Các chuyên đề toán 10 trần sĩ tùng năm 2024
- 1. – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. BẤT ĐẲNG THỨC 1. Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > 0 n nguyên dương Nội dung a0 a< b a 0, "x Î R í- ý î 2a þ a.f[x] > 0, "x Î [–∞; x1] È [x2; +∞] a.f[x] < 0, "x Î [x1; x2] ìa > 0 Nhận xét: · ax 2 + bx + c > 0, "x Î R Û í îD < 0 ìa < 0 · ax 2 + bx + c < 0, "x Î R Û í îD < 0 2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c > 0 [hoặc ³ 0; < 0; £ 0] Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau: a] 3 x 2 - 2 x + 1 b] - x 2 + 4 x + 5 c] -4 x 2 + 12 x - 9 d] 3 x 2 - 2 x - 8 e] - x 2 + 2 x - 1 f] 2 x 2 - 7 x + 5 g] [3 x 2 - 10 x + 3][4 x - 5] h] [3 x 2 - 4 x ][2 x 2 - x - 1] i] Bài 2. Giải các bất phương trình sau: [3 x 2 - x ][3 - x 2 ] 4x2 + x - 3 a] 2 x 2 - 5 x + 2 < 0 b] -5 x 2 + 4 x + 12 < 0 c] 16 x 2 + 40 x + 25 > 0 d] -2 x 2 + 3 x - 7 ³ 0 e] 3 x 2 - 4 x + 4 ³ 0 f] x 2 - x - 6 £ 0 g] -3 x 2 - x + 4 >0 h] 4 x2 + 3x - 1 x2 + 3x + 5 x2 + 5x + 7 Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau: >0 i] 5x 2 + 3 x - 8 x2 - 7x + 6 0 b] [1 + m] x 2 - 2 mx + 2 m £ 0 c] mx 2 - 2 x + 4 > 0 HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a và D. – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT. Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau: ì2 x 2 + 9 x + 7 > 0 ì2 x 2 + x - 6 > 0 ì-2 x 2 - 5 x + 4 < 0 ï ï ï a] í 2 b] í 2 c] í 2 ïx + x - 6 < 0 ï3 x - 10 x + 3 ³ 0 ï- x - 3 x + 10 > 0 î î î 2 ìx + 4x + 3 ³ 0 ï ì- x 2 + 4 x - 7 < 0 ì x2 + x + 5 < 0 ï ï d] í2 x 2 - x - 10 £ 0 e] í 2 f] í 2 ï2 x 2 - 5 x + 3 > 0 ï ïx - 6x + 1 > 0 îx - 2x -1 ³ 0 î î g] -4 £ x2 - 2 x - 7 x2 + 1 £1 1 x2 - 2x - 2 h] £ £1 13 x 2 - 5 x + 7 Trang 45 i] -1 < 10 x 2 - 3 x - 2 - x2 + 3x - 2 0 b] x 2 + [m + 1] x + 2 m + 7 > 0 c] 2 x 2 + [m - 2] x - m + 4 > 0 d] mx 2 + [m - 1] x + m - 1 < 0 e] [m - 1] x 2 - 2[m + 1] x + 3[m - 2] > 0 f] 3[m + 6] x 2 - 3[m + 3] x + 2m - 3 > 3 Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a] [m + 2] x 2 - 2[m - 1] x + 4 < 0 b] [m - 3] x 2 + [m + 2] x - 4 > 0 c] [m 2 + 2 m - 3] x 2 + 2[m - 1] x + 1 < 0 d] mx 2 + 2[m - 1] x + 4 ³ 0 e] [3 - m ] x 2 - 2[2m - 5] x - 2m + 5 > 0 f] mx 2 - 4[m + 1] x + m - 5 < 0 Bài 4. a] VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. éì f [ x ] ³ 0 C1 ì g[ x ] ³ 0 C2 ê í f [ x ] = g[ x ] ï · Dạng 1: f [ x ] = g[ x ] Û í é f [ x ] = g[ x ] Û ê î ï ê f [ x ] = - g[ x ] ê ì f [ x ] < 0 îë ê í f [ x ] = - g[ x ] ëî é f [ x ] = g[ x ] · Dạng 2: f [ x ] = g[ x ] Û ê ë f [ x ] = - g[ x ] ì g[ x ] > 0 · Dạng 3: f [ x ] < g[ x ] Û í î- g[ x ] < f [ x ] < g[ x ] é ì g[ x ] < 0 ê í f [ x ] coù nghóa êî · Dạng 4: f [ x ] > g[ x ] Û ê ì g[ x ] ³ 0 ï ê í é f [ x ] < - g[ x ] ê ï ê f [ x ] > g[ x ] ëîë Chú ý: · A = A Û A³0; A = -A Û A £ 0 · Với B > 0 ta có: A < B Û -B < A < B ; · A + B = A + B Û AB ³ 0 ; Trang 46 é A < -B A >BÛê . ëA > B A - B = A + B Û AB £ 0
