1. Định nghĩa. Lý thuyết bất phương trình bậc nhất một ẩn – Bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Định nghĩa
Bất phương trình dạng ax + b < 0 [hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0] trong đó a và b là hai số đã cho, a# 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
a] Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.
b] Quy tắc nhân với một số
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
– Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
Quảng cáo– Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
3. Áp dụng
Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau:
Dạng: ax + b > 0 ax > -b
x > \[ \frac{-b}{a}\] nếu a > 0 hoặc x 0 là:
S1 = {x/x > \[ \frac{-b}{a}\],a > 0} hoặc S2 = {x/x 0 [*]. Nếu a > 0 thì bất phương trình [*] có các nghiệm x > −b hay bất phương trình có tập nghiệm là S. Nếu a < 0 thì bất phương trình [*] có các nghiệm x < − b hay bất phương trình có tập nghiệm là S. Các bất phương trình dạng ax + b 0 [hoặc về dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0].
BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a] 3x − 1 ≥ 0. b] 2x + 3 < 4x − 5. c] [x − 3][2x + 5] ≤ 2×2 + 4x − 7. Lời giải. a] 3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [1; +∞]. b] 2x + 3 < 4x − 5 ⇔ 2x − 4x < −5 − 3 ⇔ −2x 4. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [4; +∞]. c] [x − 3][2x + 5] ≤ 2×2 + 4x − 7 ⇔ 2×2 − x − 15 ≤ 2×2 + 4x − 7 ⇔ −5x ≤ 8 ⇔ x ≥ −8. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [8; +∞]. Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau: Ta có x2 + 1 > 0 với mọi x. Do đó bất phương trình đã cho tương đương: 3 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [−∞; 3]. Ta có: x2 + 2x+ 3 = [x+ 1]2 + 2 > 0 với mọi x ∈ R. Do đó bất phương trình đã cho tương đương: x2 + 3x − 2 < x2 − x − 2 ⇔ 4x < 0 ⇔ x 1, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: 3x − 8 ≤ 0 ⇔ x ≤ 8. Kết hợp điều kiện x > 1 ta được: 1 0 ⇔ x < 2. Với x < 2, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: 4x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3. Kết hợp điều kiện x < 2 ta được: −3 ≤ x < 2. Bài 5. Giải các bất phương trình sau: Lời giải. a] Điều kiện: 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Rõ ràng x = 3 là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Với x < 3 bất phương trình đã cho trở thành: 3x − 6 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2. Tập nghiệm của bất phương trình là S = [−∞; 2] ∪ {3}. b] Điều kiện: 6x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1. Với x = −1 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Bất phương trình chứa một ẩn rất quen thuộc đối với chương trình học của các bạn học sinh, sinh viên. Không chỉ trong Toán học, bất phương trình này còn rất cần thiết đối với nhiều môn học khác. Thông qua bài viết sau đây của Toppy, các bạn đọc sẽ được tìm hiểu về khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn và tập nghiệm của bất phương trình.
Thế nào là bất phương trình một ẩn?
Bất phương trình là gì?
Trước tiên, hãy cùng tìm hiểu thế nào là bất phương trình nhé. Bất phương trình thường được định nghĩa dựa trên khái niệm mệnh đề một biến [hay còn gọi là hàm mệnh đề].
Bất phương trình thường bao gồm những loại sau đây:
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn [trong đó, bất phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 là dạng toán đã xuất hiện trong chương trình học từ rất sớm].
- Bất phương trình bậc hai một ẩn.
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình một ẩn là gì?
Khái niệm
Trước khi tìm hiểu về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, các bạn cần nắm rõ khái niệm về bất phương trình một ẩn.
Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề so sánh giữa 2 hàm số f[x] và hàm số g[x] trên một trường số thực, là bất phương trình lớp 8 cơ bản trong chương trình học. Việc giải tốt toán 8 bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ tạo nên những tiền đề quan trọng trong việc tìm hiểu các bài toán về bất phương trình phức tạp hơn. Bất phương trình có chứa một ẩn thường được thể hiện dưới 1 trong các dạng sau:
- f[x] < g [x]
- f[x] > g[x]
- f[x] ≤ g[x]
- f[x] ≥ g[x]
Bất phương trình một ẩn có 4 dạng cơ bản
Cách giải
Để tìm tập xác định của bất phương trình có một ẩn, ta cần phải tìm điểm giao giữa 2 tập xác định của 2 hàm số f[x] và g[x]. Tất cả các bất phương trình một ẩn đều có thể được chuyển về dạng bất phương trình tương đương [điển hình như f[x] > 0, f[x] ≥ 0].
Trong bất phương trình 1 ẩn, biến x sẽ được gọi là ẩn. Như vậy, khi nhìn vào một bất phương trình f[x] > 0, với giá trị x = a và f[a] > 0 là một bất đẳng thức đúng thì a sẽ có tên gọi chính xác là nghiệm của bất phương trình có một ẩn. Việc giải bất phương trình lớp 8 thành thạo sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh trong việc giải các loại bất phương trình phức tạp hơn.
Như Toppy đã đề cập, bạn có thể chuyển bất phương trình có chứa một ẩn về dạng f[x] > 0 hoặc f[x] ≥ 0. Khi phân loại bất phương trình có một ẩn nghĩa là phân loại bất phương trình theo hàm f[x].
- Những bất phương trình vô tỷ – bất phương trình khai căn.
- Bất phương trình mũ là những bất phương trình mà trên lũy thừa có chứa biến hay còn được gọi là bất phương trình có hàm mũ.
- Bất phương trình logarit là những bất phương trình có chứa biến bên trong dấu logarit.
- Bất phương trình bậc k là những bất phương trình chứa f[x] là một đa thức bậc k.
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một loại thuộc các phương trình 1 ẩn, bất phương trình bậc nhất có một ẩn thường được viết dưới dạng sau đây:
- ax + b < 0
- ax + b > 0
- ax + b 0
- ax + b 0
Trong dạng bất phương trình này, a và b là 2 số đã được cho trước và a ≠ 0.
Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một dạng nhỏ của bất phương trình 1 ẩn
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Nắm được cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn là vô cùng quan trọng, giúp các bạn có thể tiếp cận được nhiều dạng bất phương trình phức tạp hơn từ những kiến thức nền tảng.
Những quy tắc khi biến đổi bất phương trình
Để biến đổi BPT bậc nhất 1 ẩn, bạn cần phải thực hiện theo 2 quy tắc quan trọng là quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số.
Quy tắc chuyển vế
Quy tắc chuyển vế được phát biểu rất đơn giản, khi bạn chuyển một hạng tử trong bất phương trình từ một vế sang vế còn lại, bạn cần phải đổi dấu của hạng tử đó.
Quy tắc nhân với một số
Quy tắc nhân với một số nghĩa là bạn nhân 2 vế của bất phương trình bậc nhất có một ẩn với cùng một số khác 0. Khi đó, bạn cần phải.
- Giữ nguyên chiều của bất phương trình như cũ nếu số được nhân là số dương.
- Đổi chiều của bất phương trình sang chiều ngược lại nếu số được nhân là số âm.
Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Áp dụng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Sau khi đã áp dụng 2 quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số vào các vế của bất phương trình, các bạn có thể bắt đầu giải BPT bậc nhất 1 ẩn như sau: Bất phương trình có dạng ax + b > 0 ⇒ ax > -b.
- Nếu a > 0 thì bất phương trình sẽ có nghiệm là x > -b/a.
- Nếu a < 0 thì bất phương trình sẽ có nghiệm là x < b/a.
Như vậy, bài viết trên đã tổng hợp tất cả những kiến thức liên quan đến bất phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn cũng như hướng dẫn giải những dạng bất phương trình. Để tìm hiểu thêm về những thông tin hữu ích khác, hãy truy cập ngay vào trang web //toppy.vn/ nhé.
Xem thêm: