Bài tập về tính chất tia phân giác
|
§5. TÍNH CHẤT TIA PHẦN GIÁC CỦA MỘT GÓC A. Tóm tắt kiến thức Định lí 1. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. > => MA = MB (h.3.42) / M c B Hỉnh 3.42 xOz = zOy M e Oz MA 1 Ox ; MB 1 Oy Định lí 2 Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. B. Ví dụ giải toán Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác BCD vuông cân tại D. Chứng minh AD là tia phân giác BAC . Giải. (h.3.43) Hạ DI 1 AB; DH 1 AC. Ta có DI//AC nên DI 1DH. Hình 3.43 -Xét ABDI và ACDH có: ĩ = H = 90°, BD = DC (gt) Dị = D3 (cùng phụ với Dọ ) nên ABDI = ACDH suy ra DI - DH do đó AD là tia phân giác cùa BAC . Nhận xét Vì chưa có khoảng cách từ D đến AB và AC nên việc vẽ DI và DH là suy luận tự nhiên. Sai lầm có thể mắc là BD = CD thì kết luận ngay AD là tia phân giác của BAC . Sai lầm ở chỗ DB và DC không vuông góc với AB và AC. c. Hưỏng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Bài 31. Bài 32. Giải. M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy (hai khoảng cách đó bằng nhau vì đều là khoảng cách giữa hai cạnh song song cúa thước ). Vậy theo định lí 2, điểm M thuộc tia phàn giác của góc xOy và OM là tia phân giác của góc xOy. Giải, (h.3.44) Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài CBx và BCy. Kẻ KD1 Bx , KE 1 BC , KF 1 Cy. K thuộc tia phàn giác của góc CBx nên KD = KE (1). K thuộc tia phân giác của góc BCy nên KE = KF (2). Từ (1) và (2) suy ra KD = KF. Do đó K thuộc tia phân giác của góc A. Nhận xét. Muốn chứng minh điểm K thuộc tia phàn giác của góc A thì cẳn chứng minh K cách đều hai cạnh của góc A (KD = KF). Bài 33. Giải Ot và Ot' là các tia phân giác của hai góc kề bù xOy và xOy' nên tOt' = 90° . Chứng minh: xOt + xôt' = I xôy +1 xõy' = I (xôy + xOy') = 1.180° = 90° . Suy ra tót' = 90°. Nếu M thuộc tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Nếu M thuộc tia đối của tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox'.Oy' của góc x'Oy'. Vậy nếu M thuộc đường thẳng Ot thì M cách đều hai đường tháng xx' và yy'. Tương tự, nếu M thuộc đường thẳng Ot' thì M cách đều hai đường thẳng xx' và yy'. Xét điểm M cách đều hai đường thẳng xx' và yyf: Nêu M nằm trong góc xOy thì M thuộc tia Ot. Nếu M nằm trong góc x'Oy' thì M thuộc tia đối của tia Ot. Nếu M năm trong góc xOy' thì M thuộc tia Ot'. Nếu M nằm trong góc x'Oy thì M thuộc tia đối của tia Ot'. Khi M = 0 thì khoáng cách từ M đến xx' và đến yy' đều bằng 0. Tập hợp các điếm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx', yy' là hai đường thẳng Ot và Ot', đó là các đường phân giác của các gồc tạo bới hai đường thẳng xx', yy'. Bài 34. Giai, (h.3.45) AOBC = AODA (c.g.c) => BC = AD. A OBC = A ODA (câu a) Hình 3:45 Cj - Aj IA = IC IB = ID. c2 — A 2. AIAB = AICD (g.c.g): , c) A IOA - A IOC (c.c.c) => O| = o7 OI là tia phân giác cúa góc xOy. Bài 35. Giải, (h.3.46) Cách 1. Áp dụng bài 34 (SGK), dùng thước vẽ các điếm A, B, c, D, I (xem hình vẽ ở bài 34). Tia OI là tia phàn giác của góc xOy. Cách 2. Dùng thước vẽ được các điểm A Hình 3.46 trên Ox, B trên Oy sao cho OA = OB. Dùng thước vẽ được trung điểm c của AB. AAOC = ABOC (c.c.c) => AOC = BOC nên oc cũng là đường phân giác của góc o. D. Bài tạp luyện thêm Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường vuông góc với Ox kẻ từ A, cắt Oy tại c. Đường vuông góc với Oy kẻ từ B, cắt Ox tại D và cắt AC tại I. Đường vuông góc với Ox kẻ từ D, cắt Oy tại E. Đường vuông góc với Oy kẻ từ c, cắt Ox tại F và cắt DE tại K. Chứng minh ba điểm o. I, K thắng hàng. Cho tam giác ABC có góc A bằng 120°. Tia phán giác góc A cắt BC tại D, tia phân giác góc ADC cắt AC tại I. Gọi H, K là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, BC. Chứng minh IH = IK. