2. Trong các phương trình trên, hãy nhật xét về bậc của biến trong các phương trình không phải là phương trình bậc nhất. Nêu cách giải các phương trình đó mà em biết.
Trả lời:
1. Các phương trình bậc nhất là: a, b, d
- $5y = 0 \Leftrightarrow y = 0$
- $2 - 3x = 0 \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$
- $5x + 1 = 0 \Leftrightarrow 5x = -1 \Leftrightarrow x = \frac{-1}{5}$
2. Trong các phương trình trên, các phương trình không phải là phương trình bậc nhất đều có bậc của biến là 2. Có thể giải phương trình trên bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.
B. Hoạt động hình thành kiến thức
1. a] Viết tiếp vào chỗ chấm [...] để hoàn thiện các bước lập phương trình cho bài toán sau
Bài toán: Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m; chiều rộng là 28m, bác Minh định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh [h.12]. Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại bằng 672 $m^2$.
Lập phương trình
Gọi bề trông mặt đường là x [m], 0 < 2x < 28. Phần đất còn lại hình chữ nhật có:
Chiều dài là: $32 - 2x$ [m]
Chiều rộng là: $...............$
Diện tích là: $[32 - 2x][...................]$ [$m^2]$
Theo đầu bài, ta có phương trình:
$[32 - 2x][..................] = 672$, hay $x^2 - 30x +56 = 0$
Để giải bài toán trên, ta cần giải phương trình $x^2 - 30x +56 = 0$ Phương trình $x^2 - 30x +56 = 0$ có bậc của ẩn x bằng 2 và được gọi là một phương trình bậc 2.
- Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 37]
- Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình ấy.
- $x^3 - 5 = 0$
ii] $3x^2 - 2x = 0$
iii] $-2x + 7 = 0$
iv] $-5x^2 = 0$
- $4x^2 + 1 = 0$
vi] $x^2 + 2x - 3 = 0$
Trả lời:
- Gọi bề trông mặt đường là x [m], 0 < 2x < 28. Phần đất còn lại hình chữ nhật có:
Chiều dài là: $32 - 2x$ [m]
Chiều rộng là: $28 - 2x$
Diện tích là: $[32 - 2x][28 - 2x]$ [$m^2]$
Theo đầu bài, ta có phương trình:
$[32 - 2x][28 - 2x] = 672$, hay $x^2 - 30x +56 = 0$
- Các phương trình bậc 2 là:
- ii] $3x^2 - 2x = 0$ với a = 3; b = -2; c = 0
- iv] $-5x^2 = 0$ với a = -5; b = c = 0
- v] $4x^2 + 1 = 0$ với a = 4; b = 0; c = 1;
- vi] $x^2 + 2x - 3 = 0$ với a = 1; b = 2; c = -3.
2. Viết tiếp vào chỗ chấm [...] để
- Giải phương trình $3x^2 - 2x = 0$
Ta có: $3x^2 - 2x = 0$
$\Leftrightarrow x[............] = 0$
$\Leftrightarrow x = ..............$ hoặc $............. = 0$
$\Leftrightarrow x = $ hoặc $x = ...........$
Vậy $..............$
- Giải phương trình $4x^2 - 1 = 0$
Ta có: $4x^2 - 1 = 0$
$\Leftrightarrow 4x^2 = .... $
$\Leftrightarrow ..................$
Vậy $....................$
- Giải phương trình $4x^2 + 1 = 0$
Ta có: $4x^2 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 4x^2 = .................$
[Mâu thuẫn vì .................]
Vậy $.......................$
Nhận xét: sgk trang 38
Trả lời
- Giải phương trình $3x^2 - 2x = 0$
Ta có: $3x^2 - 2x = 0$
$\Leftrightarrow x[3x - 2] = 0$
$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $3x - 2 = 0$
$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \frac{2}{3}$
Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 0$ hoặc $x = \frac{2}{3}$
- Giải phương trình $4x^2 - 1 = 0$
Ta có: $4x^2 - 1 = 0$
$\Leftrightarrow 4x^2 = 1$
$\Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}$
Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = \pm \frac{1}{2}$
- Giải phương trình $4x^2 + 1 = 0$
Ta có: $4x^2 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 4x^2 = -1$
[Mâu thuẫn vì $4x^2 \geq 0 \;\; \forall \;\;\;x$]
Vậy phương trình vô nghiệm.
