Thay [1] vào [2] ta được: $\frac{8}{3[b^{2}+3]}+\frac{1}{3b^{2}}=1\Leftrightarrow 3b^{4}=3\Leftrightarrow b=1$ [do b>0]
$\Rightarrow a^{2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của elip [E] cần lập là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: $x^{2}+y^{2}=8$. Biết [E] có độ dài trục lớn bằng 8 và [E] cắt [C] tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. Hãy viết phương trình chính tắc elip [E].
Giải:
Ta có phương trình chính tắc của elip [E] có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
- [E] có độ dài trục lớn bằng 8 nên suy ra 2a = 8 => a = 4.
- [E] cắt [C] tại 4 điểm phân biệt tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông => 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai.
Ta giả sử A là một giao điểm của [E] và [C] thuộc đường phân giác Δ: y = x.
- Gọi $A[t;t]\epsilon \Delta $ [t > 0]. Ta có: $A\epsilon[C]\Rightarrow t^{2}+t^{2}=8\Leftrightarrow t=2$ [vì t > 0] => A[2;2]
- Mà $A\epsilon[E]\Rightarrow \frac{2^{2}}{4^{2}}+\frac{2^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow b^{2}=\frac{16}{3}$
Vậy phương trình chính tắc của elip [E] là: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{\frac{16}{3}}=1$
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip [E] có hai tiêu điểm $F_{1}[-\sqrt{3};0],F_{2}[\sqrt{3};0]$ và đi qua điểm $A[\sqrt{3};\frac{1}{2}]$. Hãy lập phương trình chính tắc của [E] và với mọi điểm M thuộc [E], hãy tính giá trị biểu thức: $P=MF_{1}^{2}+MF_{2}^{2}-3OM^{2}-MF_{1}MF_{2}$.
Giải:
- Gọi phương trình chính tắc của elip [E] có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ với a>b>0
[E] có hai tiêu điểm $F_{1}[-\sqrt{3};0],F_{2}\left [ \sqrt{3};0\right ]$ suy ra $c=\sqrt{3}$
- Khi đó a² - b² = c² = 3 ⇔ a² = b² +3 => [E]: $\frac{x^{2}}{b^{2}+3}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
- Với $A\left [ \sqrt{3};\frac{1}{2}\right ]\epsilon [E]$ ⇔ $\frac{3}{b^{2}+3}+\frac{1}{4b^{2}}=1$ ⇔ $4b^{2}-b^{2}-3=0\Leftrightarrow \left [ 4b^{2}+3\right ]\left [ b^{2}-1 \right ]=0$
$\Leftrightarrow b^{2}=1\Rightarrow a^{2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của [E] là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
$M[x_{0};y_{0}]\epsilon [E]\Rightarrow\left\{\begin{matrix}
MF_{1}=a+\frac{c}{a}x_{0};MF_{2}=a-\frac{c}{a}x_{0}\\OM^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2};\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2}=1\end{matrix}\right.$
Khi đó:
P = $\left [ a+\frac{c}{a}x_{0} \right ]^{2}+\left [ a-\frac{c}{a}x_{0} \right ]^{2}-3[x_{0}^{2}+y_{0}^{2}]-[a+\frac{c}{a}x_{0}][a-\frac{c}{a}x_{0}]$
= $x^{2}+\frac{3c^{2}}{a^{2}}x_{0}^{2}-3[x_{0}^{2}+y_{0}^{2}]$
= $4+\frac{9}{4}x_{0}^{2}-3[x_{0}^{2}+y_{0}^{2}]$
= $4-3[\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2}]$
= 4-3=1
Vậy P = 1
Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập về phương trình đường elip. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!