Toán 10 bài 2 Hình học trang 12

Bài 10 trang 12 sgk hình học lớp 10: Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ. Bài 10. Cho ba lực cùng vào một vật tại điểm M và đứng yên.

Bài 10. Cho ba lực \[\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB} \] và \[\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC} \] cùng tác động vào một vât tại điểm \[M\] và đứng yên. Cho biết cường độ của \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \] đều là \[100N\]  và \[\widehat {AMB} = {60^0}\]

Tìm cường độ và hướng của lực \[\overrightarrow {{F_3}} \]

Theo đề bài cường độ của \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \] đều là \[100N\] nên \[MA=MB\]. Mặt khác \[\widehat {AMB} = {60^0}\] nên tam giác \[ABM\] đều.

Quảng cáo

Do đó \[ MI={{AM\sqrt 3 } \over 2} = {{100\sqrt 3 } \over 2} = 50\sqrt 3 \]

\[MC=2MI=2.50\sqrt 3=100\sqrt 3 \]

\[\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} \]

Do đó \[\overrightarrow {{F_3}} \] có hướng là tia phân giác trong của góc \[\widehat {AMB} \] và có độ lớn là \[100\sqrt 3 N\]

Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10: Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý.

Bài 2. Cho hình bình hành \[ABCD\] và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{MD}\].

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

\[\overrightarrow{MA}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{BA}\]

\[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MD}\] + \[\overrightarrow{DC}\]

\[\Rightarrow\] \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] +\[\overrightarrow{MD}\]+ [\[\overrightarrow{BA}\] +\[\overrightarrow{DC}\]]

\[ABCD\] là hình bình hành nên hai vec tơ \[\overrightarrow{BA}\] và \[\overrightarrow{DC}\] là hai vec tơ đối nhau nên:

\[\overrightarrow{BA}\] +\[\overrightarrow{DC}\] = \[\overrightarrow{0}\]

Suy ra  \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{MD}\].

Quảng cáo

Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

\[\overrightarrow{AB}\]= \[\overrightarrow{MB}\] – \[\overrightarrow{MA}\]

\[\overrightarrow{CD}\] = \[\overrightarrow{MD}\] – \[\overrightarrow{MC}\]

\[\Rightarrow\] \[\overrightarrow{AB}\] + \[\overrightarrow{CD}\] =  [\[\overrightarrow{MB}\] +\[\overrightarrow{MD}\]] – [\[\overrightarrow{MA}\] +\[\overrightarrow{MC}\]].

\[ABCD\] là hình bình hành nên \[\overrightarrow{AB}\] và \[\overrightarrow{CD}\] là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

          \[\overrightarrow{AB}\] +\[\overrightarrow{CD}\] = \[\overrightarrow{0}\]

Suy ra:  \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{MD}\].

Tóm tắt kiến thức cần nhớ và Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9, 10 trang 12 SGK hình 10: Tổng và hiệu hai vectơ – Chương 1 hình học lớp 10.

A. Tóm tắt kiến thức cần nhớ Tổng và hiệu hai vectơ

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ

Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

3. Tính chất của tổng các vectơ

– Tính chất giao hoán 

– Tính chất kết hợp 

– Tính chất của véc tơ 0

4. Hiệu của hai vectơ

a] Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ a
được gọi là vec tơ đối của vec tơ a , kí hiệu

Vec tơ đối của véc tơ 0 là vectơ 0.

b] Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ a,b. Vec tơ hiệu của hai vectơ,

c] Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có

[1] là quy tắc 3 điểm [quy tắc tam giác] đối với tổng của hai vectơ.

[2] là quy tắc 3 điểm [quy tắc tam giác] đối với hiệu các vectơ.

5. Áp dụng 

a] Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng⇔

b] Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm  của tam giác ∆ABC ⇔

B. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập SGK trang 12 SGK Hình học 10 bài: Tổng và hiệu hai vectơ

[Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé, bộ công cụ soạn thảo ad không thêm được]

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  MA + MB và MA – MB

Lời giải: Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có vecto AM’= MB

Như vậy MA + MB = MA + AM’ = MM’ [ quy tắc 3 điểm]

Vậy vec tơ MM’ chính là vec tơ tổng của MA và MB

MM’ = MA + MB .

