Vi dụ về phương trình chứa tham số

Chào mừng bạn đến với website Eduboston, Hôm nay eduboston.vn sẽ giới thiệu đến bạn về bài viết Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m, Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu rõ hơn về bài viết Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m bên dưới.

Bài tập về hệ phương trình chứa tham số m thường có một số dạng như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m [biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m]; Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối quan hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m, …

• Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thay giá trị của m vào hệ phương trình đã cho.

+ Bước 2: Giải hệ phương trình vừa thu được bằng các phương pháp đã biết.

+ Bước 3: Kết luận về hệ phương trình

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

Giải hệ phương trình với m = 1.

* Câu trả lời:

– Với m = 1 ta có hệ:

Cộng các vế pt [1] và pt [2] của hệ, ta được:

3x = 9 ⇔ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1.

Vậy với m = 1 hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [3,1].

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên với m = 2.

* Câu trả lời:

– Khi m = 2 hệ phương trình có dạng:

Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm là

• Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m [biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số].

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất dạng ax + b = 0. [sử dụng phương pháp thay thế, phương pháp cộng đại số, …]

+ Bước 2: Xét một phương trình bậc nhất: ax + b = 0, [trong đó a, b là các hằng số]

.

– TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình

có nghiệm duy nhất x = -b / a. sau đó tìm y.

– TH2: Nếu a = 0, b 0 thì phương trình không có giải pháp.

– TH3: Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình có vô số giải pháp.

+ Bước 3:

Kết luận về hệ phương trình.

* Ví dụ:

Cho hệ phương trình:[[m + 1]x – [m – 1]] Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai hai ẩn số trên theo tham số m.

* Câu trả lời:– Từ PT [1] của hệ ta có: y = [m + 1] x – [m – 1]; [3] thay vào PT 2] ta được: x + [m + 1]= 2 x + [m

2– 1] x – [m2– 1] = 2 m

2

x = m

2

+ 1. [4].

– TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT [4] có nghiệm duy nhất:

thay vì [3] chúng ta có:

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất – TH2: Nếu m = 0 thì PT [4] trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm.

⇒ Hệ phương trình đã cho không có nghiệm.

– Kết luận:

Với m 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

. Với m = 0 hệ phương trình đã cho không có nghiệm.

• Dạng 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm [x; y] thỏa mãn điều kiện cho trước. * Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm [x; y] theo tham số m;

+ Bước 2: Thay [x; y] vào biểu thức điều kiện đã cho rồi giải tìm m;

+ Bước 3:Kết luận giá trị m. * Ví dụ 1:Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm [x; y] thỏa mãn x

2

+ và

2

= 5.

* Câu trả lời:

– Nhân PT [1] với 2 và PT [2] với 1, ta được:

Cộng cả hai vế của PT [3] và PT [4], ta được:7x = 7m + 7 x = m + 1 ⇒ 2y = 3m + 1 – x = 3m + 1 – [m + 1] = 2m.⇒ y = m. Thay x = m + 1 và y = m vào các điều kiện cần: [m + 1]

2+ [m] 2= 5 m2 + 2m + 1 + m

2= 5 2m 2

+ 2m – 4 = 0m 2+ m – 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = -2 [suy nghĩ theo bạn Việt thấy phương trình bậc hai theo m có a – b + c = 0]. – Kết luận: Vậy với m = 1 hoặc m = – 2 thì phương trình có nghiệm [x; y] thỏa mãn x

2

+ và 2

= 5.

Khi đó có thể thấy cặp nghiệm tương ứng của hệ là [x; y] = [2,1] hoặc [x; y] = [-1; -2]

* Ví dụ 2:

Cho hệ phương trình:

Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn [x + y] có giá trị nhỏ nhất:

* Câu trả lời:

– Theo cách giải của ví dụ ở dạng 2, ta giải hệ trên với nghiệm duy nhất khi m ≠ 0 là:

Chúng ta có:

Đặt

chúng tôi nhận được:

– Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ khi:

– Kết luận: Vậy với m = -4, hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn x + y, có GTNN bằng 7/8.

• Dạng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m. * Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm [x, y] theo tham số m;

+ Bước 2: Sử dụng phương pháp cộng hoặc thay thế đại số để mất tham số m;

+ Bước 3:

Kết luận.

* Ví dụ:

Cho hệ phương trình: a] Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất [x; y] với mọi giá trị của m.

b] Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m.

* Câu trả lời:a] Chúng tôi có:Từ PT: m [1-my] – y = – m m -m

2

y – y = -m 2m = y [m

2

+ 1]

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất:b] Ta thấy: – Kết luận: Vậy x

2

+ và 2 = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m.

• Bài tập về hệ phương trình chứa tham số [tự giải]

*

Bài tập 1:

Cho hệ phương trình [a là tham số]: a] Giải hệ phương trình với a = 2. b] Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn xy 4/5, xy