Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
Để tìm được điểm [tham số m] thỏa mãn điều kiện T ta cần sử dụng các công thức sau:
+ Khoảng cách từ điểm M[x0; y0] đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 là:
d[M; d] =
+ Khoảng cách hai điểm A[xA; yA] và B [ xB; yB] là:
AB =
+ Để điểm M [x0; y0] cách đều hai đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0
⇔ d[ M;d] = d[ M;d’] ⇔
+ Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC.
Ví dụ 1. Cho d:
A. M[
Lời giải
Lấy điểm M[ 2 + 2t; 3 + t] nằm trên d ; AM→[ 2 + 2t; t + 2]
Để AM = 5 khi và chỉ khi
[2t + 2]2 + [t + 2]2 = 25 hay 5t2 + 12t - 17 = 0
Suy ra t = 1 hoặc t = -
+ Với t = 1 thì M[ 4; 4]
+ Với t = - ⇒ M2[- ; - ].
Chọn C
Quảng cáo
Ví dụ 2. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M[15; 1] đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ :
A. √10 B.
Lời giải
+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:
∆:
⇒ [ ∆] : 1[x - 2] – 3[ y - 0] = 0 hay x - 3y - 2 = 0
+ Với mọi điểm N bất kì thuộc ∆ ta luôn có: MN ≤ d[ M; ∆]
⇒ MNmin = d[ M; ∆] =
Chọn A.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[ -2; 2], B[4; -6] và đường thẳng . Tìm điểm M thuộc d:
A. M[ 3; 7] B. M[ -3; -5] C. M[ 2; 5] D. M[ -2; -5]
Lời giải
Do điểmM thuộc đường thẳng d nên tọa độ M[ t; 1 + 2t]
MA2 = [ t + 2]2 + [ 2t - 1]2 và MB2 = [t - 4]2 + [2t + 7]2
Để MA = MB ⇔ AM2 = MB2
⇔ [ t + 2]2 + [2t - 1]2 = [t - 4]2 + [2t + 7]2
⇔ t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 = t2 - 8t + 16 + 4t2 + 28t + 49
⇔ 20t = - 60 ⇔ t = -3
⇒ Tọa độ điểm M [ -3; -5].
Chọn B.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[-1; 2] ; B[-3;2] và đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại C.
A. C[ -2; -1] B. C[ 1; -2] C. C[ -1; 1] D. C[0; 3]
Lời giải
Gọi tọa độ điểm C[x;y] .
+ Do điểm C thuộc đường thẳng d nên 2x - y + 3 = 0 [ 1] .
+ Ta có AC2 = [ x + 1]2 + [ y - 2]2 và BC2 = [ x + 3]2 + [y - 2]2
Để tam giác ABC cân tại C thì CA = CB ⇔ CA2 = CB2
⇔ [ x + 1]2 + [y - 2]2 = [x + 3]2 + [y - 2]2
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = x2 + 6x + 9 + y2 - 4y + 4
⇔ - 4x = 8 [2].
Từ[ 1] và [ 2] ta có hệ phương trình :
Vậy tọa độ điểm C[-2; -1].
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A[-1;2] đến đường thẳng ∆: mx + y - m + 4 = 0 bằng 2√5 .
A. m = 2 B. m = -2 hoặc m =
Lời giải
Khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆:
d[A; Δ] =
⇔ |- 2m + 6| = 2√5.
⇔ |m - 3| = √5. ⇔ 4m2 + 6m - 4 = 0
⇔ m = -2 hoặc m =
Chọn B.
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d1:
A. m = -4 hoặc m = 2 B. m = - 4 hoặc m = -2
C. m = 4 hoặc m = 2 D. m = 4 hoặc m = -2
Lời giải
+ ta đưa đường thẳng d1 về dạng tổng quát:
[d1 ]:
⇒ phương trình d1: 1[ x - 0] + 1 [y - 2] = 0 hay x + y - 2 = 0
+ Giao điểm của d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:
Vậy giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là M[4 - m; m - 2]
+ Khi đó: OM = 2 ⇔ OM2 = 4
⇔[4 - m]2 + [m - 2]2 = 4 ⇔ 16 - 8m + m2 + m2 - 4m + 4 = 4
⇔2m2 - 12m + 16 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = 4
Chọn C.
Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì đường thẳng Δ:
A. m = ±1 B. m = 0 C. m = √2 D. m =
Lời giải
Để đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R
d[O; Δ] = R ⇔
Chọn A.
Ví dụ 8: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng:
d1: 3x + 2y - 6 = 0
và d2: 3x + 2y + 6 = 0 ?
A. [1; 0] B. [0; 0] C. [0; √2] D. [√2; 0]
Hướng dẫn giải
Gọi tọa độ điểm M[ a;0] .
Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là:
d[M; d1] =
để M cách đều hai đường thẳng khi và chỉ khi :
=
⇒ Tọa độ điểm M [ 0; 0]
Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hai điểm A[ 1; 2] và B[ 4; 6]. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1 ?
A. [0 ;
Hướng dẫn giải
+ Độ dài đoạn AB =
+ Điểm M thuộc Oy nên tọa độ M [ 0; y].
+ Vì diện tích tam giác MAB bằng 1 nên S = AB.d[ M;AB] = 1
⇔ .5.d[ M; AB] = 1 ⇒ d[ M; AB] =
+ Phương trình đường thẳng AB:
⇒ Phương trình AB: 4[ x - 1] – 3[ y - 2] = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0
⇒ d[ M; AB] =
Vậy có hai điểm M thỏa mãn M[0; 0] hoặc M[ 0;
Chọn D.
Ví dụ 10 : Cho ba điểm A[0; 1] ; B[12; 5] và C[-3; 0]. Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A; B; C
A. x - 3y + 4 = 0 B. –x + y + 10 = 0 C. x + y = 0 D. 5x - y + 1 = 0.
Lời giải
Cách 1 : Ta có : AB→[ 12; 4]; AC→[ -3; -1] ⇒ AB→ = - 4AC→
⇒ ba điểm A ; B và C thẳng hàng .
⇒ Nếu đường thẳng d cách đều 3 điểm A, B ; C thì nó phải song song hoặc trùng với AB.
Đường thẳng [d] nhận vecto AC→[ -3 ; -1] làm VTCP nên nhận vecto n→[ 1 ; -3] làm VTPT
⇒ đường thẳng d có dạng : x - 3y + c = 0
Kiểm tra các phương án, ta thấy phương án A thỏa mãn
Cách 2: Tính khoảng cách từ 3 điểm đến lần lượt các đường thẳng trong các phương án A, B, C, D.
Chọn A.
Ví dụ 11. Cho A[2; 2] ; B[5; 1] và đường thẳng ∆: x - 2y + 8 = 0 . Điểm C thuộc ∆ và C có hoành độ dương sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17. Tọa độ của C là
A. [10; 12] B. [12 ; 10] C. [ 8; 8] D. [10; 8]
Lời giải
Phương trình đường thẳng AB:
⇒ [ AB] : 1[x - 2] + 3[y - 2] = 0 hay x + 3y – 8 = 0
Điểm
Độ dài AB =
D[ C; AB]=
Diện tích tam giác ABC là:
S = AB.d[C; AB] = 17 ⇔ √10. = 17
⇔ |5t - 16| = 34 ⇒
Mà C có hoành độ dương nên t = 10 ⇒ C[ 12; 10] .
Chọn B.
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[1;1] ; B[ -2; 4] và đường thẳng ∆: mx - y + 3 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ∆ cách đều hai điểm A; B.
A. m = 1 hoặc m = -2 B. m = -1 hoặc m = 2
C. m = 1 hoặc m = -1 D. m = 2 hoặc m = - 2
Đáp án: C
Trả lời:
+ Để một đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B thì ∆ // AB hoặc ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
+ Gọi d là đường thẳng song song với AB ⇒ d nhận AB→[ -3; 3] VTCP nên nhận
n→[ 1; 1] làm VTPT
⇒ [d] có dạng : x + y + c = 0
Để d// ∆ ⇔ m/1= [-1]/1≠3/c ⇔ m= -1 và c ≠-3.