Ta lại có MA – MB = MA + [-MB]

⇒MA – MB = MA + BM [vectơ đối]

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có:

MA + BM = BM + MA= BA [quy tắc 3 điểm]

Vậy vecto MA – MB = BA

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng véctơ: MA = MB + BA MC = MD + DC ⇒ MA + MC = MB + MD + [BA +DC] ABD là hình bình hành, hai véctơ BA và DC là hai véctơ đối nhau nên: BA + DC = véctơ 0 Suy ra: MA + MC = MB + MD

cách 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vectơ

AB = MB – MA CD = MD – MC ⇒ AB + CD = [MB + MD] – [MA + MC] ABCD là hình bình hành nên AB và CD là hai véctơ đối nhau, cho ta: AB + CD = vectơ 0

Suy ra: MA + MC = MB + MD.

Bài 3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có

Lời giải: a] Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có

Như vậy:

mà 

Vậy

b] Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có 

Từ [1] và [2] suy ra 

Bài 4 trang 12. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng

Ta có: RJ + IQ + PS = [RA + AJ] + [IB + BQ] + [PC + CS] = [RA + CS] + [IB + AJ] + [PC + BQ] Mà RA = -CS; IB = -AJ; PC = -BQ

Vì vậy:

Bài 5 Hình 10. Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ

Ta có: véctơ AB + BC = AC ⇒ Độ dài của vectơ AB + vectơ BC là a Vẽ vectơ AD = vectơ BC, khi đó vectơ AB – BC = AB – AD = DB Tính DB: Gọi I là giao điểm của AC và BD ⇒ I là trung điểm của BD ⇒ BD = 2BI Mặt khác ΔBAi vuông tại I nên BI = AB.sinA = asin600 =a√3 / 2

Vậy: BD = 2 BI = a√3

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng:

a] Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ BA = OA – OB [1] Mặt khác, OA = CO [2] Từ [1] và [2] suy ra:

BA = CO – OB

b] Ta có: DB = AB – AD [1] AD = BC [2] Từ [1] và [2] cho ta:

DB = AB – BC

c] Ta có: DA – DB = BA [1] OD – OC = CD [2] BA = CD [3]

Từ [1],[2],[3] suy ra DA – DB = OD – OC.

d] DA – DB + DC = [DA – DB] + DC = BA + DC = BA + AB [Vì DC = AB] = 0

Bài 7. Cho véctơ a,b là hai vectơ khác véctơ 0. Khi nào có đẳng thức

a] Ta có |a + b| = |a| + |b| Nếu coi hình bình hành ABCD có véctơ AB = DC = a và véctơ AD = BC = b thì |a + b| là độ dài đường chéo AC và |a| = AB; |b| = BC Ta lại có: AC = AB + BC Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa A,C Vậy |a + b| = |a| + |b| khi hai véctơ a,b cùng hướng b] Tương tự, |a + b| là độ dài đường chéo AC |a – b| là độ dài đường chéo BD |a + b | = |a -b|⇒ AC= BD

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD ⊥ Ab hay véctơ a ⊥ b.

Bài 8 trang 12 . Cho 

So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.

Đáp án bài 8:

Từ |a + b| = 0, ta có  véctơ a + b = 0    ⇒ a = -b

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài |a| = |b|, cùng phương và ngược hướng.

Bài 9 trang 12. Chứng minh rằng véctơ AB = véctơ CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a] Cho  véctơ AB = véctơ CD thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có

Vì véctơ AB = véctơ CD nên

Vì I là trung điểm của AD nên véctơ AI + véctơ DI = véctơ 0 [2]

Từ [1] và [2] suy ra véctơ CI + véctơ BI = vectơ 0 [3]

Đẳng thức [3] chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b] AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh véctơ AB = véctơ CD
I là trung điểm của AD

I là trung điểm của BC

Suy ra

Bài 10. Cho ba lực

 cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của  đều là 100N  và góc ∠AMB = 600

Tìm cường độ và hướng của lực F3

Giải: Để vật đứng yên thì →F3 phải có độ lớn |→F1 + →F2| nhưng ngược hướng với →F1 +→F2.
Ta có →F1 + →F2 = →MA + →MB = →MD Tính MD: MD = 100√3 [Xem cách tính ở bài tập 5]

Vậy →F3 có cường độ là 100√3 và hướng ngược với hướng của MD.