Các dạng toán về khoảng cách lớp 11 năm 2024
|
$SH = \frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $ (Do $SH$ là đường cao tam giác đều) Vậy $d(S;(ABCD)) = SH = a\sqrt 3 $ Câu 3: Cho hình chóp $SABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,AB = a,AC = a\sqrt 3 ,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$. Khoảng cách từ điểm $A$ dến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B Từ $A$ kẻ $AD \bot BC$ mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)$ mà $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SD$ $ \Rightarrow $ Từ $A$ kẻ $AE \bot SD \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)$ $ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AE$ Trong $\vartriangle ABC$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}}$ Trong $\vartriangle SAD$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$ Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,SA \bot \left( {ABC} \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là ${60^ \circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng
Lời giải Chọn A Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right)$ $ \Rightarrow d(S;(ABC)) = SA$ Gọi $I$ là trung điểm $BC$, khi đó $BC \bot AI$ Mặt khác $BC \bot AI,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI$ Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là $\widehat {SIA}$. Tam giác $SIA$ vuông tại $A$ nên $tan\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} \Leftrightarrow SA = IA \cdot tan\widehat {SIA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3 = \frac{{3a}}{2}$. Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,2SA = AC = 2a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là
Lời giải Chọn C Kẻ $AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BC \bot AB} \\ {BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)} \end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH \subset \left( {SAB} \right)} \right.$. Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AH \bot SB} \\ {AH \bot BC} \end{array} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)} \right.$. Do đó khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là ${d_{\left( {A,SBC} \right))}} = AH$. Xét tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, có $AC = 2a \Rightarrow AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có: $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}}$ $ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 6 a}}{3}$. Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{\sqrt 6 a}}{3}$. Câu 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $SB = 3a,AB = 4a,BC = 2a$. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ bằng
Lời giải Chọn A Từ $B$ kẻ $BI \bot AC$ nối $S$ với $I$ và kẻ $BH \bot SI$ dễ thấy $BH$ là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ Ta có $B.SAC$ là tam diện vuông tại $B$ nên: $\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{S^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}}$ $ = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{16{a^2}}} = \frac{{61}}{{144{a^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{12\sqrt {61} a}}{{61}}$ Câu 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông đỉnh $B,AB = a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng
Lời giải Chọn A Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BC \bot AB} \\ {BC \bot SA} \end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.$. Kẻ $AH \bot SB$. Khi đó $AH \bot BC \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$ $ \Rightarrow AH$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$. Ta có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}$. Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bẳng độ dài đoạn thẳng nào?
Lời giải Chọn D Từ giả thiết suy ra $OI$ là đường trung bình của $\vartriangle SAC$, do đó $OI//SA$. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {IO//SA} \\ {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \end{array} \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right)} \right.$. Vậy $d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right) = OI$. Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $\sqrt 3 a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BC \bot AB} \\ {BC \bot SA} \end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)} \\ {\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB} \end{array}} \right.$ Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right):$Kẻ $AH \bot SB \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$ $\begin{array}{*{20}{r}} {}&{\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}}.} \\ {}&{\; \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}} \end{array}$ Câu 10: Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $C,BC = a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BC \bot AC} \\ {BC \bot SA} \end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)} \right.$ Khi đó $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$ theo giao tuyến là $SC$. Trong $\left( {SAC} \right)$, kẻ $AH \bot SC$ tại $H$ suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$ tại $H$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $AH$. Ta có $AC = BC = a,SA = a$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$. Suy ra $AH = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}a\sqrt 2 $. Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B $d\left( {M,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{2}DO = \frac{1}{4}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$. Câu 12: Cho tứ diện đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $2a$, gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $DM = 2MA$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.
Lời giải Chọn C Gọi $H$ là trung điểm $BC,G$ là trọng tâm tam giác $BCD,AG$ là đường cao của tứ diện Xét tam giác đều $BCD$ có $BH = 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BH = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}$. Xét tam giác vuông $ABG$ có $AG = \sqrt {A{B^2} – B{G^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} – {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}a$. Mà $d\left( {M;\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}AG = \frac{{4\sqrt 6 }}{9}a$. Câu 13: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ bằng:
Lời giải Chọn C Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Ta có $AG \bot \left( {BCD} \right)$ tại $G$ nên $d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = AG$. Xét tam giác $ABG$ vuông tại $G$ có $AG = \sqrt {A{B^2} – B{G^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Câu 14: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = a$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.
Lời giải Chọn D Vì $CD//AB$ nên $CD//\left( {SAB} \right)$. Do đó $d\left( {CD;SB} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right) = DA = a$. Câu 15: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt đáy và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $AB = 4a,AD = 3a,SB = 5a$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ dến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.
