-
Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc
1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
Xem chi tiết -
Câu hỏi 1 trang 93 SGK Hình học 11
Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vecto sau đây:...
Xem lời giải -
Câu hỏi 2 trang 94 SGK Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’...
Xem lời giải -
Câu hỏi 3 trang 95 SGK Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:...
Xem lời giải -
Câu hỏi 4 trang 97 SGK Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’...
Xem lời giải -
Câu hỏi 5 trang 97 SGK Hình học 11
Giải câu hỏi 5 trang 97 SGK Hình học 11. Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian ...
Xem lời giải -
Bài 1 trang 97 sgk hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ.
Xem lời giải -
Bài 2 trang 97 sgk hình học 11
Giải bài 2 trang 97 SGK Hình học 11. Cho hình tứ diện ABCD...
Xem lời giải -
Bài 3 trang 97 sgk hình học 11
a] Trong không gian nếu có hai đường thẳng a và b ...
Xem lời giải -
Bài 4 trang 98 sgk hình học 11
Giải bài 4 trang 98 SGK Hình học 11. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và A'B'C'...
Xem lời giải
Quảng cáo
Quảng cáo
Xem thêm
Góc giữa hai vecto trong không gian:
.
Tích vô hướng của hai vecto trong không gian:
Cho . Khi đó: .
Với hoặc . Quy ước: .
.
.
.
2. Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Một vectơ mà có phương song song hoặc trùng với được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng , lần lượt song song với , . Kí hiệu
Từ định nghĩa ta có sơ đồ: .
Nhận xét:
+ Giả sử có vectơ chỉ phương tương ứng là và .
Khi đó
+ Nếu hoặc thì .
3. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu . Kí hiệu là .
Nếu và lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng và thì
Nếu và vuông góc với một trong hai đường thẳng đó thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
B. Bài tập
Dạng 1. Ứng dụng của tích vô hướng
A. Phương pháp
Muốn tính độ dài của đoạn thẳng hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm và ta dựa vào công thức: .
Tính góc giữa hai vecto và ta dựa vào công thức: .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Cho tứ diện đều cạnh .
a] Tính góc giữa hai véctơ .
b] Gọi là trung điểm của . Tính góc giữa hai véctơ .
Lời giải:
a] Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta được:
.
Xét
Mà .
.
b] Ta có
Tứ diện đều cạnh . là trung tuyến của tam giác đều nên
Suy ra .
Ta có
Do đều nên
Đồng thời
Suy ra .
Thay vào ta được suy ra .
Vậy .
Ví dụ 1.2: Cho hình chóp có , , đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của .
a] Biểu diễn các véctơ và theo các véctơ , , .
b] Tính .
Lời giải:
a] Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ hai véctơ ta được:
.
b]
Mà , , đôi một vuông góc nên
Tam giác và vuông tại nên theo định lý Pitago ta được
suy ra .
Theo câu a ta có:
.
Thay vào ta được suy ra .
Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng
A. Phương pháp
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng bằng cách chọn một điểm thích hợp [ thường nằm trên một trong hai đường thẳng].
Từ dựng các đường thẳng lần lượt song song [có thể trùng nếu nằm trên một trong hai đường thẳng] với .
Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác .
Cách 2: Tìm hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng .
Khi đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi .
Lưu ý: Để tính ta chọn ba vecto không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vecto qua các vecto rồi thực hiện các tính toán.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 2.1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, các tam giác , , là các giác vuông tại . Biết , , . Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a] và . b] và . c] và .
Lời giải:
a] Tính góc giữa và
Để xác định góc giữa hai đường thẳng và ta sử dụng cách 1, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng , và cắt đường thẳng còn lại.
Ta dễ nhận thấy .
Khi đó .
Xét có suy ra . Vậy .
b] Tính góc giữa và
Tương tự, .
Xét có suy ra . Vậy .
c] Tính góc giữa và
Gọi là tâm của hình chữ nhật , là trung điểm của .
Trong có suy ra .
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông có:
.
Ta có là hình chữ nhật nên suy ra
.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông có:
.
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ta được:
.
Suy ra .Vậy .
Ví dụ 2.2: Cho tứ diện , gọi , là trung điểm của , . Biết , . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải:
Cách 1:
Do và là hai cạnh đối của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng và ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với , và chúng cắt nhau.
