Trong tam giác vuông hai góc nhọn như thế nào

Chuyên đề Toán học lớp 7

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là gì? Dấu hiệu nhận biết các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông như thế nào? Là câu hỏi được rất nhiều bạn học sinh quan tâm. Chính vì vậy hôm nay Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn toàn bộ kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Tài liệu bao gồm khái niệm hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác vuông kèm theo một số ví dụ minh họa và bài tập. Hi vọng thông qua bài viết này các em học sinh củng cố ôn luyện kiến thức đã học để nhanh chóng giải được các bài tập Hình học 7. Bên cạnh đó các bạn xem thêm một số tài liệu như: tổng hợp kiến thức môn Toán lớp 7, tính chất trực tâm trong tam giác, Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác và rất nhiều tài liệu khác tại chuyên mục Toán 7.

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C".

*Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [cạnh – góc – cạnh ]

*Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [ góc – cạnh – góc ]

*Cạnh huyền – góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [ góc – cạnh – góc]

*Cạnh huyền – cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

C. Ví dụ minh họa các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Ví dụ 1: 

Cho ΔABC cân ở A [∠A < 90o]. Vẽ BH ⊥ AC [H ∈ AC], CK ⊥ AB [K ∈ AB].

a] Chứng minh rằng AH = HK

b] Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A

Trả lời 

Vẽ hình minh họa:

a] ΔABC cân tại A [giả thiết]

Suy ra

AB = AC [tính chất]

[định lí]

Xét hai tam giác vuông HAB và KAC, ta có:

AB = AC [chứng minh trên]

chung

⇒ ΔHAB = ΔKAC [cạnh huyền - góc nhọn]

⇒ AH = AK [cặp cạnh tương ứng]

b] Xét hai tam giác vuông KAI và HAI, ta có:

AH = AK [chứng minh trên]

AI cạnh chung

⇒ ΔHAI = ΔKAI [cạnh huyền - cạnh góc vuông]

[cặp góc tương ứng]

Hay AI là tia phân giác của

Ví dụ 2: Các tam giác vuông ABC và DEF có góc A = góc D = 90o, AC = DF. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ΔABC = ΔDEF.

Trả lời

+ Bổ sung AB =DE thì ΔABC = ΔDEF [cạnh - góc - cạnh]

+ Bổ sung

thì ΔABC = ΔDEF [góc - cạnh - góc]

+ Bổ sung BC = EF thì ΔABC = ΔDEF [cạnh huyền - cạnh góc vuông]

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng

a] HB = HC

b] góc BAH = góc CAH

Trả lời

a] Xét hai tam giác vuông ΔABH và ΔACH có:

AB = AC [giả thiết]

AH cạnh chung

⇒ ΔABH = ΔACH [cạnh huyền - cạnh góc vuông]

Suy ra HB = HC [cặp cạnh tương ứng]

b] Ta có ΔABH = ΔACH [chứng minh trên]

[cặp góc tương ứng]

D. Bài tập trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

I. Lý thuyết:

Câu 1: Phát biều các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?

Câu 2: Phát biều các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?

Câu 3: Phát biều định lí một đường thẳng vuông góc với mọt trong hai đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?

Câu 4: Phát biều định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?

Câu 5: Phát biều định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh?

Câu 6: Các em tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liêu quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác? Kể tên?

II. Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC có

. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.

Bài 2. Cho tam giác ABC có D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE. Biết

a] Chứng minh

b] Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của

c] Giả sử

. Tính các góc còn lai của tam giác DAE.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A. TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

a] Chứng minh DABC = DABD

b] Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC.

Bài 4. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:

a] D AOI = D BOI.

b] AB vuông góc OI..

Bài 5. Cho

có . Kẻ tia phân giác của [ D thuộc BC]. Trên canh AC lấy điểm E sao cho A E=A B, trên tia A B lấy điểm F sao cho A F=A C. Chứng minh rằng:

c] FDE thẳng hàng.

Bài 6. Cho góc nhọn

. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA=OB ;OC=OD. [A nằm giữa O và C; B Nằm giữa O và D].

a] Chứng minh 

b] So sánh 2 góc

và

Bài 7. Cho DABC vuông ở A. TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

a] Chứng minh DABC = DABD

b] Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC.

Bài 8. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:

a] D AOI = D BOI.

b] AB vuông góc OI.

Bài 9. Cho DABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.

a] Chứng minh AC // BE.

b] Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng.

Bài 10. Cho vuông tai

a] Tính

b] Trên canh

, lấy điểm D sao cho BD=BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tai E. Chứng minh

c] Qua c, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H, CH cắt AB tại F. Chứng minh

d] Chứng minh

và ba điểm D, E, F thẳng hàng

Bài 11. Cho , có

và M là trung điểm của BC

a] Chứng minh

b] Qua A vẽ

Chứng minh và a / / B C

c] Qua C, vẽ b/ / AM. Goi N là giao điểm của hai đường thẳng a và b. Chứng minh

d] Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn MN

Bài 12. Cho , gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA. Chứng minh rằng:

a]

b] AB = AC và AB//CD

c]

d] Trên các đoạn thẳng AB, CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=AF. Chứng minh E, M, F thẳng hàng

Bài 13. Cho vuông tai

. Tia phân giác của cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE= BA. Vẽ   tại H. Chứng minh rằng:

a]

và

b]

c] Trên tia

lấy điểm K sao cho DK=AH. Gọi M là trung điểm của đoan DH

Chứng minh A, M, K thẳng hàng

Bài 14. Cho , Gọi D là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F. Chứng minh rằng:

a] AD = EF

b] AE = EC

Bài 15. Cho . Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P sao cho N là trung điểm của MP. Chứng minh rằng:

b]

, Từ đó suy ra

Bài 16. Cho

nhọn. Lấy A trên Ox, B trên Oy sao cho OA=OB. Qua A kẻ đưởng thẳng vuông góc với cắt Oy tại M, qua B kẻ đt vuông góc Oy cắt Ox tại N. Gọi H là giao điểm của AM và BN, I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:

a] ON = OM

b] Ba điểm O, H, I thẳng hàng

Bài 17. Cho có

, kẻ là các tia phân giác của cắt tại I

a] Tính

b] Kẻ IF là các tia phân giác của

. Chứng minh rằng:

Bài 18. Cho nhọn. Vẽ về phía ngoài các đoạn thẳng

và

Kẻ

, EK vuông góc với đường thẳng . Chứng minh rằng:

Bài 19. Cho . Trên cạnh AB lấy M và N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đt song song với BC, cắt AC thứ tự tại D và E. Cmr:

Bài 20 :

Vẽ góc nhọn xAy. Trên tia Ax lấy hai điểm B và C [B nằm giữa A và C]. Trên tia Ay lấy hai điểm D và E sao cho AD = AB; AE = AC

a] Chứng minh BE = DC

b] Gọi O là giao điểm BE và DC. Chứng minh tam giác OBC bằng tam giác ODE.

c] Vẽ trung điểm M của CE. Chứng minh AM là đường trung trực của CE.

Bài 21.

Cho tam giác ABC [ AB< AC ] . Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D, sao cho IB = ID. Chứng minh :

a] Tam giác AIB bằng tam giác CID.

b] AD = BC v à AD // BC.

Bài 22

Cho tam giác ABC có góc A =350 . Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Trên đường vuông góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho AH = BD.

a] Chứng minh ΔAHB = ΔDBH.

b] Chứng minh AB//HD.

c] Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh O là trung điểm của BH.