3. Thực hiện các hoạt động sau
- Viết tiếp vào chỗ chấm [...] để giải phương trình $2x^2 - 12x + 17 = 0$
Giải: Ta có: $2x^2 - 12x + 17 = 0$
$\Leftrightarrow 2x^2 - 12x = ..............$ [chuyển 17 sang vế phải]
$\Leftrightarrow x^2 - 6x = ..................$ [chia cả hai vế cho 2]
$\Leftrightarrow x^2 - 2\times x \times 3 + 3^2 = \frac{17}{2} + 3^2$ [Thêm vào cả hai vế cùng một số là $3^2$ để vế trái thành một bình phương]
Bài viết Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn.
Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay
A. Phương pháp giải
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0]
1. Phương pháp.
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, [1]
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, [2]
- Nếu không rơi vào trường hợp [1] và [2] thì tính ∆ = b2 – 4ac
+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn
Ta có ∆ꞌ = [bꞌ]2 – ac
+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2. Ví dụ
Giải các phương trình sau
Giải
- Ta có: a = 1; b = 1; c = - 6 ⇒ ∆ = b2 – 4ac = 1 + 24 = 25 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Dạng 2: Tìm 2 số khi biết tổng và tích của hai số đó
1. Phương pháp:
Nếu hai số x1; x2 có x1 + x2 = S ; x1.x2 = P thì x1 và x2 có thể là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0
Tính ∆ = [-S]2 – 4P = S2 – 4P = ?
+ Nếu S2 – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2.
+ Nếu S2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm
Hoặc tính Tính ∆ꞌ = [-Sꞌ]2 – P = [Sꞌ]2 – P = ? [ với S = 2Sꞌ]
+ Nếu [Sꞌ]2 – P < 0 thì không tồn tại x1 và x2.
+ Nếu [Sꞌ]2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm thu gọn
2. Ví dụ
Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Ta có: u + v = 42 và u.v = 441 nên u và v có thể là nghiệm của phương trình bậc hai:
x2 – 42x + 441 = 0 [*]
Ta có: ∆ꞌ = [- 21]2 - 441 = 0
Phương trình [*] có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương pháp.
- Xác định điều kiện của phương trình nếu có
- Quy đồng, biến đổi, đặt ẩn phụ...để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai.
2. Ví dụ
Giải phương trình sau
Giải
- Đặt t = |x| [t ≥ 0] ⇒ t2 = x2. Khi đó phương trình [1] trở thành: t2 – t – 6 =0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = [-1]2 – 4.1 .[-6] = 25 > 0
Do đó phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt
[thỏa mãn t ≥ 0]
[không thỏa mãn t ≥ 0]
Với t = 3 ⇔ |x| = 3 ⇔ x = 3 hoặc x = -3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 3 hoặc x = -3
- ĐK: x ≠ -1; x ≠ 4
Phương trình [2]
⇒ 2x[x- 4] = x2 – x + 8
⇔ x2 – 7x – 8 = 0 [*]
Do a – b + c = 1- [-7] + [- 8] = 0 nên phương trình [*] có hai nghiệm
x1 = -1[không thoả mãn ĐK] ; x2 = 8 [thoả mãn ĐK]
Vậy phương trình [2] có nghiệm x = 8
Dạng 4: Phương trình bậc hai chứa tham số
1.Phương pháp: cho phương trình ax2 + bx + c =0[a ≠ 0]
- Điều kiện để phương trình
1. Có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
3. Có nghiệm kép ⇔ Δ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt [khác nhau] ⇔ Δ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0
7. Hai nghiệm dương [lớn hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0 ; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm [nhỏ hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0 ; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi
ac < 0 và S > 0
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 [với p là một số thực]
B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:
B3- Kết hợp [1] và [3] giải hệ phương trình:
⇒ x1 và x2
B4- Thay x1 và x2 vào [2] ⇒ Tìm giá trị tham số.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 - x2|= k [k ∈ R]
- Bình phương trình hai vế: [x1 - x2]2 = k2 ⇔ ... ⇔ [x1 + x2]2-4x1x2 = k2
- Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận.