Gọi là trung điểm của , khi đó ,
Do , là các đường trung bình nên ta có . Áp dụng định lý hàm số cosin trong ta được:
Suy ra . Vậy .
Nhận xét: Ngoài việc tạo ra điểm như trên ta cũng có thể lấy điểm là trung điểm của , cách giải khí đó cũng tương tự.
Cách 2:
Ta có: .
.
.
.
Ví dụ 2.3: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , , vuông góc với và , . Tính góc của 2 đường thẳng:
a] và . b] và .
Lời giải:
a] Do
Tam giác vuông tại nên là góc nhọn, khi đó suy ra .
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .
Gọi là trung điểm của , khi đó . Tứ giác là hình hình hành [do ], có nên là hình thoi. Lại có góc , vuông nên là hình vuông cạnh suy ra .
Mặt khác, tứ giác là hình hình hành [do cặp cạnh và song song và bằng nhau] nên . Khi đó, .
Tam giác vuông tại nên .
Tam giác vuông tại nên .
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ta được
Do nên góc là góc nhọn suy ra .
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp
Để chứng ta có thể thực hiện theo các cách sau:
Chứng minh , trong đó lần lượt là các vecto chỉ phương của và .
Sử dụng tính chất .
Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa và tính trực tiếp góc đó.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1: Cho tứ diện trong đó . Gọi và lần lượt là trung điểm của và .
a] Chứng minh rằng vuông góc với cả hai đường thẳng và .
b] Tính độ dài .
Lời giải:
a] Từ giả thiết dễ dàng suy ra tam giác đều, vuông cân tại .
Từ đó vuông cân tại .
Chứng minh vuông góc với
Do các vuông cân tại nên
.
Chứng minh vuông góc với
Do các đều nên .
b] Áp dụng định lí Pitago cho vuông tại ta được:
.
Vậy .
Ví dụ 3.2: Cho hình chóp tam giác có và . Chứng minh rằng .
Lời giải:
Chứng minh
Xét .
Mà
Chứng minh tương tự ta cũng được .
Ví dụ 3.3: Cho tứ diện đều , cạnh bằng . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .
a] Chứng minh vuông góc với .
b] Gọi là trung điểm của . Tính góc giữa:
+ và .
+ và .
Lời giải:
a] Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng.
Gọi là trung điểm của . Ta có:
.
Do là tứ diện đều nên và
là tâm đáy [hay là giao điểm của ba đường cao].
Khi đó:
.
b] Xác định góc giữa và ; và
Xác định góc giữa và :
Gọi là trung điểm của .
Từ đó:
.
Áp dụng định lí hàm số cosin trong ta được:
[1]
Các đều, có cạnh nên .
là đường trung bình nên .
Từ đó
.
Xác định góc giữa và :
Gọi là trung điểm của .
Khi dó .
Các tam giác là các tam giác đều cạnh , nên các trung tuyến tương ứng .
Do đó, .
Vậy .
Ví dụ 3.4: Cho hình lập phương cạnh . Đặt .
a] Tính góc giữa các đường thẳng .
b] Gọi là tâm của hình vuông và là một điểm sao cho . Tính khoảng cách từ đến theo .
c] Phân tích hai véc tơ theo ba véc tơ . Từ đó, chứng tỏ rằng và vuông góc với nhau.
d] Trên cạnh và lấy hai điểm tương ứng sao cho [với ].
Chứng minh rằng vuông góc với .
Lời giải:
Nhận xét:
Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng [nếu hình lập phương cạnh ].
Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau [dài, rộng, cao].
a]
Tính góc giữa: .
+ Tính :
Do .
+ Tính :
Do .
là hình vuông nên là tam giác vuông cân tại .
.
Tính :
Do .
Xét trong tam giác có [do đều là các đường chéo ở mặt hình vuông của hình lập phương].
Do đó đều .
b] Tính độ dài theo .
Vơi là tâm của hình vuông thì .
Khi đó .
Gọi là tâm của đáy , theo quy tắc trung tuyến ta có:
.
Khoảng cách từ đến chính là độ dài véc tơ , từ đó ta được .
c] Phân tích hai véc tơ theo ba véc tơ .
Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có: .
Phân tích: .
Chứng minh vuông góc với :
Xét .
.
d] Chứng minh rằng :
Ta có phân tích
Mà .