Trong toán học, tích toán học là kết quả của phép nhân, hoặc là một biểu thức nhận diện các nhân tố được nhân. Ví dụ: 6 tích của 2 và 3 [kết quả của phép nhân], còn x [ 2 + x ] {\displaystyle x\cdot [2+x]}
là tích của x {\displaystyle x}
và [ 2 + x ] {\displaystyle [2+x]}
[chỉ ra 2 nhân tố nên được nhân với nhân].
Thứ tự mà số thực hoặc số phức được nhân không ảnh hưởng đến kết quả nhân; tính chất này gọi là tính giao hoán. Với nhân tử là ma trận toán học hoặc thành viên thuộc các số đại số kết hợp khác, tích toán học thường phụ thuộc vào thứ tự của nhân tử. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép nhân trong các đại số khác nói chung là không giao hoán.
Có rất nhiều loại tích khác nhau trong toán học: ngoài việc là phép nhân giữa các số, đa thức hoặc ma trận, người ta cũng định nghĩa phép nhân trên nhiều cấu trúc đại số khác nhau. Tổng quan về các loại tích khác nhau được đưa ra ở đây.
Mục lục
- 1 Tích của hai số
- 1.1 Tích của 2 số tự nhiên
- 1.2 Tích của 2 số nguyên
- 1.3 Tích của 2 phân số
- 1.4 Tích của 2 số thực
- 1.5 Tích của 2 số phức
- 1.5.1 Ý nghĩa hình học của phép nhân số phức
- 1.6 Tích của 2 quaternion
- 2 Tích của chuỗi số
- 3 Vành giao hoán
- 3.1 Các lớp dư của số nguyên
- 3.2 Vành các hàm
- 3.3 Tích chập
- 3.4 Vành đa thức
- 4 Tích trong đại số tuyến tính
- 4.1 Phép vô hướng
- 4.2 Tích vô hướng
- 4.3 Tích chéo trong không gian 3 chiều
- 4.4 Tích của ánh xạ tuyến tính
- 4.5 Tích của 2 ma trận
- 4.6 Tích của hàm tuyến tính như tích ma trận
- 4.7 Tích Tensor của không gian vector
- 4.8 Các lớp của tất cả đối tượng với tích tensor
- 4.9 Các tích khác trong đại số tuyến tính
- 5 Tích Descartes
- 6 Tích rỗng
- 7 Tích trên các cấu trúc đại số khác
- 8 Các tích trong lý thuyết phân loại
- 9 Ctích khác
- 10 Xem thêm
- 11 Tham khảo
- 12 Liên kết ngoài
Tích của hai sốSửa đổi
Tích của 2 số tự nhiênSửa đổi
3 nhân 4 bằng 12
Đặt các viên đá vào một hình chữ nhật có r {\displaystyle r}
hàng và s {\displaystyle s}
cột cho ra r s = i = 1 s r = j = 1 r s {\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s}
viên đá.
Tích của 2 số nguyênSửa đổi
Số nguyên gồm số dương và số âm. Hai số được nhân tương tự các số tự nhiên, ngoại trừ quy tắc bổ sung về dấu của kết quả: × + + + + {\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}
Nói thành lời:
- Âm nhân Âm ra Dương
- Âm nhân Dương ra Âm
- Dương nhân Âm ra Âm
- Dương nhân Dương ra Dương
Tích của 2 phân sốSửa đổi
Nhân hai phân số bằng cách nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số: z n z n = z z n n {\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}
Tích của 2 số thựcSửa đổi
Xem Xây dựng trường số thực cho định nghĩa chính xác của tích của 2 số thực.
Tích của 2 số phứcSửa đổi
Nhân 2 số phức bằng luật phân phối và định nghĩa i 2 = 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
: [ a + b i ] [ c + d i ] = a c + a d i + b c i + b d i 2 = [ a c b d ] + [ a d + b c ] i {\displaystyle {\begin{aligned}[a+b\,\mathrm {i} ]\cdot [c+d\,\mathrm {i} ]&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=[a\cdot c-b\cdot d]+[a\cdot d+b\cdot c]\,\mathrm {i} \end{aligned}}}
Ý nghĩa hình học của phép nhân số phứcSửa đổi
Biễu diễn số phức trong hệ tọa độ cực.
Số phức có thể được viết trong hệ tọa độ cực: a + b i = r [ cos [ φ ] + i sin [ φ ] ] = r e i φ {\displaystyle a+b\,\mathrm {i} =r\cdot [\cos[\varphi ]+\mathrm {i} \sin[\varphi ]]=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}
Hơn thế, c + d i = s [ cos [ ψ ] + i sin [ ψ ] ] = s e i ψ {\displaystyle c+d\,\mathrm {i} =s\cdot [\cos[\psi ]+\mathrm {i} \sin[\psi ]]=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }}
, mà từ đó ta có: [ a c b d ] + [ a d + b c ] i = r s [ cos [ φ + ψ ] + i sin [ φ + ψ ] ] = r s e i [ φ + ψ ] {\displaystyle [a\cdot c-b\cdot d]+[a\cdot d+b\cdot c]\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot [\cos[\varphi +\psi ]+\mathrm {i} \sin[\varphi +\psi ]]=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} [\varphi +\psi ]}}
Ý nghĩa hình học là chúng ta nhân các độ dài và cộng các góc.
Tích của 2 quaternionSửa đổi
Tích của 2 quaternion có thể được tìm thấy trong bài viết về quaternions. Tuy nhiên cũng cần lưu ý điểm thú vị rằng a b {\displaystyle a\cdot b}
và b a {\displaystyle b\cdot a}
nói chung là phân biệt.
Tích của chuỗi sốSửa đổi
Toán tử đại diện tích của một chuỗi số là ký tự Hy Lạp viết hoa pi [tương tự việc sử dụng ký tự viết hoa Sigma để đại diện tổng]. Tích của chuỗi chỉ gồm một số chính là số đó. Tích của không phần tử nào được gọi là tích rỗng và bằng 1.
Vành giao hoánSửa đổi
Vành giao hoán có một phép nhân.
Các lớp dư của số nguyênSửa đổi
Các lớp dư trong vành Z / N Z {\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
có thể cộng với nhau: [ a + N Z ] + [ b + N Z ] = a + b + N Z {\displaystyle [a+N\mathbb {Z} ]+[b+N\mathbb {Z} ]=a+b+N\mathbb {Z} }
và nhân được với nhau: [ a + N Z ] [ b + N Z ] = a b + N Z {\displaystyle [a+N\mathbb {Z} ]\cdot [b+N\mathbb {Z} ]=a\cdot b+N\mathbb {Z} }
Vành các hàmSửa đổi
Hàm số thực có thể cộng và nhân nhau bằng cách nhân kết quả của chúng: [ f + g ] [ m ] := f [ m ] + g [ m ] {\displaystyle [f+g][m]:=f[m]+g[m]}
[ f g ] [ m ] := f [ m ] g [ m ] {\displaystyle [f\cdot g][m]:=f[m]\cdot g[m]}
Tích chậpSửa đổi
Tích chập của sóng vuông với chính nó cho phép các hàm tam giác
Hai hàm đồng hóa có thể nhân nhau theo một cách khác gọi là tích chập.
Nếu | f [ t ] | d t < và | g [ t ] | d t < , {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f[t]|\,\mathrm {d} t