Lời giải Chọn A Ta có: $SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = \sqrt {{{(5a)}^2} – {{(4a)}^2}} = 3a$. Ta có $d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = h$. Tứ diện $ASBD$ có các cạnh $AB,AD,AS$ đôi một vuông góc với nhau và $AB = 4a,AD = 3a,AS = 3a$ nên ta có $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}$ $ = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{41}}{{144{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{12a\sqrt {41} }}{{41}}$ Vậy $d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{12a\sqrt {41} }}{{41}}$. Câu 16: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng
Lời giải Chọn B Gọi $E,F$ lần luợt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Do tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a$ nên $DE = CE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.Xét trong tam giác cân $ECD$ tại $E$ có $E{F^2} = E{D^2} – F{D^2} = \frac{{3{a^2}}}{4} – \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{2}$. Do tam giác $ABC,ABD$ đều nên $ED \bot AB,EC \bot AB$ suy ra $EF \bot AB$ mà tam giác $ECD$ cân tại $E$ nên $EF \bot CD$. Vậy khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng độ dài đoạn $EF$. Tức bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. Câu 17: Cho hình chóp $S.MNPQ$ có đáy là hình vuông, $MN = 3a$, với $0 < a \in \mathbb{R}$, biết $SM$ vuông góc với đáy, $SM = 6a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $NP$ và $SQ$ bằng
Lời giải Chọn B Do $MN \bot SM$ ( giả thiết $SM$ vuông góc với đáy) và $MN \bot MQ$ (do $MNPQ$ là hình vuông) vậy $MN \bot \left( {SMQ} \right)$ suy ra $d\left( {NP,SQ} \right) = d\left( {NP,\left( {SMQ} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {SMQ} \right)} \right) = NM = 3a$. Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB = a,BC = 2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD,SC$ bằng
Lời giải Chọn C Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật và $M$ là trung điểm $SA$, ta có: $SC//\left( {BMD} \right)$. Do đó $d\left( {SC,BD} \right) = d\left( {SC,\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BMD} \right)} \right) = h$ Ta có: $AM,AB,AD$ đôi một vuông góc nên $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}}$ Suy ra: $h = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}$. Câu 19: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AD = 2a,SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng
Lời giải Chọn C Trong tam giác $SAD$ kẻ đường cao $AH$ ta có $AD \cdot AS = AH \cdot SD \Rightarrow AH = \frac{{AD \cdot AS}}{{SD}} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {{{(2a)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$ Dễ thấy $AH$ chính là đường vuông góc chung của $AB$ và $SD$ Vậy $d\left( {AB,SD} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$. Câu 20: Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a,OB = OC = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $OM$ và $AC$ bằng:
Lời giải Chọn D • Ta có được $OA \bot \left( {OBC} \right)$. • Trong mặt phẳng $\left( {OBC} \right)$, dựng điểm $E$ sao cho $OMCE$ là hình bình hành thì $OMCE$ cũng là hình vuông (do $OBC$ là tam giác vuông cân tại $O$ ). • Lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CE \bot OE} \\ {CE \bot OA} \end{array} \Rightarrow CE \bot \left( {AOE} \right)} \right.$. • Kẻ $OH \bot AE$ tại $H$ thì $OH \bot \left( {AEC} \right)$. Vì $OM//\left( {AEC} \right)$ nên $d\left( {AC;OM} \right) = d\left( {O;\left( {ACE} \right)} \right) = OH = \frac{{OA \cdot OE}}{{\sqrt {O{A^2} + O{E^2}} }} = \frac{{a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Câu 21: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông với đường chéo $AC = 2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ là
Lời giải Chọn C Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {DA \bot SA} \\ {DA \bot AB} \end{array} \Rightarrow DA \bot \left( {SAB} \right)} \right.$. Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CD \not\subset \left( {SAB} \right)} \\ {CD//AB} \end{array} \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right)} \right.$. Từ đó suy ra khoảng cách giữa $SB$ và $CD$ bằng khoảng cách giữa $\left( {SAB} \right)$ và $CD$ và bằng $DA$. Từ giác $ABCD$ là hình vuông với đường chéo $AC = 2a$ suy ra $DA = \sqrt 2 a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ là $a\sqrt 2 $. Câu 22: Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABD$ đều cạnh bằng 2 , tam giác $ABC$ vuông tại $B,BC = \sqrt 3 $. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $CD$ bằng $\frac{{\sqrt {11} }}{2}$. Khi đó độ dài cạnh $CD$ là
Lời giải Chọn A Dựng hình chữ nhật $ABCE$, gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CE,MH \bot DN$ tại $H$ Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot DM} \\ {AB \bot MN} \end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {DMN} \right) \Rightarrow CE \bot \left( {DMN} \right) \Rightarrow MH \bot CE} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {MH \bot DN} \\ {MH \bot CE} \end{array} \Rightarrow MH \bot \left( {CDE} \right)} \right.$ tại $H$ $ \Rightarrow d\left( {AB,CD} \right) = d\left[ {M;\left( {CDE} \right)} \right] = MH = \frac{{\sqrt {11} }}{2}$ Tam giác $DMN$ có $DM = MN = \sqrt 3 \Rightarrow H$ là trung điểm $DN$, mà $HN = \sqrt {M{N^2} – M{H^2}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow DN = 1$ Xét tam giác $DNC$ vuông tại $N\;$: $CD = \sqrt {D{N^2} + C{N^2}} = \sqrt 2 $. Câu 23: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a,SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 3 $. Gọi $M$ là trung điểm $SD$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ và $CM$.