- So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:
B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm [∆ ≥ 0]
B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 [*]
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α
Ta có . Thay biểu thức Vi-ét vào hệ[*] để tìm m
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α
Ta có [*]. Thay biểu thức Vi-ét vào hệ[*] để tìm m
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2
Ta có [x1 - α][x2 - α] < 0 [*] .Thay biểu thức Vi-ét vào [*] để tìm m
2. Ví dụ
Cho phương trình x2 + 5x + 3m - 1 = 0 [x là ẩn số, m là tham số]
- Tìm m để phương trình có hai nghiệm
- Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x13 - x23 + 3x1x2 = 75
Giải
- Phương trình có 2 nghiệm khi:
Vậy với thì phương trình có hai nghiệm
- Với thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2
Chia hai vế của [*] cho 25 - x1x2 ≠ 0 ta được:
Kết hợp x1 + x2 = -5 suy ra x1 = -1; x2 = -4. Thay vào x1x2 = 3m - 1 suy ra
Vậy là giá trị cần tìm.
B. Bài tập
Câu 1: Cho phương trình x2 - [2m - 1]x + m2 - 1 = 0 [x là ẩn số]
Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Giải
Δ = [2m - 1]2 - 4.[m2 - 1] = 5 - 4m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < 5/4
Đáp án là C
Câu 2: Tập nghiệm của phương trình x2 - 10x + 9 = 0 là
Giải
Phương trình x2 - 10x + 9 = 0 có a + b + c = 1 + [-10] + 9 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1,9}
Đáp án B
Câu 3: Tìm m để phương trình mx2 –2[m – 1]x + m - 3 = 0 [1] có 2 nghiệm phân biệt
- m > -2 và m ≠ 0
- m > -1 và m ≠ 0
- m > 2 và m ≠ 1
- m > 3 và m ≠ 0
Giải
Điều kiện để phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt là
Vậy với m > -1 và m ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đáp án là B
Câu 4: Tìm m để phương trình [m – 2]x2 –2[m + 1]x + m = 0 [1] có 1 nghiệm
Giải
TH1: m-2 = 0 ⇔ m = 2, thay m = 2 vào phương trình [1] ta được:
-6x + 2 = 0
với m = 2 phương trình [1] có nghiệm duy nhất nên m = 2 nhận
TH2: m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2, khi đó [1] là phương trình bậc hai.
với phương trình [1] có nghiệm duy nhất nên nhận
Vậy với hoặc m = 2 thì phương trình [1] có nghiệm duy nhất
Đáp án A
Câu 5: Cho phương trình x2 –[m - 1]x - m = 0 [1], kết luận nào sau đây đúng về phương trình [1]
Phương trình vô nghiệm với mọi m
- Phương trình có nghiệm kép với mọi m
- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
- Phương trình có nghiệm với mọi m
Giải
Phương trình [1] là phương trình bậc hai có hệ số a = 1, b = -m + 1, c = -m
⇒ a – b + c = 1 + m – 1 – m = 0
Do đó [1] có 2 nghiệm x = -1, x = m
Vì nếu m = -1 thì [1] có 1 nghiệm x = -1 nên ta chỉ có thể khẳng định [1] có nghiệm với mọi m
Đáp án D
Câu 6: Số nghiệm của phương trình: 5x4 + 3x2 – 2 = 0 [1]
- 1
- 2
- 3
- 4
Giải
Đặt t = x2 [điều kiện: t ≥ 0], phương trình [1] có dạng: 5t2 + 3t – 2 = 0
Ta có: a = 5, b = 3, c = -2
Đáp án B
Câu 7: Số nghiệm của phương trình [2x2 + 3]2 – 10x3 – 15x = 0 [1]
- 1
- 2
- 3
- 4
Giải
+] 2x2 + 3 = 0 ⇔ 2x2 = –3 ⇒ x2 = [vô nghiệm]
+] 2x2 – 5x + 3 = 0, đây là phương trình bậc hai có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
nên có 2 nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
Đáp án B
Câu 8: Cho phương trình x2 - 2[m + 1]x + m2 + m - 1 = 0 [m là tham số]
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện
- m = 2
- m = 3
- m = 0
- m = 1
Giải
Ta có: Δ' = [m + 1]2 - m2 - m + 1 = m2 + 2m + 1 - m2 - m + 1 = m+ 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2
Kết hợp với điều kiện m > -2 là các giá trị cần tìm.