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB không chứa điếm c, vẽ tia Ax. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay sao cho xAB = yAC. Kẻ BD vuông góc với Ax (D e Ax), ké CE vuông góc với Ay (E e Ay). Đường thắng BD và CE căt nhau tại K. Chứng minh rằng KA là tia phân giác của DKE. Cho tam giác ABC có A = 120°, đường phân giác AD. kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC chứng minh tam giác DIK đều. Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp số 1. (h.3.47) AOAC = AOBD (g.c.g) =>OD = OC. AOAI= AOBI (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => 1A = IB => I thuộc đường phân giác của xOy (1). AODK = AOCK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => KD = KC => K thuộc đường phân giác cua xOy (2). Từ (1) và (2) => I, K cùng thuộc đường phân giác của xOy =>O; I; K thẳng hàng. Nhận xét. Chúng ta có thêm một cách chứng minh những điểm thẳng hàng: Những điểm cùng nằm trên đường phân giác của một góc thì thắng hàng. 2. (h.3.48) Kẻ IE 1AD, ta có BAC = 120° => IAH = 60°, AD là tia phân giác BAC nên DAC = ị BAC = 60°. 2 Suy ra DAC - CAx, hay AC là tia phân giác của ADx nên IH = IE. DI là tia phàn giác của góc ADC nên IK = IE. Suy ra IH = IK. Nhận xét. Khi giải các bài toán về đường phân giác, bạn nên chú ý đến đường phân giác trong và ngoài của tam giác. AD là đường phân giác cua BAC => A, = = IbTc = 60° ; DI = DK. 1 - ? Tam giác AID có Âị = 60°; Ấĩò = 90° => D, = 30° Tam giác ADK có A ọ = 60°; AKD = 90° => D2 = 30° => IDK = DÌ + dỊ = 60° . Tam giác DIK có DI = DK: IDK = 60° =>tam giác DIK là tam giác đều.
LUYỆN TẬP VỀ TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC (CÓ ĐÁP ÁN) I. LÝ THUYẾT 1. Khái niệm tia phân giác Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau. 2. Tính chất của tia phân giác Nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì \(\widehat {xOz} = \widehat {yOz} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\)  3. Khái niệm đường phân giác Đường thẳng chứa tia phân giác gọi là đường phân giác. II. BÀI TẬP Bài 1. Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa bờ Ox, vẽ tia Ot sao cho ∠xOt =250 , ∠xOy= 500. a) Tia Ot có nằm giữa hai tia Ox và Oy không? b) So sánh ∠tOy và ∠xOt. c ) Tia Ot có là tia phângiác của ∠xOy không? Vì sao?
Giải: a) Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy (1) vì các tia Ot,Oy cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa Ox và ∠xOt < ∠xOy b) Tia Ot nằm giữa hai tia Ox,Oy nên: ∠xOt + ∠yOt = ∠xOy do đó 250+ ∠tOy = 500 suy ra : ∠tOy = 500– 250 =250 Vậy : ∠xOt = ∠tOy (2) c) từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của ∠xOy. Bài 2. a) Vẽ ∠xOy có số đo 1260 b) Vẽ tia phân giác của ∠xOy ở câu a. Giải: Hình vẽ hoàn chỉnh
chú ý rằng: ∠xOz = ∠zOy = ½. ∠xOy = 630. Bài 3. Khi nào ta kết luận được tia Ox là tia phângiác của ∠xOy? Trong những câu trả lời sau, em hãy chọn những câu đúng: a) ∠xOt = ∠yOt b) ∠xOt + ∠tOy = ∠xOy c) ∠xOt + ∠tOy = ∠xOy và ∠xOt = ∠yOt d) ∠xOt = ∠yOt = ½. ∠xOy Giải: Câu c) d) đúng. Bài 4. Vẽ hai góc kề bù xOy, yOx’, biết ∠xOy = 1300.Gọi Ot là tia phân giác của ∠xOy. Tính số đo ∠x’Ot.
