Đăng ngày 24 Tháng Sáu, 2021 | 819 Views
- Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số a/b với a, b là các số nguyên, b khác 0
- Ta có thể biểu diễn mọi số thực hữu tỉ trên trục số. Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
- Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta tuôn có hoặc x=y hoặc x < y hoặc x > y
- Nếu x < y thì trên trục số x ở bên trái điểm y
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm
Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
* Cộng, trừ hai số hữu tỉ
- Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số
- Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số:
- Tính chất giao hoán
- Tính chất kết hợp
- Cộng với số 0
Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.
Tải tài liệu này tại đây. Đặt mua Sách tham khảo toán 7 tại đây! Tải bản WORD tại đây.
Các dạng toán nâng cao lớp 7 tổng hợp một số chuyên đề đại số nâng cao lớp 7 dành cho học sinh khá giỏi. Hi vọng qua tài liệu này, các bạn học sinh sẽ biết cách vận dụng các kiến thức để giải bài tập Toán 7 như toán tính tổng của dãy số mà các số hạng cách đều, dãy số mà các số hạng không cách đều... Mời các bạn cùng tham khảo.
Các dạng toán nâng cao lớp 7 hay và khó
- DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU
- DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
- MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 7 DẠNG KHÁC
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 7, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 7 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 7. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
Hướng dẫn giải
Cách 1:
B = 1 + [2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99].
Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là:
[2 + 99] + [3 + 98] + ... + [51 + 50] = 49.101 = 4949
Khi đó B = 1 + 4949 = 4950
Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp [mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?], đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.
Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
Cách 2:
| B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 | |
| + | B = 99 + 98 + 97 + ... + 3 + 2 + 1 |
| 2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 |
⇒ 2B = 100.99
⇒B = 50.99 = 4950
Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ.
Áp dụng các bài trên ta có C = [1 + 999] + [3 + 997] + ... + [499 + 501] = 1000.250 = 250.000 [Tổng trên có 250 cặp số]
Cách 2: Ta thấy:
1= 2.1 - 1
3 = 2.2 - 1
5 = 2.3 - 1
...
999 = 2.500 - 1
Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:
| C = 1 + 3 + 5 + ... + 995 + 997 + 999 | |
| + | C = 999 + 997 + 995 + ... + 5 + 3 + 1 |
| 2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000 |
⇒ 2C = 1000 . 500
⇒C = 1000 . 250 = 250000
Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
Ta thấy:
10 = 2.4 + 2
12 = 2.5 + 2
14 = 2.6 + 2
...
998 = 2.498 + 2
Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy: 495 = [998 - 10]/2 + 1
| số các số hạng = [số hạng đầu - số hạng cuối] : khoảng cách rồi cộng thêm 1 |
Khi đó ta có:
| D = 10 + 12 = ... + 996 + 998 | |
| + | D = 998 + 996 ... + 12 + 10 |
| 2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008 |
2D = 1008.495 → D = 504.495 = 249480
Thực chất D = [998 + 10].495 / 2
Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau:
Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, ... un [*], khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d.
+ Khi đó số các số hạng của dãy [*] là:
+ Tổng các số hạng của dãy [*] là:
+ Đặc biệt từ công thức [1] ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy [*] là: un = u1 + [n - 1]d
Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ...+ n = n[n + 1] /2
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.[n + 1]
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = [n - 1]n → 3an-1 =3[n - 1]n → 3an-1 = [n - 1]n[n + 1] - [n - 2][n - 1]n
an = n[n + 1] → 3an = 3n[n + 1] → 3an = n[n + 1][n + 2] - [n - 1]n[n + 1]
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3[a1 + a2 + … + an] = n[n + 1][n + 2]
3[a1 + a2 + ... + an] = n[n + 1][n + 2] ⇒
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n[n + 1].3
3A = 1.2.[3 - 0] + 2.3.[3 - 1] + … + n[n + 1][[n - 2] - [n - 1]]
3A= 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n[n + 1][n + 2] - [n - 1]n[n + 1]
3A = n[n + 1][n + 2]
* Tổng quát hoá ta có:
k[k + 1][k + 2] - [k - 1]k[k + 1] = 3k[k + 1]. Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k[k + 1][k + 2] - [k - 1]k[k + 1] = k[k + 1][[k + 2] - [k - 1]] = 3k[k + 1]
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + [n - 1]n[n + 1]
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + [n - 1]n[n + 1].4
4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + [n - 1]n[n + 1][n + 2] - [[n - 2][n - 1]n[n + 1]]
4B = [n - 1]n[n + 1][n + 2] - 0.1.2.3 = [n - 1]n[n + 1][n + 2]
Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n[n + 3]
Hướng dẫn giải
Ta thấy: 1.4 = 1.[1 + 3]
2.5 = 2.[2 + 3]
3.6 = 3.[3 + 3]
4.7 = 4.[4 + 3]
…….
