Thế nào là cơ sở chính tắc? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết qua bài viết sau đây .Mời các bạn tham khảo!
|
Trong đại số tuyến tính, một tổ hợp tuyến tính là một tổng của các vectơ nhân với các hệ số vô hướng.
Định nghĩa
Giả sử S={v1,...,vn} là một tập hữu hạn các vectơ, một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng các vectơ nhân bởi các hệ số theo dạng: a1v1+...+an vnvới các số a1,...,an nằm trong trường F của không gian vectơ chứa v1,...,vn. Ví dụVector [3,-4] là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp {[1,1],[2,3],[1,-1]} bởi vì: [3,-4] = 2[1,1] + [-1][2,3] + 3[1,-1]Bao tuyến tínhTập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong S được gọi là bao tuyến tính của S [hay không gian con sinh bởi S] và ký hiệu là span[S] hay . Nói một cách chính xác: Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 = ... = kn = 0 Ý nghĩa hình học
Thí dụ
Độc lập tuyến tính trong không gian Rn
Cơ sở của không gian vectơ là một hệ vectơ độc lập tuyên tính và sinh ra không gian vectơ đó. Đây là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Ta có thể nhận ra ý nghĩa của cơ sở trong không gian vectơ . Không gian này thường được biểu diễn bằng các vectơ hình học trên mặt phẳng. Một cơ sở của nó là hệ gồm hai vectơ đơn vị của hai trục toạ độ: i=[1,0] và j=[0,1]. Mọi vectơ của đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này. Trong không chỉ có một cơ sở, có rất nhiều hệ hai vectơ như thế. Tồng quát cho một không gian vectơ bất kỳ ta có:
Định nghĩa
Một tập hợp B của các vectơ b1,...,bn trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như
Khi đó [với n hữu hạn] số n được gọi là số chiều của không gian vectơ V. Khái niệm cơ sở có thể mở rộng cho một tập vô hạn các vectơ , với tập chỉ số I là tập vô hạn. Khi đó V được gọi là không gian vô hạn chiều. Trong không gian , số vectơ trong cơ sở bằng số chiều của không gian bằng n. Tính chất
Toạ độ trong một cơ sở và công thức đổi cơ sởCác hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B. Chẳng hạn nếu v = k1.b1 + k2.b2 + ... + kn.bn thì [k1,k2,...,kn] là toạ độ của v trong cơ sở B.Cho hai cơ sở B={b1,b2,...,bn} và B' ={b' 1,b' 2,...,b' n}. Giả sử vetơ v có toạ độ trong cơ sở B và B' tương ứng là [k1,k2,...,kn] và [k'1,k'2,...,k'n]. Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B' như sau Khi đó v= = Như vậy được gọi là công thức đổi cơ sở. Cơ sở chính tắcTrong không gian , hệ gồm n vectơ đơn vị: lập thành một cơ sở gọi là cơ sở chính tắc của . Ví dụ: {[1,0,0], [0,1,0],[0,0,1]} là cơ sở chính tắc của không gian vectơ . |