Giải: Vì ∠xOy và ∠yOx’ là hai góc kề bù nên ∠xOy + ∠yOx = ∠xOx’ hay 130º + ∠yOx’ = 180º ⇒ ∠yOx’ = 180º – 130º ⇒ ∠yOx’ = 50º Vì Ot là tia phân giác của ∠xOy nên ∠xOt = ∠tOy = ∠xOy/2 = 130º/2 = 65º Vì tia Oy nằm giữa 2 tia Ot và Ox’ nên ∠tOy + yOx’ = tOx’ hay 65º + 50º = 115º Vậy ∠tOx’ = 115º Bài 5. Vẽ hai góc kề bù xOy và yOx’, biết ∠xOy = 1000 . Gọi Ot là tia phân giác của ∠xOy và Ot’ là tia phân giác của ∠x’Oy. Tính số đo các ∠x’Ot, xOt’, tOt’. Giải: Do ∠xOy kề và bù với ∠x’Oy ∠xOy + ∠x’Oy = 180º ∠x’Oy = 180º – ∠xOy ∠x’Oy = 180º – 100º ∠x’Oy = 80º Do Ot là tia phân giác của ∠xOy nên: ∠xOt = ∠tOy = 100º/2 = 50º Do Ot’ là phân giác của ∠x’Oy nên: ∠x’Ot’ = ∠t’Oy = 80º/2 = 40º Tính ∠x’Ot = ∠x’Oy + ∠yOt = 80º + 50º = 130º Tính ∠xOt’ = ∠xOy + ∠yOt’ = 100º + 40º = 140º Bài 6: Vẽ góc bẹt xOy. Vẽ tia.phângiác Om của góc đó. Vẽ tia phân giác Oa của∠xOm. Vẽ tia phân giác Ob của ∠mOy. Tính số đo ∠aOb.
Giải: Do Om là tia-phân-giác của góc bẹt ∠xOy = 180º ∠yOm = ∠xOm = 180º/2 = 90º Do Ob và Oa lần lượt là tia.phân.giác của ∠yOm = xOm = 90º/2 = 45º = ∠bOm = ∠aOm Tính ∠bOa ∠bOa = ∠bOm + ∠aOm = 45º + 45º = 90º Bài 7: Cho hai tia Oy,Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox. Biết: ∠xOy = 30º ; ∠xOz = 80º Vẽ tia phân giác Om của ∠xOy. Vẽ tia phân giác On của yOz. Tính ∠mOn.
