như một trong 3 số a b c, , bằng 0, hai số còn lại khác 0, ở đây chẳng hạn a 0 thì đường thẳng d có phương
trình
0
0 0
####### 0
####### .
x x
y y z z
b c
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Nếu như có 2 trong 3 số a b c, , bằng 0, ở đây chẳng hạn a b 0 thì d có phương trình
0
0
####### 0
####### .
####### 0
x x
y y
#######
#######
#######
Trong bất cứ cách viết nào theo dạng này, ta đều thấy xuất hiện 2 dấu bằng trong phương trình đường thẳng
d, mỗi dấu bằng tượng trưng cho phương trình của 1 mặt phẳng. Cách viết này có thể hiểu là một đường
thẳng được xác định thông qua 2 mặt phẳng cắt nhau, khi đó đường thẳng đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng
đó.
Ở đây ta viết lại đường thẳng d dưới dạng
####### 0
####### ,
####### 0
ax by cz d
a x b y c z d
#######
#######
#######
trong đó a b c, , và a b c , , là hai bộ
số không tỉ lệ với nhau. Xét :ax by cz d 0 và :a x b y c z d 0 thì d là giao tuyến của
và . Tất cả các mặt phẳng chứa d đều có thể viết dươi dạng
2 2 m ax by cz d n a x b y c z d 0 m n 0
Nếu n0, P có dạng ax by cz d 0.
Nếu n0,P có dạng m ax by cz d a x b y c z d 0 với m
Ví dụ: Để viết phương trình P chứa đường thẳng
####### 1
####### : ,
####### 1 2 3
x y z d
#######
#######
#######
ta có thể làm như sau:
Ta viết lại đường thẳng d:
####### 1
####### 2 2 1 0
####### 3 0
####### 3
y x x y
z x z x
#######
#######
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Website: thayduc/
Thầy Đỗ Văn Đức – facebook/dovanduc2020 2
Vậy P có phương trình 2 1 0x y hoặc m x y2 1 3 0 2 3 x z m x my z m 0.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI1. Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng cho trước và tiếp xúc với mặt cầu S đã
biết
Phương pháp giải
Bước 1: Viết phương trình của P phụ thuộc theo tham số
Bước 2: Xác định tâm I và bán kính R của S, từ đó khai thác giả thiết P tiếp xúc với S khi và
chỉ khi d I P R ; để viết phương trình mặt phẳng P.
Ví dụ: Cho đường thẳng d đi qua M0;5;0 và có vectơ chỉ phương u1;0;1 .
#######
Viết phương trình mặt
phẳng P chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu
####### 2 2 2 1
####### : 1 2.
####### 9
S x y z và cắt Oz tại một
điểm có cao độ lớn hơn 1. Biết a b c; ; là một vectơ pháp tuyến của P với b là số nguyên tố, a c, là các
số nguyên. Giá trị của a b c 6 2 bằng
- 2. B. 4. C. 6. D. 8. [Đáp án viết tay ở cuối]
Bài tập luyện tập
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
####### 2 1
####### :
####### 10 8 1
x y z d
#######
và mặt cầu
2 2 2
S x y z x y z: 2 6 4 15 0. Mặt phẳng P chứa đường thẳng d, tiếp xúc với S và cắt
trục Oz tại điểm có cao độ lớn hơn 3. Khi đó giao điểm của P với trục Oz có cao độ là
####### A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
####### 1 1
####### :
####### 2 3 1
x y z d
#######
#######
#######
và mặt cầu
####### 2 2 2 2
####### : 0.
####### 3
S x y z
Mặt phẳng P chứa đường thẳng d, tiếp xúc với S và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khoảng
cách từ điểm A1;2;3 đến P là
####### A.
####### 1
####### .
####### 6
####### B.
####### 1
####### .
####### 5
####### C.
####### 1
####### .
####### 2
####### D.
####### 1
####### .
####### 2 2
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
####### 2 1
####### :.
####### 1 2 1
x y z d
#######
#######
#######
Mặt phẳng P chứa đường thẳng d
và tiếp xúc với mặt cầu
####### 2 2 2 81
####### : 2 1 3
####### 5
S x y z và không song song với Oz. Khoảng cách
từ điểm A0; 1; 1 tới P bằng
####### A.
####### 1
####### .
####### 95 5
####### B.
####### 1
####### .
####### 96 5
####### C.
####### 1
####### .
####### 97 5
####### D.
####### 1
####### .
####### 98 5
Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Website: thayduc/
Thầy Đỗ Văn Đức – facebook/dovanduc2020 4
2 2 2 2 2 2
cos
aa bb cc
a b c a b c
#######
#######
#######
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho :x y z 1 0 và đường thẳng : 0.
####### 2
x t
d y
z
#######
#######
#######
#######
#######
Mặt phẳng P chứa
đường thẳng d và tạo với một góc bằng 60 . Biết mặt phẳng P cắt Oy tại điểm có tung độ lớn hơn
1 và đi qua điểm a b; ;1 . Giá trị của b thuộc khoảng nào sau đây?
A. 10;20 . B. 20; . C. ; 10 . D. 10;10 . [Đáp án viết tay ở cuối]
Bài tập tương tự
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
####### 1
####### : 1
####### 0
x t
d y t
z
#######
#######
#######
#######
#######
và mặt phẳng :2 2 3 0 y z Mặt
phẳng P chứa đường thẳng d và hợp với mặt phẳng một góc bằng 60 . Biết P có vectơ pháp
tuyến n1; ;b c
#######
với c0. Giá trị của 8 7b c bằng
####### A. 7 2. B. 7. C. 9. D. 9 2.
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
####### 1 1
####### :
####### 2 3
x z d y
#######
#######
#######
và mặt phẳng :x y z 0. Mặt
phẳng P chứa đường thẳng d, hợp với d một góc thỏa mãn
####### 1
cos. 3
Biết P không đi qua
gốc tọa độ. Khoảng cách từ điểm A0; 1;4 tới P là
####### A.
####### 2
####### .
####### 19
####### B.
####### 2 3
####### .
####### 19
####### C.
####### 3
####### .
####### 19
####### D.
####### 6
####### .
####### 19
8. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A0;0;1 và B3;0;0 . Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai
điểm A và B, đồng thời tạo với mặt phẳng xOy một góc bằng 30 .
####### A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
9. Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;2;2 và mặt phẳng P x y z:2 2 2 0. Có bao nhiêu mặt
phẳng đi qua 2 điểm O và A, đồng thời tạo với P một góc thỏa mãn
####### 4
sin. 9
####### A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Website: thayduc/
Thầy Đỗ Văn Đức – facebook/dovanduc2020 5
4. Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng cho trước và cắt các trục tọa độ Ox, Oy,
Oz tác điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC bằng một hằng số đã biết
Phương pháp giải
Bước 1: Viết phương trình của P phụ thuộc theo tham số
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm A B C, , theo tham số, từ đó sử dụng
####### 1
####### ..
####### 6
####### VOABC OAOB OC
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
####### 1 4
####### :.
####### 2 2 3
x y z d
#######
Mặt phẳng P chứa đường thẳng d,
cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 1 và điểm C có cao độ