Bài toán về hoán vị tổ hợp chỉnh hợp năm 2024
|
Với cách giải các dạng toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp lớp 11. Mời các bạn đón xem: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp và cách giải các dạng bài tập 1. Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
- Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A, (gọi tắt là một hoán vị của A). - Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1. - Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử sắp xếp đúng bằng số phần tử trong nhóm (bằng n). - Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.
- Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1≤k≤n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A). - Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: Ank=n!(n−k)!. - Một số quy ước: 0!=1, An0=1, Ann=n! - Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử được sắp xếp là k: 0≤k≤n.
Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1≤k≤n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. - Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: Cnk=n!(n−k)!k!=Ankk!. - Tính chất: Cn0=Cnn=1Cnk=Cnn−k,(0≤k≤n)Cn+1k+1=Cnk+Cnk+1,(1≤k≤n) - Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: 0≤k≤n 2. Các dạng bài tập Dạng 1: Bài toán đếm số tự nhiên Ví dụ 1. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn
Lời giải
Chữ số hàng chục nghìn có 1 cách chọn (là chữ số 1) Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6! Vậy có 1.6! = 720 số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn.
Số các số có 7 chữ số khác nhau là 7! Ta lập số có 7 chữ số khác nhau có chữ số 2 ở hàng đơn vị Chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn (là chữ số 2) Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6! Số các số có 7 chữ số và chữ số 2 ở hàng đơn vị là: 1.6! Vậy có 7! – 6! = 4320 số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị. Ví dụ 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn
Lời giải
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) + Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần (Kể cả chữ số 0 đứng đầu) Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí để đặt số 3: có C103 cách chọn Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 7: có 7! cách chọn Do đó có C103.7! số (kể cả số 0 đứng đầu). + Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần và chữ số 0 đứng đầu Vị trí đầu tiên có 1 cách chọn (là chữ số 0) Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí trong 9 vị trí còn lại để đặt số 3: có C93 cách chọn Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 6: có 6! cách chọn. Do đó có C93.6! Vậy có C103.7!−C93.6!=544320 số có 10 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.
Vì abcde¯ là số chẵn nên e∈0;2;4;6 + Trường hợp 1: e = 0 Số cách chọn a, b, c, d trong 7 số còn lại là A74 Do đó có A74. + Trường hợp 2: e∈2;4;6 Chọn e: có 3 cách chọn Chọn a từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{e}: có 6 cách chọn Chọn b, c, d từ các số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{a, e}: có A63 Do đó có 3.6.A63 số Vậy có A74+3.6.A63=3000 số chẵn có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số trên.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Lập số có 6 chữ số khác nhau, chữ số 1 ở hàng đơn vị Vị trí (6) có 1 cách chọn (là chữ số 1) Vị trí (1) có 6 cách chọn (là các chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7) Bốn vị trí còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có A64 số Vậy có 1.6.A64=2160 số có 6 chữ số, trong đó chữ số 1 là hàng đơn vị.
Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 5 vị trí như hình dưới (1) (2) (3) (4) (5) Vị trí (1) có 6 cách chọn (là 1; 2 và 3; 4; 5; 6; 7) Các vị trí còn lại có là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có A64 Ở vị chí chứa số 2 và 3: có 2! cách sắp xếp chữ số 2 và 3. Vậy có 6.A64.2!=4230 số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau. Dạng 2: Bài toán xếp chỗ Phương pháp giải: * Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân * Chú ý: - Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B phải đứng cạnh nhau, ta bó (gộp) 2 phần tử làm 1, coi như chúng là 1 phần tử rồi sắp xếp. - Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B không đứng cạnh nhau, ta đếm phần bù (Tức là đếm 2 phần tử A và B đứng cạnh nhau). Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Có 7 học sinh nữ và 3 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để:
Lời giải
Rồi mang sắp xếp 2 “bó” ta được 2! cách xếp. Trong 7 bạn nữ: ta có 7! cách xếp Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp Vậy có 2! . 7! . 3! = 60480 cách xếp.
Rồi mang sắp xếp 7 bạn nữ và 1 “bó” ta được 8! cách xếp Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp Vậy có 8! . 3! = 241920 cách xếp.
Khi đó tạo ra 8 khoảng trống (là 6 khoảng trống giữa 2 bạn nữ và 2 khoảng trống ngoài cùng) Ta xếp 3 bạn nam vào 3 khoảng trống bất kì (mỗi bạn ở 1 khoảng trống): ta được A83. Vậy có 7!.A83=1693440 cách xếp. Ví dụ 2. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
Lời giải
Các vị trí ở giữa: có 4! cách xếp Vậy có 2! . 4! = 48 cách xếp sao cho A và F ở hai đầu ghế.
Rồi mang sắp xếp 4 người còn lại và 1 “bó” trên ghế dài: ta được 5! cách xếp Vậy có 2! . 5! = 240 cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.
Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau là 240 cách (câu c) Vậy có 6! – 240 = 480 cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau. Dạng 3: Bài toán chọn Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Một hộp chứ 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh, 9 viên bi đỏ. Lấy 4 viên bi từ hộp, có bao nhiêu cách lấy được:
Lời giải
Trường hợp 2: Lấy được 4 viên bi cùng màu xanh: C54 cách Trường hợp 3: Lấy được 4 viên bi cùng màu đỏ: C94 cách Vậy có C64+C54+C94=146 cách bi chọn 4 viên bi cùng màu.
Chọn được 2 viên bi xanh: có C52 cách Vậy có C62.C52=150 cách chọn 2 viên bi trắng và 2 viên bi xanh.
Số cách chọn 4 viên bi không có màu đỏ (Còn lại 6 + 5 = 11 viên bi không phải màu đỏ): có C114 cách Vậy có C204−C114=4515 cách chọn được ít nhất 1 viên màu đỏ.
Trường hợp 2: Chọn được 1 viên bi trắng, 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: có C61.C52.C91 cách Trường hợp 3: Chọn được 1 viên bi trắng, 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ: có C61.C51.C92 cách Vậy có C62.C51.C91+C61.C52.C91+C61.C51.C92=2295 cách chọn 4 viên bi có đủ ba màu. Ví dụ 2: Một lớp học có 40 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn
Lời giải
Chọn 2 bạn trong 37 bạn còn lại làm lớp phó: có C372 cách. Vậy có A403.C372 cách chọn. Dạng 4: Bài toán liên quan đến hình học Phương pháp giải: * Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân * Chú ý: - Đếm vectơ: Hai điểm đầu và cuối khác nhau (Tức là vectơ AB và vectơ BA tính 2 lần đếm khác nhau). - Đếm đoạn thẳng: Hai đầu mút có vai trò nhứ nhau (Tức là đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA chỉ tính 1 lần đếm) |