Lời giải Chọn B *) Trong tam giác $\vartriangle SAD$, kẻ đường cao $AH \Rightarrow AH \bot SD$ (1). $CD \bot AD$ $CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\left( 2 \right)$. Từ (1), (2) $ \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)$. Có $AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)$, mà $CM \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,CM} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH$. *) $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Dạng 2. Tính khoảng cách liên quan đến hình lăng trụ, hình hộp Câu 24: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AD = 2a,CD = a,AA’ = a\sqrt 2 $. Đường chéo $AC’$ có độ dài bằng
Lời giải Chọn B $AC’ = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} + A{A^{‘2}}} = \sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2} + {{(a\sqrt 2 )}^2}} = a\sqrt 7 $. Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AD = 2a,CD = a,AA’ = a\sqrt 2 $. Đường chéo $AC’$ có độ dài bằng:
Lời giải Chọn B Ta có $AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = a\sqrt 5 $. Nên $AC’ = \sqrt {A{C^2} + C{C^{‘2}}} = \sqrt {5{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 7 $. Câu 26: Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BDA’} \right)$.
Lời giải Chọn A Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BD \bot AO} \\ {BD \bot AA’} \end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {AA’O} \right)} \right.$ Suy ra $\left( {BDA’} \right) \bot \left( {AA’O} \right)$. Kẻ $AH \bot A’O \Rightarrow AH \bot \left( {BDA’} \right)$. Suy ra $AH = d\left( {A,\left( {BDA’} \right)} \right)$. Xét tam giác $AA’O$ vuông tại $A$ có $AA’ = 1,AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}:AH = \frac{{AA’ \cdot AO}}{{\sqrt {A{A^{‘2}} + A{O^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. Vậy $d\left( {A,\left( {BDA’} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng $ABCA’B’C’$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 2a,AB = a\sqrt 3 $, (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng ( $\left. {BCC’B’} \right)$ là
Lời giải Chọn C Vì lăng trụ $ABCA’B’C’$ là lăng trụ đứng nên $\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCC’B’} \right)$. Do đó kẻ $AH \bot BC \Rightarrow AH \bot \left( {BCC’B’} \right)$. Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCC’B’} \right)$ là đoạn $AH$. Ta có $AC = \sqrt {4{a^2} – 3{a^2}} = a$. $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}$. Câu 28: Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30^ \circ }$. Hình chiếu $H$ của $A$ trên mặt phẳng $\left( {A’B’C’} \right)$ là trung điểm của $B’C’$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$.
Lời giải Chọn A. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30^ \circ }$ nên $\widehat {AA’H} = {30^ \circ }$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng $AH = AA’.sin\widehat {AA’H} = AA’.sin{30^ \circ } = \frac{a}{2}$. Câu 29: Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $CD’$.
Lời giải Chọn B • Do $AB’//\left( {CDD’C’} \right)$ nên ta có: $d\left( {AB’;CD’} \right) = d\left( {AB’;\left( {CDD’C’} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {CDD’C’} \right)} \right) = AD = a$ Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật $EFGH \cdot E’F’G’H’$ có $EF = 3a,EH = 4a,EE’ = 12a$, với $0 < a \in \mathbb{R}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $EF’$ và $GH’$ bằng
Lời giải Chọn D Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {EF’ \subset \left( {EFF’E’} \right)} \\ {GH’ \subset \left( {GHH’G’} \right)} \\ {\left( {EFF’E’} \right)//\left( {GHH’G’} \right)} \end{array} \Rightarrow d\left( {EF’,GH’} \right) = d\left( {\left( {EFF’E’} \right),\left( {GHH’G’} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {GHH’G’} \right)} \right)} \right.$. Vì $EH \bot \left( {GHH’G’} \right) \Rightarrow d\left( {E,\left( {GHH’G’} \right)} \right) = EH = 4a$. Câu 31: Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB’$ và $A’C’$ bằng
Lời giải Chọn D Gọi $O = A’C’ \cap B’D’$. Ta có $BB’ \bot B’O,A’C’ \bot B’O \Rightarrow B’O = d\left( {BB’,A’C’} \right)$. $B’O = \frac{1}{2}B’D’ = \frac{1}{2}\sqrt {B'{C^{‘2}} + C'{D^{‘2}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. Câu 32: Cho lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A’C’$ bằng
Lời giải Chọn B Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $BD$ và $A’C’$ bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song song $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A’B’C’D’} \right)$ thứ tự chứa $BD$ và $A’C’$. Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A’C’$ bằng $a$. Câu 33: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A’B’C’$ có $AB = a,AA’ = 2a$. Khoảng cách giữa $AB’$ và $CC’$ bằng
Lời giải Chọn D Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có: $CC’//BB’$ nên $CC’//\left( {ABB’A’} \right)$. Vì $AB’ \subset \left( {ABB’A’} \right)$ nên $d\left( {CC’,AB’} \right) = d\left( {CC’,\left( {ABB’A’} \right)} \right) = CI$. Do lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A’B’C’$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. |
