Các bài toán xét tính liên tục của hàm số năm 2024

Bài viết hướng dẫn phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu giới hạn xuất bản trên TOANMATH.com.

Phương pháp: Để xét tính liên tục của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x = x_0$, ta thực hiện theo các bước sau: • Cách 1: + Tính $f\left( {{x_0}} \right).$ + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).$ + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 .$ • Cách 2: + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right).$ + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right).$ + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0}.$

Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm $x = – 2.$

1. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}.$
2. $g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\:với\:x \ne – 2\\ – 4\:với\:x = – 2 \end{array} \right.$

1. Vì $f\left( { – 2} \right)$ không xác định, suy ra hàm số không liên tục tại $x = – 2.$
2. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} g\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {x – 2} \right)$ $ = – 4 = f\left( { – 2} \right).$ Do đó hàm số liên tục tại $x = – 2.$

Ví dụ 2. Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3 – \sqrt {{x^2} + 5} }}{{{x^2} – 4}} \: với \:x \ne \pm 2\\ – \frac{1}{6}\:với\:x = 2 \end{array} \right.$

1. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).$
2. Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x = 2$; $x = – 2.$

1. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3 – \sqrt {{x^2} + 5} }}{{{x^2} – 4}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{9 – {x^2} – 5}}{{\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {3 + \sqrt {{x^2} + 5} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ – 1}}{{3 + \sqrt {{x^2} + 5} }}$ $ = – \frac{1}{6}.$
2. Từ câu a suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).$ Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x = 2.$ Hàm số đã cho không xác định tại $x = – 2.$ do đó hàm số không liên tục tại $x = – 2.$

Ví dụ 3. Xét tính liên tục tại giá trị ${x_0}$ của các hàm số sau:

1. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}\:với\:x \ne 2\\ 1\:với\:x = 2 \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 2$ và tại ${x_0} = 4.$
2. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}}\:với\:x \ne 1\\ \frac{1}{4}\:với\:x = 1 \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 1.$
3. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 – \sqrt {\cos x} }}{{{x^2}}}\:với\:x \ne 0\\ \frac{1}{4}\:với\:x = 0 \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 0$ và tại ${x_0} = \frac{\pi }{3}.$
4. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}\:với\:x \ne 2\\ 1\:với\:x = 2 \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 2$ và tại ${x_0} = 5.$
5. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x – 5}}{{\sqrt {2x – 1} – 3}}\:với\:x > 5\\ {\left( {x – 5} \right)^2} + 3\:với\:x \le 5 \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 5$, tại ${x_0} = 6$ và tại ${x_0} = 4.$
6. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {2x + 3} – 1}}{{x + 1}}\:với\:x > – 1\\ \frac{{\sqrt {3 – x} }}{2}\:với\:x \le – 1 \end{array} \right.$ tại ${x_0} = – 1.$
7. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}\:với\:x > 1\\ \frac{1}{2}\:với\:x = 1\\ x – \frac{3}{2}\:với\:x < 1 \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 1.$ [ads]
8. • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 2:$ Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 2 \right) = 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x – 1) = 1.$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 2.$ • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 4:$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = \frac{{{4^2} – 3.4 + 2}}{{4 – 2}}$ $ = 3 = f\left( 4 \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 4.$
9. Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{4}.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 – 4}}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}}$ $ = \frac{1}{4}.$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại $x = 1.$
10. • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 0:$ Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 0 \right) = \frac{1}{4}.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \sqrt {\cos x} }}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right)^2}\frac{1}{{1 + \sqrt {\cos x} }}$ $ = \frac{1}{4}.$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 0.$ • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = \frac{\pi }{3}:$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{1 – \sqrt {\cos x} }}{{{x^2}}}$ $ = \frac{{1 – \sqrt {\cos \frac{\pi }{3}} }}{{{{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}^2}}}$ $ = f\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = \frac{\pi }{3}.$
11. • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 2:$ Ta có: $f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( { – {x^2} + 3x – 1} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 1}}$ $ = 1.$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 2.$ • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 5:$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right)$ $ = \frac{{2 – 7.5 + {{5.5}^2} – {5^3}}}{{{5^2} – 3.5 + 2}}$ $ = f\left( 5 \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 5.$
12. • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 5:$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{x – 5}}{{\sqrt {2x – 1} – 3}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{{2x – 1 – 9}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{{2x – 10}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{{2\left( {x – 5} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{2}$ $ = \frac{{\sqrt {2.5 – 1} + 3}}{2}$ $ = 3.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} \left[ {{{\left( {x – 5} \right)}^{2} + 3} \right]$ $ = 0 + 3 = 3$ $ = f\left( 5 \right).$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5} + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} f\left( x \right)$ $ = f\left( 5 \right)$, suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 5.$ • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 6.$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{x – 5}}{{\sqrt {2x – 1} – 3}}$ $ = \frac{{6 – 5}}{{\sqrt {2.6 – 1} – 3}}$ $ = \frac{1}{{\sqrt {11} – 3}}$ $ = f\left( 6 \right).$ Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 6.$ • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 4.$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left[ {{{\left( {x – 5} \right)}^2} + 3} \right]$ $ = {\left( {4 – 5} \right)^2} + 3$ $ = 4 = f\left( 4 \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 4.$
13. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{\sqrt {2x + 3} – 1}}{{x + 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2x + 3 – 1}}{{\left( {\sqrt {2x + 3} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x + 3} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{2}{{\sqrt {2x + 3} + 1}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt {2.\left( { – 1} \right) + 3} + 1}}$ $ = 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{{\sqrt {3 – x} }}{2}$ $ = \frac{{\sqrt {3 – \left( { – 1} \right)} }}{2}$ $ = 1.$ $f\left( { – 1} \right) = \frac{{\sqrt {3 – ( – 1)} }}{2} = 1.$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right)$ $ = f\left( { – 1} \right)$, suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = – 1.$
14. Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 2}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{1 – 2}}{{1 + 1}}$ $ = – \frac{1}{2}.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {x – \frac{3}{2}} \right)$ $ = 1 – \frac{3}{2}$ $ = – \frac{1}{2}.$ Vì $f\left( 1 \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right)$, suy ra hàm số không liên tục tại ${x_0} = 1.$

