- LG a
- LG b
- LG c
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng, đoạn tương ứng:
LG a
a] g[x] = |x3+ 3x2 72x + 90| trên đoạn [-5; 5]
Lời giải chi tiết:
a] Xét hàm số \[f[x] = {x^3} + 3{x^2} - 72x + 90\]trên đoạn [-5; 5]
\[f'[x] = 3{x^2} + 6x - 72;\]
\[f'[x] = 0\] \[\Leftrightarrow\left[ {\matrix{{x = 4} \cr {x = - 6 \notin {\rm{[}} - 5;5]} \cr} } \right.\]
\[f[ - 5] = 400;\] \[f[5] = - 70;\] \[f[4] = - 86\]
Ngoài ra, f[x] liên tục trên đoạn [-5; 5] và \[f[ - 5].f[5] < 0\]nên tồn tại \[{x_0} \in [ - 5;5]\] sao cho \[f[{x_0}] = 0\]
Ta có \[g[x] = |f[x]| \ge 0\]và \[g[{x_0}] = |f[{x_0}]| = 0;\] \[g[ - 5] = |400| = 400\];
\[g[5] = |-70| = 70 ;\] \[ g[4] = |f[4]| = |-86| = 86\]
Vậy \[\mathop {\min g[x]}\limits_{{\rm{[}} - 5;5]} = g[{x_0}] = 0\]
\[\mathop {{\rm{max }}g[x]}\limits_{{\rm{[}} - 5;5]} = g[ - 5] = 400\]
LG b
b] f[x] = x4 4x2+ 1 trên đoạn [-1; 2]
Lời giải chi tiết:
b] Ta có:
\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = 4{x^3} - 8x = 4x\left[ {{x^2} - 2} \right]\\
f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\\
f\left[ { - 1} \right] = - 2\\
f\left[ 0 \right] = 1\\
f\left[ {\sqrt 2 } \right] = - 3\\
f\left[ { - \sqrt 2 } \right] = - 3\\
f\left[ 2 \right] = 1
\end{array}\]
Vậy \[\mathop {\min f[x]}\limits_{{\rm{[}} - 1;2]} = f[\sqrt 2 ] = - 3;\] \[\mathop {{\rm{max f}}[x]}\limits_{{\rm{[}} - 1;2]} = f[2] = f[0] = 1\]
LG c
c] f[x] = x ln x + 3 trên khoảng \[[0; + \infty ]\]
Lời giải chi tiết:
c] Ta có:
\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{{x - 1}}{x}\\
f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {0; + \infty } \right]
\end{array}\]
Ngoài ra, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua điểm \[x=1\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1\] và \[{f_{CT}} = f\left[ 1 \right] = 4\]
Mà \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = + \infty \] nên hàm số không có GTLN.
Vậy \[\mathop {\min f[x]}\limits_{[0; + \infty ]} = f[1] = 4\]. Không có giá trị lớn nhất.