- 18. đẳng thức – Bất phương trình 2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn. ì ï g[ x ] ³ 0 · Dạng 1: f [ x ] = g[ x ] Û í 2 ï f [ x ] = [ g[ x ]] î ì f [ x ] ³ 0 [hoaëc g[ x ] ³ 0] · Dạng 2: f [ x ] = g[ x ] Û í î f [ x ] = g[ x ] ìt = f [ x ], t ³ 0 ï · Dạng 3: a. f [ x ] + b. f [ x ] + c = 0 Û í 2 ïat + bt + c = 0 î ìu = f [ x ] ï f [ x ] ± g[ x ] = h[ x ] . Đặt í ; u, v ³ 0 đưa về hệ u, v. ïv = g[ x ] î · Dạng 4: ì f [ x] ³ 0 f [ x ] < g[ x ] Û ï g[ x ] > 0 í ï f [ x ] < [ g[ x ]]2 î é ì g[ x ] < 0 êí f [ x] ³ 0 î f [ x ] > g[ x ] Û ê ì g[ x ] ³ 0 êï ê í f [ x ] > [ g[ x ]]2 î ëï · Dạng 5: · Dạng 6: Bài 1. Giải các phương trình sau: a] x 2 - 5 x + 4 = x 2 + 6 x + 5 b] x 2 - 1 = x 2 - 2 x + 8 c] 2 - 3 x 2 - 6 - x 2 = 0 d] 2 x - x - 3 = 3 e] x 2 - 1 = 1 - x f] x2 - 1 + x + 1 =2 x [ x - 2] Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a] 2 x 2 - 5 x - 3 < 0 b] x - 8 > x 2 + 3 x - 4 c] x 2 - 1 - 2 x < 0 d] x 2 + 4 x + 3 > x 2 - 4 x - 5 e] x - 3 - x + 1 < 2 f] x 2 - 3 x + 2 + x 2 > 2 x x2 - 4x 2x - 5 +1 > 0 x -3 x-2 £1 h] a] 2x - 3 = x - 3 b] 5 x + 10 = 8 - x c] x - 2 x - 5 = 4 d] x2 + 2 x + 4 = 2 - x e] 3x 2 - 9 x + 1 = x - 2 f] g] 3x + 7 - x + 1 = 2 h] x2 + 9 - x 2 - 7 = 2 i] g] x2 + x + 2 Bài 3. Giải các phương trình sau: i] x2 - 5x + 6 ³3 3x 2 - 9 x + 1 = x - 2 21 + x + 21 - x 21 + x - 21 - x = 21 x Bài 4. Giải các phương trình sau: [nâng luỹ thừa] a] 3 x + 5 + 3 x + 6 = 3 2 x + 11 b] 3 x + 1 + 3 3 x + 1 = 3 x - 1 c] 3 1 + x + 3 1 - x = 2 x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau: [biến đổi biểu thức dưới căn] d] 3 a] x - 2 + 2x - 5 + x + 2 + 3 2x - 5 = 7 2 b] x + 5 - 4 x +1 + x + 2 - 2 x +1 = 1 Trang 47
- 19. – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng 2x - 2 2x -1 - 2 2x + 3 - 4 2x -1 + 3 2x + 8 - 6 2x -1 = 4 Bài 6. Giải các phương trình sau: [đặt ẩn phụ] c] a] x 2 - 6 x + 9 = 4 x 2 - 6 x + 6 b] [ x + 4][ x + 1] - 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 c] [ x - 3]2 + 3 x - 22 = x 2 - 3 x + 7 d] [ x + 1][ x + 2] = x 2 + 3 x - 4 Bài 7. Giải các phương trình sau: [đặt hai ẩn phụ] 3x 2 + 5x + 8 - 3 x2 + 5x + 1 = 1 a] c] e] 3 4 b] 9 - x +1 + 3 7 + x +1 = 4 d] 4 47 - 2 x + 35 + 2 x = 4 f] 3 5 x + 7 - 3 5 x - 13 = 1 3 24 + x - 3 5 + x = 1 x 2 + 4356 + x - x x 2 + 4356 - x 2 = 5 x Bài 8. Giải các bất phương trình sau: a] x 2 + x - 12 < 8 - x b] x 2 - x - 12 < 7 - x c] - x 2 - 4 x + 21 < x + 3 d] x 2 - 3 x - 10 > x - 2 e] 3 x 2 + 13 x + 4 ³ x - 2 f] 2x + 6x2 +1 > x +1 x + 3 - 7 - x > 2x - 8 h] Bài 9. Giải các bất phương trình sau: 2 - x > 7 - x - -3 - 2 x i] g] a] [ x - 3][8 - x ] + 26 > - x 2 + 11x b] [ x + 5][ x - 2] + 3 x [ x + 3] > 0 c] [ x + 1][ x + 4] < 5 x 2 + 5 x + 28 Bài 10. Giải các bất phương trình sau: a] 2x + 3 + x + 2 £ 1 d] b] c] [ x + 3] x 2 - 4 £ x 2 - 9 -2 x 2 - 15 x + 17 ³0 x +3 d] x2 - 4 x £2 3- x 3x 2 + 5x + 7 - 3x 2 + 5x + 2 ³ 1 - x2 + x + 6 - x2 + x + 6 ³ 2x + 5 x+4 Bài 11. Giải các bất phương trình sau: 3 a] x + 2 £ x 2 + 8 Bài 12. Giải các phương trình sau: a] b] 3 3 2 x2 + 1 ³ 3x 2 - 1 Trang 48 c] 3 x +1 > x - 3
- 20. đẳng thức – Bất phương trình BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a] a3 + b3 + c 3 ³ a + b + c , với a, b, c > 0 và xyz = 1. a+b+c a+b+c a+b+c b] + + ³ 9 , với a, b, c > 0. a b c æ1 1 1ö 1 1 1 c] + + ³ 2 ç + + ÷ , với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi. p-a p-b p-c èa b cø d] a b - 1 + b a - 1 £ ab , với a ³ 1, b ³ 1. 3 HD: a] Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + c3 ³ 3 a3b3c3 = 3 Þ 2[a3 + b3 + c3 ] ³ 6 [1] 3 Bài 2. a] b] c] a3 + 1 + 1 ³ 3 a3 Þ a3 + 2 ³ 3a [2]. Tương tự: b3 + 2 ³ 3b [3], c3 + 2 ³ 3c [4]. Cộng các BĐT [1], [2], [3], [4] vế theo vế ta được đpcm. æb aö æb cö æc aö b] BĐT Û ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ ³ 6 . Dễ dàng chứng minh. èa bø è c bø èa cø 1 1 4 1 1 4 4 c] Áp dụng BĐT: + ³ , ta được: + ³ = . x y x+y p-a p-b p-a+ p-b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự: + ³ ; + ³ . Cộng các BĐT Þ đpcm. p-b p-c a p-c p-a b a + ab - a ab = . d] Áp dụng BĐT Cô–si: a b - 1 = a . ab - a £ 2 2 ab Tương tự: b a - 1 £ . Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra Û a = b = 2. 2 Tìm GTNN của các biểu thức sau: 1 A= x+ , với x > 1. x -1 4 1 5 B= + , với x, y > 0 và x + y = . x 4y 4 1 1 C = a + b + + , với a, b > 0 và a + b £ 1 . a b d] D = a3 + b3 + c3 , với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3 . 1 HD: a] Áp dụng BĐT Cô–si: A = [ x - 1] + +1 ³ 2 +1 = 3. x -1 Dấu "=" xảy ra Û x = 2. Vậy minA = 3. 4 1 4 1 b] B = + 4 x + + 4 y - 5 ³ 2 .4 x + 2 .4 y - 5 = 5 . x 4y x 4y 1 . Vậy minB = 5. 4 1 1 4 4 1 3 3 c] Ta có + ³ Þ B ³ a+b+ = a+b+ + ³ 2+ ³ 5. a b a+b a+b a+b a+b a+b 1 Dấu "=" xảy ra Û a = b = . Vậy minC = 5. 2 Dấu "=" xảy ra Û x = 1; y = d] Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + 1 ³ 3ab , b3 + c3 + 1 ³ 3bc , c3 + a3 + 1 ³ 3ca . Þ 2[a3 + b3 + c3 ] + 3 ³ 3[ab + bc + ca] = 9 Þ a3 + b3 + c3 ³ 3 . Trang 49