Ví dụ 4. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}\:với\:x \ne 2\\ a\:với\:x = 2 \end{array} \right.$. Với giá trị nào của $a$ thì hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 2?$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x – 1} \right)$ $ = 1.$ Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ $ \Leftrightarrow a = 1.$ Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi $a = 1.$

Ví dụ 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left| {2{x^2} – 7x + 6} \right|}}{{x – 2}}\:khi \:x < 2\\ {\rm{a + }}\frac{{1 – x}}{{2 + x}}\:khi\:x \ge 2 \end{array} \right. .$ Xác định $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 2.$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right)$ $ = \frac{{\left| {2{x^2} – 7x + 6} \right|}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {\left( {x – 2} \right)\left( {2x – 3} \right)} \right|}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left( {2 – x} \right)\left( {2x – 3} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {3 – 2x} \right)$ $ = – 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{\rm{a + }}\frac{{1 – x}}{{2 + x}}} \right)$ $ = a – \frac{1}{4} = f\left( 2 \right).$ Hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$ $ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ $ = f\left( 2 \right)$ $ \Leftrightarrow a – \frac{1}{4}$ $ = – 1$ $ \Leftrightarrow a = – \frac{3}{4}.$

Ví dụ 6. Cho các hàm số $f(x)$ sau đây. Có thể định nghĩa $f\left( 0 \right)$ để hàm số $f\left( x \right)$ trở thành hàm liên tục tại $x = 0$ được không?

1. $f\left( x \right) = \frac{{7{x^2} – 5x}}{{12x}}$ với $x \ne 0.$
2. $f\left( x \right) = \frac{{3x}}{{\sqrt {x + 4} – 2}}$ với $x \ne 0.$
3. $f\left( x \right) = \frac{3}{{2x}}$ với $x \ne 0.$
4. $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 2} – \sqrt {2 – x} }}{{3x}}$ với $x \ne 0.$

1. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {7x – 5} \right)}}{{12x}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x – 5}}{{12}}$ $ = – \frac{5}{{12}}.$ Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).$ Vậy nếu bổ sung $f\left( 0 \right) = – \frac{5}{{12}}$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$
2. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{\sqrt {x + 4} – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}{{x + 4 – 4}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)$ $ = 12.$ Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).$ Vậy nếu bổ sung $f\left( 0 \right) = 12$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$
3. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{3}{{2x}} = + \infty .$ Hàm số không có giới hạn hữu hạn tại $x = 0$, do đó hàm không thể liên tục tại $x = 0.$
4. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 2 – 2 + x}}{{3x\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}}$ $ = \frac{2}{{6\sqrt 2 }}$ $ = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}.$ Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).$ Vậy nếu bổ sung $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$

Tính liên tục của hàm số là gì?

Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là hàm gián đoạn.

Hàm số bị gián đoạn khi nào?

Ngược lại, nếu hàm số f(x0) f ( x 0 ) không liên tục tại x0 thì khi đó x0 gọi là điểm gián đoạn của f(x).

Hàm số liên tục tại x0 khi nào?

Hàm số liên tục tại một điểm Cho một hàm số y = f(x) được xác định trên một khoảng (a;b) và x0 thuộc (a;b). Khi đó hàm số f(x) sẽ liên tục tại x0 khi: Lim[x→x0] f(x) = f(x0). Khi hàm số không liên tục tại điểm x0 thì thể gọi là hàm số đang gián đoạn tại x0.

Hàm số cấp là gì?

Trong toán học, một hàm số sơ cấp là một hàm của một biến số và là tổ hợp của một số hữu hạn các phép toán số học (+ – × ÷), hàm mũ, logarit, hằng số và các nghiệm của phương trình đại số (tổng quát cho căn bậc n).