Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Page 2
Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Bạn gặp rắc rối về giải bài tập viết phương trình đường tròn nhưng bạn lúng túng không biết viết như thế nào? Cho nên, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết phương trình đường tròn và các dạng bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé
Lý thuyết phương trình đường tròn
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn [C ] tâm I[a; b] bán kính R có phương trình: [x – a]2 + [y – b]2 = R2
Lưu ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2
2. Nhận xét
+] Phương trình đường tròn [x – a]2 + [y – b]2 = R2 có thể viết dưới dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. Trong đó c = a2 + b2 – R2.
+] Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn [C] khi a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn [C] có tâm I[a; b], bán kính R = √a2 + b2 – c
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm M0[x0; y0] nằm trên đường tròn [C] tâm I[a; b]. Gọi ∆ là tiếp tuyến với [C] tại M0.
Ta có M0 thuộc Δ và vectơ IM0 →= [x0−a; y0−b]là vectơ pháp tuyến cuả Δ
Do đó Δ có phương trình là:
[x0 − a][x − x0]+[y0 − b][y − y0] = 0
Phương trình [1] là phương trình tiếp tuyến của đường tròn [x − a]2 + [y − b]2 = R2 tại điểm M0 nằm trên đường tròn.
Tham khảo thêm:
Các dạng bài tập phương trình đường tròn
1. Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn
Phương pháp:
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a. x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0
b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0
c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.
Lời giải:
a. Ta có : −2a = −2 ⇒ a = 1
−2b = −2 ⇒ b = 1⇒ I[1; 1]
R2 = a2 + b2 − c = 12+12−[−2] = 4 ⇒ R = √4 = 2
Cách khác:
x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 ⇔ [x2 − 2x + 1] + [y2− 2y + 1] = 4 ⇔ [x−1]2+[y−1]2 = 22
Vậy đường tròn có tâm I[1;1] bán kính R=2.
b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0
⇔ x2 + y2 + x − ½y −11/16 = 0
−2a = 1⇒ a =−½
−2b =−½ ⇒ b =¼
⇒ I[−½; ¼ ]
R2= a2+b2−c = [−½]2+[¼ ]2−[−11/16] = 1⇒ R=√1 = 1
Cách khác
c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.
−2a =−4⇒a = 2
−2b = 6 ⇒b = −3
⇒I[2;−3]
R2=a2+b2−c = 22+[−3]2−[−3] = 16
⇒R=√16 = 4
Cách khác:
x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.
⇔[x2−4x+4]+[y2+6y+9]=16
⇔[x−2]2+[y+3]2=42
Do đó đường tròn có tâm I[2;−3] bán kính R=4.
2. Dạng 2: Viết phương trình đường tròn
Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C]
Tìm bán kính R của [C]
Viết phương trình [C] theo dạng: [x – a]2 + [y – b]2 = R2 [1]
Chú ý:
- [C] đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
- [C] đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d[I, ∆].
- [C] tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2
⇔ d[I, ∆1] = d[I, ∆2] = R
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn [C] là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 [2]
Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào [2], ta được phương trình đường tròn [C]
Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn [C] trong các trường hợp sau:
a. [C] có tâm I[−2;3] và đi qua M[2;−3]; b.[C] có tâm I[−1;2] và tiếp xúc với đường thẳng d:x–2y+7=0
c. [C] có đường kính AB với A[1;1] và B[7;5].
Lời giải
a. Đường tròn [C] có tâm I[a;b] và đi qua điểm M thì có bán kính là R = IM và có phương trình:
[x − a]2+[y − b]2 =R2 = IM2.
[C] có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM.
⇒R2 = IM2 = [2+2]2+[−3−32] = 52
Phương trình [C]: [x+2]2+[y−3]2 = 52
b. Đường tròn [C] có tâm I[a;b] và tiếp xúc với đường thẳng d thì R=d[I;d].
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d
⇒ d[I;d]=R
c. Đường tròn [C] có đường kính AB thì có tâm I là trung điểm của AB và bán kính: R = AB/2.