n[n + 3] = n[n + 1] + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n[n + 1] +2n
C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n[n + 1] + 2n
C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n[n + 1]] + [2 + 4 + 6 + … + 2n]
⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n[n + 1]] + 3.[2 + 4 + 6 + … + 2n]
3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n[n + 1].3 + 3.[2 + 4 + 6 + … + 2n]
3C = n[n + 1][n + 2] +
⇒ C =
Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + .... + n2
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:
Ta có:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n[n + 1]
A = 1.[1 + 1] + 2.[1 + 2] + 3.[1 + 3] + .... + n.[n + 1]
A = 12 + 1.1 + 22 + .1 + 32 + 3.1 + ... + n2 + n.1
A = [12 + 22 + 32 + .... + n2] + [1 + 2 + 3 + ... + n]
Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
và 1 + 2 + 3 + .... + n =
⇒D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 =
Bài 5: Tính E = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Hướng dẫn giải
Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + [n - 1]n[n + 1]
B = [2 - 1].2.[2 + 1] + [3 -1].3.[3 +1] + ....+ [n - 1].n.[n + 1]
B = [23 - 2] + [33 - 3] + .... + [n3 - n]
B = [23 + 33 + .... +n3] - [2 + 3 + ... + n]
B = [13 + 23 + 33 + ... + n3] - [1 + 2 + 3 + ... + n]
B = [13 + 23 + 33 + ... + n3] -
⇒ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = B +
Mà
⇒ E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 =
Bài 6. [Trang 23 SGK Toán 7 tập 1]
Biết rằng 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng
S = 22 + 42 + 62 + … + 202
Lời giải
Ta có: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = [2.1]2 + [2.2]2 + … + [2.10]2 =
= 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.[12 + 22 + 32 + … + 102] = 4. [12 + 22 + 32 + … + 102] = 4.385 = 1540.
Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có:
MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 7 DẠNG KHÁC
Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263
Lời giải
Cách 1:
Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 [1]
2S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 [2]
Trừ từng vế của [2] cho [1] ta có:
2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 - [1 + 2 + 22 + 23 + … + 263]
= 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1
Cách 2:
Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 1 + 2[1 + 2 + 22 + 23 + … + 262] [1]
= 1 + 2[S1 - 263] = 1 + 2S1 - 264 S1 = 264 - 1
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + … + 32000 [1]
Lời giải:
Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:
Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + … + 32001 [2] Trừ từng vế của [2] cho [1] ta được:
3S - 2S = [3 + 32 + 33 + … + 32001] - [1 +3 + 32 + 33 + … + 32000]
Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B
Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = [23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1].26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25
[Vì 26 = 2.25]. Vậy rõ ràng ta thấy B > A
Cách 2: Áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn,
thật vậy:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29 [1]
2A = 2 + 22 + 23 + … + 29 + 210 [2]
Trừ từng vế của [2] cho [1] ta có:
2A - A = [2 + 22 + 23 + … + 29 + 210] - [1 + 2 + 22 + 23 + … + 29]
= 210 - 1 hay A = 210 - 1
Còn: B = 5.28 = [22 + 1].28 = 210 + 28
Vậy B > A
* Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với B mà không gặp mấy khó khăn.
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 [1]
Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 [2]
Trừ từng vế của [2] cho [1] ta được:
5S = 6 - 2.6 + [2.62 - 3.62] + [3.63 - 4.63] + … + [99.699 - 100.699] +
+ 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - [6 + 62 + 63 + … + 699]
Bài 5. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?
Lời giải
Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp:
Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số
Như vậy từ 1 đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261.
Một số bài tập tự giải:
- Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + [n - 2] … [n + 1]
- Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n[n + 1][n + 3]
- Tính: C = 22+ 52 + 82 + ...+ [3n - 1]2
- Tính: D = 14+ 24 + 34 + ... + n4
- Tính: E = 7 + 74+ 77 + 710 + … + 73001
- Tính: F = 8 + 83+ 85 + … + 8801
- Tính: G = 9 + 99 + 999 + … + 99 … 9 [chữ số cuối gồm 190 chữ số 9]
- Tính: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n!
- Cho dãy số: 1; 2; 3; … . Hỏi chữ số thứ 2007 là chữ số nào?
----------------------------------------------------------------------
Mời các bạn tải về để xem toàn bộ Các dạng toán nâng cao lớp 7. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán 7. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo tài liệu sau: Toán lớp 7, Giải bài tập Toán lớp 7, Tài liệu học tập lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 1 lớp 7
- Bộ đề ôn tập Toán lớp 7
- 100 câu hỏi ôn tập môn Toán lớp 7
- Bài tập về số hữu tỉ