Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng năm 2024

Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau, biết \(SA = AB = a\sqrt 3 \) . Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là:

• A \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
• B \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{5}\)
• C \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
• D \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Trong (SAB) kẻ \(AH \bot SB\)

Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\)

Xét tam giác vuông SAB có: \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} = \dfrac{2}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

9. Lý thuyết Cho (P) \(Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)\) và điểm M(x0; y0; z0) \(d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) II. Bài tập VD1: Cho (P) \(mx+2y+2z+3=0\) và M (1;2;3)
10. Với m = 1. Tính d(M; (P))
11. Tìm m để d(M;(P)) = 5 Giải \(d(M;(P))=\frac{\left | m+4+6+3 \right |}{\sqrt{m^2+2^2+2^2}}= \frac{\left | m+13 \right |}{\sqrt{m^2+8}}\)
12. \(m=1 \ \ . d(M,(P))=\frac{14}{\sqrt{9}}=\frac{14}{3}\)
13. \(d(M;(P))=5\Leftrightarrow \frac{\left | m+13 \right |}{\sqrt{m^2+8}}=5\) \(\Leftrightarrow \left | m+13 \right |=5.\sqrt{m^2+8}\) \(\Leftrightarrow m^2+26m+169=25(m^2+8)\) \(\Leftrightarrow 24m^2-26m-31=0\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} m=\frac{13-\sqrt{744}}{24}\\ \\ m=\frac{13+\sqrt{744}}{24} \end{matrix}\) VD2: Cho \(\begin{matrix} (P): x+2y+2z+3=0\\ (Q):x+2y+2z-5=0 \end{matrix}\)
14. Tính d((P), (Q))
15. Viết phương trình mặt phẳng (R) song song với (P), (Q) đồng thời cách đều (P) và (Q). Giải
16. \(N(x_0;y_0;z_0)\in (P)\) \(\Rightarrow x_0+2y_0+2z_0+3=0\) \(d(N;(Q))=\frac{\left | x_0+2y_0+2z_0-5 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} =\frac{\left | -3-5 \right |}{3}=\frac{8}{3}\) Nhận xét: \(\left.\begin{matrix} (P): Ax+By+Cz+D=0\\ (Q): Ax+By+Cz+D'=0 \end{matrix}\right\}d(P;Q)=\frac{\left | D-D' \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)b) \((R) //(P)\) nên R có dạng \(x+2y+2z+d=0 \, d\neq 3, d\neq -5\) \(d(R;Q)=\frac{\left | d-3 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left | d-3 \right |}{3}\) \(d(R;Q)=\frac{\left | d+5\right |}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left | d+5 \right |}{3}\) \(d(R;P)=d(R;Q)\Leftrightarrow \left | d+5 \right |=\left | d-3 \right |\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} d+5=d-3\\ d+5=-d+3 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 0=-8 (vo \ li)\\ d=-1 \end{matrix}\) Vậy (R): 2x + 2y +2z - 1 = 0 VD3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). Tính độ dài đường kẻ từ A của tứ diện. Giải
    \(\overrightarrow{BC}=(4;-6;2)\) \(\overrightarrow{BD}=(3;-6;4)\) \(\left [ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} -6 \ 2\\ -6 \ 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \ 4\\ 4 \ 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 \ -6\\ 3 \ -6 \end{vmatrix} \right )=(-12;-10;6)\) (BCD) nhận \(\left [ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD} \right ]=(-12;-10;6)\) hay \(\vec{n}=(-6;-5;3)\) làm 1 VTPT pt (BCD) \(-6(x-1)-5(y-6)+3(z-2)=0\) \(\Leftrightarrow -6x-5y+3z+30=0\) Độ dài đường cao AH là \(AH=d(A;(BCD))=\frac{\left | -30-5+9+30 \right |}{\sqrt{(-6)^2+(-5)^2+3^2}}= \frac{4}{\sqrt{70}}\) VD4: Viết phương trình (P) đi qua giao tuyến của 2 mp (R) x - 3y - 2 = 0, (Q) y + 5z - 1 = 0 và có khoảng cách từ A(1;-1;0) đến (P) bằng 1. Giải (P) đi qua giao tuyến của (R) và (Q) nên có phương trình dạng. \(m(x-3y-2)+n(y+5z-1)=0 \ (m^2+n^2\neq 0)\) \(\Leftrightarrow mx+(-3m+n)y+5nz-2m-n=0\) \(d(A;(P))=1\Leftrightarrow \frac{\left | m+3m-n-2m-n \right |}{\sqrt{m^2+(-3m+n)^2}+25n^2}=1\) \(\Leftrightarrow \left | 2m-2n \right |=\sqrt{m^2+9m^2-6mn+n^2+25n^2}\) \(\Leftrightarrow 4m^2+4n^2-8mn=10m^2-6mn+26n^2\) \(\Leftrightarrow 6m^2+2mn-22n^2=0\) \(\Leftrightarrow 3m^2+mn-11n^2=0 \ \ (1)\) Nếu n = 0 thì m = 0 (vô lý) Nếu \(n\neq 0\) chia 2 vế cho n2, ta có \(3\left ( \frac{m}{n} \right )^2+\frac{m}{n}-11=0\) \(\Delta =1-4.3(-11)=1+132=133\) \(\Bigg \lbrack \begin{matrix} \frac{m}{n}=\frac{-1-\sqrt{133}}{6}\\ \\ \frac{m}{n}=\frac{-1+\sqrt{133}}{6} \end{matrix}\) TH1: \(\frac{m}{n}=\frac{-1-\sqrt{133}}{6}\), chọn \(m=-1-\sqrt{133}, n=6\) pt (P) \((-1-\sqrt{133})x+(9+3\sqrt{133})y+30z-4+2\sqrt{133}=0\) TH2: \(\frac{m}{n}=\frac{-1+\sqrt{133}}{6}\), chọn \(m=-1+\sqrt{133}, n=6\) pt (P) \((-1+\sqrt{133})x+(9-3\sqrt{133})y+30z-4-2\sqrt{133}=0\)

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là gì?

Khoảng cách từ 1 điểm M đến một mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng Δ ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (h.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là gì?

Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là khoảng cách giữa hai điểm M và H (độ dài đoạn thẳng MH). Hay nói cách khác khoảng cách giữa điểm và đường thẳng chính là khoảng cách giữa điểm và hình chiếu của nó trên đường thẳng.