Giải: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có: ∠ xOy = 30º < ∠xOz = 80º nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz. Vậy ∠xOy + ∠yOz = ∠xOz ∠yOz = ∠xOz – ∠xOy = 80º – 30º = 50º Vì tia Om là tia phân giác của ∠xOy nên ∠nOy = ∠zOy/2 = 25º ∠yOm = ∠xOy/2 = 15º Vì Om là tia phân giác của ∠xOy nên ∠nOy = ∠zOy/2 = 25º Vậy ∠nOm = ∠nOy + ∠yOm = 25º + 15º = 40º Bài 8: Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox. Biết rằng ∠xOy =30 º,∠xOz =120 º a) Tính số đo ∠yOz. b) Vẽ tia phân giác Om của ∠xOy, tia phân giác On của ∠xOz. Tính số đo ∠mOn Giải: a) Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz, từ đó tính được: b) Tia Om nằm giữa hai tia Ox,On, từ đó tính được: Bài 9: a) Vẽ góc (xOy) = 440 b) Vẽ tia phân giác Oz của góc ấy Hướng dẫn: Cách 1: Dùng thước đo góc Cách 2: Gấp giấy Lời giải:
Thực hiện theo hướng dẫn ta có hình vẽ bên Bài 10: a) Vẽ góc bẹt xOy. b) Vẽ tia Ot sao cho ∠(xOt) = 30o c) Vẽ tia Oz sao cho ∠(yOz) =30o (Ot và Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ xy) d) Vẽ tia phân giác Om của góc tOz; e) Vì sao tia Om cũng là tia phân giác của xOy? Lời giải: a, b, c, d Hình vẽ:
e) Vì ∠(xOt) và ∠(tOy) kề bù nên: ∠(xOt) +∠(tOy) = 180o suy ra: ∠(tOy) = 180o - ∠(xOt) = 180o – 30o = 150o vì tia Oz nằm giữa Oy và Ot nên ∠(yOt) = ∠(yOz) + ∠(zOt) suy ra: ∠(zOt) = ∠(yOt) - ∠(yOz) = 150o – 30o = 120o vì Om là tia phân giác của ∠(tOy) nên: ∠(tOm) = ∠(mOz) = ∠(tOz) /2 = 120/2 = 60o Vì tia Ot nằm giữa Ox và Om nên: ∠(xOm) = ∠(xOt) + ∠(tOm) = 30o + 60o = 90o Vì ∠(xOm) = 90o nên ∠(yOm) = 180o – 90o = 90o Do ∠(xOm) = ∠(yOm) = 90o nên Om là tia phân giác của ∠(xOy) Bài 11: a) Cắt hai góc vuông rồi đặt lên nhau như hình dưới b) Vì sao có ∠(xOz) = ∠(yOt) c) Vì sao tia phân giác của yOz cũng là tia phân giác của góc xOt?
Lời giải: a) Hình vẽ như hình trên b) Theo đề bài: ∠(xOy) = ∠(zOt) = 90o ta có: ∠(xOz) = ∠(xOy) - ∠(zOy) = 90o - ∠(tOy) (1) ∠(yOt) = ∠(zOt) - ∠(zOy) = 900 - ∠(tOy) (2) Từ (1), (2) suy ra: (xOz) = (yOt) c) Gọi Om là tia phân giác của ∠(zOy), ta có: ∠(zOm) = ∠(mOy) vì ∠(xOz) = ∠(yOt) nên (xOz) + ∠(zOm) = (yOt) + ∠(mOy) hay ∠(xOm) = ∠(yOt) Vậy Om là tia phân giác của (tOy) Bài 12: Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trong nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox sao cho ∠(xOy) = 80o, ∠(xOz) = 30o. Gọi Om là tia phân giác của góc yOz. Tính ∠(xOm)
Lời giải: Vì Oy và Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, và ∠(xOy) > ∠(xOz) nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox; Oy suy ra: ∠(xOy) = ∠(xOz) + ∠(zOy) ⇒∠(zOy) = ∠(xOy) - ∠(xOz) = 80o – 30o = 50o Vì Om là tia phân giác của (yOz) nên: ∠(zOm) = ∠(mOy) = ∠(yOz) /2 = 50/2 = 25o Vì Oz nằm giữa Ox và Om: nên ∠(xOm) = ∠(xOz) + ∠(zOm) Suy ra: ∠(xOm) = 30o + 25o = 55o Bài 13: Trong trò chơi bi-a, các đấu thủ thường áp dụng kinh nghiệm sau: Muốn đẩy quả cầu A vào điểm O (trên cạnh bàn) để khi bắn ra trúng quả cầu B (Hình bên trái) thì cần xác định điểm O sao cho tia Ot (tia vuông góc với mặt bàn tại O) phải là tia phân giác của góc AOB. Em hãy xem hình bên phải rồi dùng các dụng cụ đo (thước thẳng, êke, thước đo góc) kiểm tra xem quả cầu C sau khi đập vào cạnh bàn có đập trúng vào quả cầu D không?
Lời giải: Thực hành theo hướng dẫn, ta thấy quả cầu C sau khi đập vào cạnh bàn sẽ đập trúng vào quả cầu D Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây: >> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. |
