Các khái niệm liên quan vectơ
by HOCTOAN24H · 24/06/2015
Trong chương trình học lớp 10 chúng ta bắt đầu làm quen với một khái niệm rất mới đó là vectơ.Rất nhiều bạn học sinh khi học ở THCS đã là một học sinh khá giỏi nhưng khi lên lớp 10 và bước đầu học những khái niệm liên quan vectơ, những bài toán về vectơ đều cảm thấy lạ lẫm, khó tiếp thu. Tuy nhiên nếu các bạn nắm chắc nhưng khái niệm cơ bản của vectơ, lấy kiến thức đó làm gốc rễ cộng với những kiến thức đã được xây dựng ở cấp 2 thì việchọc vectơ sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều. Vậy những khái niệm hay định nghĩa liên quan vectơ mà các bạn cần phải nẵm vững ở đây là gì?
Mục lục
- 1 Lịch sử
- 2 Các khái niệm cơ bản
- 3 Góc giữa 2 vectơ
- 4 Phép toán trên vectơ
- 4.1 Phép cộng hai vectơ
- 4.1.1 Quy tắc
- 4.1.2 Tính chất Vectơ
- 4.2 Hiệu hai vectơ
- 4.3 Tích vectơ với một số
- 4.3.1 Quy tắc
- 4.3.2 Tính chất
- 4.3.3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
- 4.3.4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
- 4.4 Tích vô hướng của hai vectơ
- 4.4.1 Quy tắc
- 4.4.2 Các tính chất của tích vô hướng
- 4.4.3 Một số tính chất mở rộng
- 4.4.4 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
- 4.1 Phép cộng hai vectơ
- 5 Xem thêm
- 6 Tham khảo
- 7 Liên kết ngoài
Lịch sửSửa đổi
Khái niệm về vectơ, như chúng ta biết ngày nay, đã phát triển dần dần trong khoảng thời gian hơn 200 năm. Khoảng một chục người đã bỏ nhiều công sức để đóng góp.[3]
Giusto Bellavitis đã trừu tượng hóa ý tưởng cơ bản vào năm 1835 khi ông thiết lập khái niệm về sự trang bị. Làm việc trong một mặt phẳng Euclide, ông ta đã tạo ra bất kỳ cặp phân đoạn đường nào có cùng độ dài và hướng. Về cơ bản, ông nhận ra một mối quan hệ tương đương trên các cặp điểm [lưỡng cực] trong mặt phẳng và do đó dựng lên không gian đầu tiên của vectơ trong mặt phẳng.[3]:52–4
Thuật ngữ vectơ được William Rowan Hamilton giới thiệu như là một phần của tứ phương, là tổng q = s + v của một số thực s [còn gọi là vô hướng] và vectơ 3 chiều. Giống như Bellavitis, Hamilton đã xem các vectơ là đại diện của các lớp phân khúc được định hướng trang bị. Khi các số phức sử dụng một đơn vị tưởng tượng [số ảo] để bổ sung cho phần số thực, Hamilton coi vectơ v là phần số ảo của một phần tư:
Phần số ảo, được xây dựng hình học bởi một đường thẳng hoặc vectơ bán kính, nói chung, đối với mỗi bậc bốn xác định [quaternion], chiều dài xác định và hướng xác định trong không gian, có thể được gọi là vectơ thành phần, hoặc đơn giản là vectơ tứ phương [quaternion].[4]Một số nhà toán học khác đã phát triển các hệ thống giống như vectơ vào giữa thế kỷ XIX, bao gồm Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant và Matthew O'Brien. Công trình năm 1840 của Grassmann Theorie der Ebbe und Flut [Lý thuyết về Ebb và Flow] là hệ thống phân tích không gian đầu tiên tương tự như hệ thống ngày nay và có ý tưởng tương ứng với tích có hướng, tích vô hướng và vectơ vi phân. Các nghiên cứu của Grassmann phần lớn bị bỏ quên cho đến những năm 1870.[3]
Peter Guthrie Tait mang tiêu chuẩn bậc bốn sau Hamilton. Chuyên luận về Đệ tứ năm 1867 của ông bao gồm điều trị rộng rãi cho người điều hành nabla hoặc del ∇.
Năm 1878, yếu tố năng động được xuất bản bởi William Kingdon Clifford. Clifford đã đơn giản hóa nghiên cứu Quaternion bằng cách tách tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ từ phương trình Quaternion hoàn chỉnh. Cách tiếp cận này làm cho các tính toán véc tơ có sẵn cho các kỹ sư và những người làm việc theo không gian ba chiều và hoài nghi về không gian bốn chiều.
Josiah Willard Gibbs, ông đã được tiếp xúc với các nhóm tứ phương thông qua chuyên luận về điện và từ tính của James Clerk Maxwell, đã tách ra khỏi phần vectơ của họ để tính toán độc lập. Nửa đầu của Phân tích vectơ của Gibbs, xuất bản năm 1881, trình bày về cơ bản hệ thống phân tích vectơ hiện đại.[3] Năm 1901, Edwin Bidwell Wilson đã xuất bản Phân tích Vectơ, phỏng theo các bài giảng của Gibb, trong đó đã loại bỏ vectơ tứ phương [Quaternion] trong việc phát triển phép tính vectơ.
Các khái niệm cơ bảnSửa đổi
- Độ lớn của vectơ A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu giống như ký hiệu giá trị tuyệt đối: | A B → | {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|} đọc là độ dài của vectơ AB
- Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh.
- Ngoài ra, bạn cũng có thể dễ nhận thấy 1 tính chất cộng đơn giản khác của vectơ: | A B → | {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|} + | C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} | = |AB + CD|
- Vectơ-không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối. Ký hiệu là A A → {\displaystyle {\overrightarrow {AA}}} hoặc 0 → {\displaystyle {\overrightarrow {0}}}
- 2 vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau
- 2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng [phương song song, cùng chiều] và độ lớn bằng nhau. Véctơ A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} bằng véctơ C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} được ký hiệu là A B → = C D → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}} .
- 2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược hướng [phương song song, ngược chiều] và độ lớn bằng nhau. Vectơ đối của véctơ A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} là B A → {\displaystyle {\overrightarrow {BA}}} , ta có A B → = − B A → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {BA}}}
- Vectơ tự do: vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ
- Vectơ buộc: vectơ có điểm đầu cố định, không di chuyển được. Trong vật lý, vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
- Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ a → {\displaystyle {\vec {a}}} có điểm đầu đặt tại gốc hệ tọa độ thì có thể xác định hoàn toàn bằng tọa độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự [ x , y ] {\displaystyle [x,\,y]} trong mặt phẳng và [ x , y , z ] {\displaystyle [x,\,y,\,z]} trong không gian. Trong không-thời gian bốn chiều, tọa độ đó được xác định bằng [ c t , x , y , z ] {\displaystyle [ct,\,x,\,y,\,z]} trong đó c là tốc độ ánh sáng, t là thời gian.