1. Hoán vị
Cho \[n\] phần tử khác nhau [\[n 1\]]. Mỗi cách sắp thứ tự của \[n\] phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của \[n\] phần tử đó.
Định lí
Số các hoán vị của \[n\] phần tử khác nhau đã cho [\[n 1\]] được kí hiệu là \[P_n\]và bằng:
\[P_n= n[n - 1][n - 2]...2 . 1 = n!\]
Ví dụ:
Tính số cách xếp \[6\] bạn học sinh thành một hàng dọc.
Hướng dẫn:
Mỗi cách xếp \[6\] bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của \[6\] phần tử.
Vậy số cách xếp \[6\] bạn học sinh thành một hàng dọc là \[{P_6} = 6! = 720\].
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp \[A\] gồm \[n\] phần tử \[\left[ {n \ge 1} \right]\].
Kết quả của việc lấy \[k\] phần tử khác nhau từ \[n\] phần tử của tập hợp \[A\] và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử đã cho.
Chú ý
Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập \[n\] của \[n\] phần tử đó.
Định lí
Số chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \[A_n^k\]và bằng
\[A_n^k= n[n 1][n k + 1] =\frac{n!}{[n - k]!} \] \[[1 k n]\]
Với quy ước \[0! = 1\].
Ví dụ:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \[4\] chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số \[1,2,3,4,5,6,7\]?
Hướng dẫn:
Mỗi số tự nhiên gồm \[4\] chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy \[4\] chữ số từ tập \[A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\] và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.
Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập \[4\] của \[7\] phần tử.
Vậy số các số cần tìm là \[A_7^4 = 840\] số.
3. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho \[n\] phần tử khác nhau [\[n 1\]]. Mỗi tập con gồm \[k\] phần tử khác nhau [không phân biệt thứ tự] của tập hợp \[n\] phần tử đã cho [\[0 k n\]] được gọi là một tổ hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử đã cho [với quy ước tổ hợp chập \[0\] của n phần tử bất kỳ là tập rỗng].
Định lí
Số các tổ hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \[C_n^k\]và bằng
\[C_n^k = \frac{n!}{k! [n - k]!}\] = \[\frac{A^k_{n}}{k!}\], [\[0 k n\]]
Ví dụ:
Một bàn học sinh có \[3\] nam và \[2\] nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra \[2\] bạn để làm trực nhật?
Hướng dẫn:
Mỗi cách chọn ra \[2\] bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập \[2\] của \[5\] phần tử.
Vậy số cách chọn là: \[C_5^2 = 10\] [cách]
Định lí
Với mọi \[n 1; 0 k n\], ta có:
a] \[C_n^k = C_n^{n-k}\]
b] \[C_n^k + C_n^{k+1}\]= \[C_{n+1}^{k+1}\].