Đáp án D
Câu 9: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 - 9x2 = 0
- m = 1
- m = 2
- m = 3
- m = 4
Giải
Ta có: Δ' = [-5m]2 - 1.9m = 25m2 - 9m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: Δ' > 0 ⇔ 25m2 - 9m > 0
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
từ [*] và giả thiết ta có hệ phương trình:
Với m = 0 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Với m = 1 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - 9x2 = 0.
Đáp án A
Câu 10: Tổng các nghiệm của phương trình x2 – x + 5 = 0 là
- -1
- 1
- Không tồn tại
- 5
Giải
Phương trình x2 – x + 5 = 0 có ∆ = [-1]2 – 4.1.5 = 1 – 20 = -19 < 0
phương trình vô nghiệm nên không tồn tại tổng các nghiệm
Đáp án là C
Câu 11: Số nghiệm của phương trình là
- 1
- 2
- 3
- 4
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Đặt √x = t [điều kiện: x ≥ 0], khi đó phương trình đã cho trở thành: 4t2 - 29t + 52 = 0 [1]
có a = 4, b = -29, c = 52
Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt:
KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
Đáp án B
Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình là
- 13
- 14
- 15
- 16
Giải
Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt:
Với t = 4 ⇒ √[x+1] = 4 ⇔ x + 1 = 16 ⇔ x = 15 [t/m]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 15, do đó tổng các nghiệm bằng 15
Đáp án C
Câu 13: Cho phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 [m là tham số]. Khẳng định nào sau đây đúng
- Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
- Phương trình vô nghiệm
- Phương trình có nghiệm kép khi m = 2
- Phương trình có một nghiệm x = -3 khi m = 1
Giải
Ta có: Δ' = 12 - 1.[-m2 - 1] = 1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0, với mọi m
Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Đáp án A
Câu 14: Cho phương trình x2 + 2x - m2 = 0
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1 = -3x2
Giải
Ta có: Δ' = 12 - 1.[-m2] = 1 + m2 = m2 + 1 > 0, với mọi m
Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
theo Vi-ét ta có:
Ta có x1 + x2 = -2 [do trên] và x1 = -3x2 nên ta có hệ phương trình sau:
Thay [*] vào biểu thức x1x2 = -m2 ta được:
Đáp án D
Câu 15: Cho phương trình . Chọn khẳng định sai
- Phương trình có nghiệm dương
- Phương trình có một nghiệm
- Phương trình có nghiệm là số chia hết cho 3
- Phương trình có nghiệm âm
Giải
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3
Đáp án D
Câu 16: Số nghiệm của phương trình x2 + |x - 1| = 1 là
- 1
- 2
- 3
- 4
Giải
Vậy phương trình có hai nghiệm
Đáp án B
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn cực hay
- Cách giải hệ phương trình 2 ẩn bậc hai cực hay, chi tiết
- Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay
- Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, chi tiết
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn SALE shopee tháng 12:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Đâu là phương trình bậc hai một ẩn?
Phương trình bậc hai một ẩn [hay gọi tắt là phương trình bậc hai] là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.
Phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm khi nào?
Phương trình bậc hai một ẩn [ax^2 + bx + c = 0]: – Phương trình vô nghiệm khi a ≠ 0 và ∆ < 0. Điều này xảy ra vì nếu a ≠ 0 và ∆ < 0, thì phương trình không có nghiệm thực nào, chỉ có nghiệm phức.
PT bậc 2 khác 0 khi nào?
– Nếu Δ