Tâm I là trung điểm của AB, có tọa độ :
Phương trình cần tìm là: [x−4]2+[y−3]2=13
Ví du: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: A[1;2]; B[5;2]; C[1;−3]
Lời giải:
Gọi phương trình đường tròn có dạng: [C]: x2 + y2 − 2ax – 2by + c = 0
A[1;2]∈[C] nên:12 + 22 – 2a − 4b + c=0 ⇔ 2a + 4b – c = 5
B[5;2]∈[C] nên: 52 + 22 – 10a − 4b + c=0 ⇔ 10a + 4b – c = 29
C[1;−3]∈[C] nên: 12+[−3]2–2a + 6b + c = 0⇔ 2a − 6b – c =10
Phương trình cần tìm là: x2+y2−6x+y−1=0
3. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo[xo;yo] thuộc đường tròn [C]
Tìm tọa độ tâm I[a,b] của đường tròn [C]
Phương trình tiếp tuyến với [C] tại Mo[xo;yo] có dạng:
[x0 -a][x-x0] + [y0 – b][y – y0] = 0
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với [C] khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn [C] tâm I, bán kính R ⇔ d [I, ∆] = R
Ví dụ 1:Cho đường tròn [C] : [x – 3]2 + [y – 1]2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm A[ 4; 4]
Lời giải:
Đường tròn [C] có tâm I[ 3;1]. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn [C] tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.
⇒ IA→ = [1; 3] là vectơ pháp tuyến của d.
Suy ra phương trình d: 1[ x – 4] + 3[ y – 4 ] = 0
Hay x + 3y – 16 = 0.
Ví dụ 2: Cho đường tròn [x – 3]2 + [y + 1]2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của [ C] song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0
Lời giải:
Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên
phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .
Đường tròn [ C] có tâm I[ 3; -1] và bán kính R = √5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn [ C] khi :
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể hệ thống lại kiến thức về phương trình đường tròn để áp dụng vào làm các dạng bài tập liên quan nhanh chóng nhé
§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN KIẾN THỨC CĂN BẢN Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Phương trình đường tròn tâm l[a; b], bán kính R có dạng: [X - a]2 + [y - b]2 = R2 Phương trình đường tròn [x - a]2 + [y - b]2 = R2 có thể được viết dưới dạng X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 - R2. Ngược lại, phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn [C] khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó đường tròn [C] có tâm l[a, b] và bán kính R = Va2 +b2 -c. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Chd đường tròn [C]: [x - a]2 + [y - b]2 = R2 và M0[x0; yo] e [C] Phương trình tiếp tuyến của [C] tại Mo là: [Xo - a][x - Xo] + [y0 - b][y - y0] = 0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0; 16x2+ 16/+ 16x-8y-11 = 0; X2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0. [ỹéiỉé Phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn có tâm I[a, b] bán kính 7a2 + b2 - c [với điều kiện a2 + b2 - c > 0]. Ta có a = 1, b = 1, c = -2 Đường tròn có tâm 1[1; 1] bán kính R = 7l2 + l2 + 2 = 2. 16x2 + 16y2 + 16x - 8y- 11 = 0 o X2 + y2 + X - |y - II = 0 2 16 a = 2, b = -3, c = -3. Đường tròn có tâm 1[2; -3] bán kính R = 74 + 9 + 3 = 4 . Lập phương trình đường tròn [7] trong các trường hợp sau: [7] có tâm l[- 2; 3] và đi qua M[2; - 3]; [7] có tâm 1[-1; 2] và tiếp xúc với đường thẳng X - 2y + 7 = 0; [7] có đường kính AB với A[1; 1] và B[7; 5]. co có tầm I[- 2; 3] và đi qua M[2; - 3] nên co có bán kính R = IM = 7l6 + 36 = 752 . Vậy phverg trình của co là: [x + 2]2 + [y - 3]2 = 52 Ta có K-l; 2] d: X — 2y + 7 = 0 CO có tâm I và tiếp xúc với [d] suy ra co có bán kính R bằng khoảng l-l - 4 + 7| 2 cách từ I tới d: R = -— 7l + 4 75 Phương trình của co là: [x + l]2 + [y - 2]2 = Ệ-. 