- 21. – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1. Vậy minD = 3. Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau: a] A = a + 1 + b + 1 , với a, b ³ –1 và a + b = 1 . 1 b] B = x 2 [1 - 2 x ] , với 0 < x < . 2 1 c] C = [ x + 1][1 - 2 x ] , với -1 < x < . 2 HD: a] Áp dụng BĐT [B] cho 4 số 1,1, a + 1, b + 1 ta được: A = 1. a + 1 + 1. b + 1 £ [1 + 1][a + 1 + b + 1] = 6 . Dấu "=" xảy ra Û a = b = Þ maxA = 6. 3 æ x + x +1- 2x ö 1 . b] Áp dụng BĐT Cô–si: B = x. x [1 - 2 x ] £ ç ÷ = è 3 ø 27 1 1 . Vậy maxB = . 3 27 2 1 1 æ 2x + 2 +1- 2x ö 9 c] Áp dụng BĐT Cô–si: C = [2 x + 2][1 - 2 x ] £ ç ÷ = . 2 2è 2 ø 8 1 9 Dấu "=" xảy ra Û x = - . Vậy maxC = . 4 8 Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm: 2 ì ì 2 a] í x + 4m £ 2 mx + 1 b] í x - 3 x - 4 £ 0 î3 x + 2 > 2 x - 1 î[m - 1] x - 2 ³ 0 ì ì7 x - 2 ³ -4 x + 19 c] í d] í 2 x + 1 > x - 2 2 x - 3m + 2 < 0 î îm + x > 2 Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm: 2 ì ì 2 b] í x + 10 x + 16 £ 0 a] ímx + 9 < 3 x + m î4 x + 1 < - x + 6 îmx > 3m + 1 Bài 6. Giải các bất phương trình sau: 1 x2 - 5x + 6 x + 1 b] ³ x x2 - 6 x - 7 x - 3 x2 + 5x + 6 2 1 2x -1 2 1 1 c] ³ d] + £0 x x -1 x +1 x2 - x + 1 x + 1 x3 + 1 Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a] 2x - 5 < a] [m - 1] x 2 - 2[m + 3] x - m + 2 = 0 b] [m - 1] x 2 + 2[m - 3] x + m + 3 = 0 Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm: a] [3m + 1] x 2 - [3m + 1] x + m + 4 b] [m + 1] x 2 - 2[m - 1] x + 3m - 3 Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm: a] [m - 4] x 2 + [m + 1] x + 2m - 1 b] [m 2 + 4 m - 5] x 2 - 2[m - 1] x + 2 Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: a] x 2 - 8 x + 20 mx 2 + 2[m + 1] x + 9m + 4 0 1 . 2
- 22. đẳng thức – Bất phương trình x 2 + mx - 1 x 2 - 5 x + 9 h] 2 x + 1 < x - 2 + 3 x + 1 b] 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 [2 x + 3][ x + 1] - 16 c] x + 4 - 1- x = 1- 2x d] x + 1 + 4 - x + [ x + 1][4 - x ] = 5 e] 4x -1 + 4x2 -1 = 1 f] 3x - 2 + x - 1 = 4 x - 9 + 2 3 x2 - 5x + 2 g] [ x + 5][2 - x ] = 3 x 2 + 3 x h] x [ x - 4] - x 2 + 4 x + [ x - 2]2 = 2 i] x 2 + x 2 + 11 = 31 k] Bài 16. Giải các bất phương trình sau a] d] - x 2 - 8 x - 12 > x + 4 3[4 x 2 - 9] 2 3x - 3 £ 2x + 3 b] x + 9 - x = - x2 + 9 x + 9 5 x 2 + 61x < 4 x + 2 e] [ x - 3] x 2 + 4 £ x 2 - 9 Bài 17. a] Trang 51 2 - x + 4x - 3 ³2 x 9x2 - 4 f] £ 3x + 2 2 5x - 1 c]