5 Ta có A[l; 1]; B[7; 5] Tâm I của co là trung điểm của AB nên suy ra I có tọa độ [4; 3]. Gọi R là bán kính của co, ta có: R2 = IA2 = 9 + 4 = 13. Vậy phương trình của co là: [x - 4]2 + [y - 3]2 = 13. b] M[-2; 4], N[5; 5], P[6;-2]. Lập phương trinh đường tròn di qua ba điểm a] A[1;2], B[5; 2], C[1;-3]; l + 4-2a-4b + c = 0 -2a - 4b + c = -5 25 + 4 - 10a - 4b + c = 0 ■ -10a-4b + c =-29 - l + 9-2a + 6b + c = 0 -2a + 6b + c = -10 Phương trình của đường tròn co có dạng: X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [1] Thay tọa độ của các điểm A, B, c vào [1] ta được hệ phương trình: fa = 3 b = 4 2 C = -1 Vậy co có phương trình: X2 + y2 - 6x + y - 1 = 0. Tương tự như câu a] ta có hệ phương trình: 4a - 8b + c = -20 a = 2 • -10a - 10b + c = -50 - b = 1 -12a + 4b + c = -40 c = -20 Vậy co có phương trình: X2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0. Lập phương trinh đường trò.n tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi quâ điểm M[2; 1]. tyiAi Xét đường tròn co có phương trình: [x - a]2 + [y - b]2 = R2. Có tâm I[a, b]. CO tiếp xúc với Ox và Oy, nên: |a| = |b| = R [vì d[I, Ox] = d[I, Oy]] • Trường hợp 1: b = a [O: [X - a]2 + [y - a]2 = a2 M[2; 1] e co [2 - a]2 + [1 - a]2 = a2 a2 - 6a + 5 = 0 Trường hợp 2: b = -a CO: [x - a]2 + [y + a]2 = a2 M[2; 1] e co » [2 - a]2 + [1 + a]2 = a2 o a2 - 2a + 5 = 0 Phương trình vô nghiệm. Vậy có hai đường tròn thoả mãn đề bài: CO]: [x - l]2 + [y - l]2 = 1 CO]: [X - 5]2 + [y - 5]2 = 25. Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0. [ỷưíi Đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ có tâm nằm trên đường thẳng y = X hoặc y = -X. 4x - 2y - 8 = 0 íx = 4 . Vậy 1[4, 4]. Trường hợp tâm I thuộc đường thẳng y = X. Tọa độ tầm I là nghiệm của hệ Bán kính R = d[I, Ox] = 4 Vậy CO]: [x - 4]2 + [y - 4]2 = 16 4x - 2y - 8 = 0 y = -x Trường bợp tâm I thuộc đường thẳng y = -X. Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ Bán kính R = d[I, Ox] = — 3 Vậy«]:[x-£] +[y + í] .ụ. Cho đường tròn ['rì có phương trinh: X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 Tìm tọa độ tàm và bán kính của [rì- Viết phương trình tiếp tuyến với [rì đi qua điểm A[-1; 0]. Viết phương trình tiếp tuyến với [rì vuông góc với đường thẳng: 3x - 4y + 5 = 0. tyúỉi CO: X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 Ta có a = 2, b = -4; c = -5 co có tâm 1[2; -4] và có bán kính: R = ^4 + 16 + 5 = 5 CO: [x - 2]2 + [y + 4]2 = 25 Ta có A[-l; 0] 6 co. Phương trình tiếp tuyến với co tại A là: [-1 - 2][x + 1] + [0 + 4][y - 0] = 0 -3x + 4y-3 = 0 o 3x-4y + 3 = 0 Tiếp tuyến A vuông góc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 nên phương trình A có dạng: 4x + 3y + c = 0. Ta có c-4 = 25 c - 4 = -25 c = 29 c =-21 A tiếp xúc với CO nên d[I, A] = R 18-12 + c| r , I . J —- - = 5 I c - 4 I = 25 Vậy có hai tiếp tuyến của co vuông góc với d, đó là: Ap 4x + 3y + 29 = 0 A2: 4x + 3y - 21 = 0. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Viết phương trình đường tròn qua điểm A[1; -2] và các giao điểm của đường thẳng: X - 7y + 10 = 0 với đường tròn X2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn: CO: X2 + y2 - lOx + 24y - 56 = 0 CO'Z- X2 + y2 - 2x - 4y - 20 = 0 Cho đường tròn [C]: X2 + y2 - 1 = 0 và [Cm]: X2 + y2 - 2[m + 1 ]x + 4my -5 = 0 Xác định m để [Cm] là đường tròn. Chứng minh rằng có hai đường tròn [Cm] tiếp xúc với [C] ứng với hai giá trị khác nhau của m. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường đó. Cho [Cm]: X2 + y2 + [2 - m]x + 2my -1=0 Xác định m để [Cm] là đường tròn. Cho m = -2 và A[0; -1]. Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn [C_2] kẻ từ A.