⇒ Với m = - 1 thì d//∆ nên ∆ cách đều hai điểm A và B
+ Gọi [ d’] là đường trung trực của đoạn AB.
[ d’] :
⇒ Phương trình [ d’] : 1[ x + ] - 1[ y -
⇒ Để d’ trùng với ∆ thì m = 1. Khi đó; ∆ là đường trùng trực của AB nên ∆ cách đều hai điểm A và B.
Vậy với m = 1 hoặc m = -1 thì đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B
Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[ 1; 1] ; B[4; - 3] và đường thẳng d: x - 2y - 1 = 0. Tìm điểm M thuộc d có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6.
A. M[ 3; 7] B. M[ 7; 3] C. M[ -43; -27] D. M[3; -
Đáp án: B
Trả lời:
+ Phương trình đường thẳng AB:
⇒ [ AB] : 4[x - 1] + 3[y - 1] = 0 hay 4x + 3y - 7 = 0
+ Lấy điểm M [ 2m + 1; m] thuộc d với m nguyên
Khi đó để khoảng cách từ M đến AB bằng 6 thì:
6 = d[M; AB] =
⇔|11m - 3| = 30 ⇔
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy , cho điểm A[ 0; 1] và đường thẳng
d:
A. M[-2; 1] B.
Đáp án: C
Trả lời:
Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ của M[ 2 + 2t; 3 + t]
với 2 + 2t < 0 hay t < -1 vì M có hoành độ âm
Khi đó để M cách A một khoảng bằng 5 thì AM = 5 ⇔ AM2 = 25
⇔[ 2 + 2t]2 + [2 + t]2 = 25 ⇔ 4 + 8t + 4t2 + 4 + 4t + t2 = 25
⇔5t2 + 12t - 17 = 0
⇔
Với t =
Câu 4: Biết rằng có đúng hai điểm thuộc trục hoành và cách đường thẳng
∆: 2x - y + 5 = 0
một khoảng bằng 2√5. Tích hoành độ của hai điểm đó bằng:
A. -
Đáp án: A
Trả lời:
Điểm M [ x; 0] thuộc trục hoành.
Do khoảng cách từ M đến ∆ là 2√5 nên
d[M; Δ] = 2√5 ⇔
⇔
Vậy có hai điểm thỏa mãn là M1[ ; 0] và M2[
Tích hoành độ của hai điểm đó là: . = -
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A[3; -1] và B[0;3]. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.
A. M[
C. M[ - ; 0] ;M[ -1; 0] D. M[ - ; 0] ;M[ - ; 0]
Đáp án: A
Trả lời:
Phương trình [ AB]:
⇒ [ AB] : 4[ x - 3] + 3[ y + 1] = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0
Gọi điểm M thuộc trục hoành có tọa độ là [ x; 0] .
Để khoảng cách từ M đến AB bằng 1 thì:
1 = d[ M; AB] =
⇔
Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[3; 0] và B[ 0; -4] . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6
A. M[0; 0] hoặc M[0; -8] B. M[0; - 8] C. M[6; 0] D. M[0; 0]
Đáp án: A
Trả lời:
+ Phương trình AB theo đoạn chắn :
+ AB =
+ Gọi điểm M[ 0; y] thuộc trục tung.
⇒ khoảng cách từ M đến AB là d[ M; AB] =
Để diện tích tam giác MAB là 6 thì:
S = .AB.d[ M; AB] = 6 ⇔ .5. = 6
⇔ |3y + 12| = 12 ⇒
Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M[0; 0 ] hoặc M [ 0; -8]
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng [a]: 3x - 2y - 6 = 0 và
[b] : 3x – 2y + 12 = 0. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho M cách đều hai đường thẳng đã cho.
A. M[ -2; 0] B. M[-1; 0] C. M[1; 0] D. M[0; 0]
Đáp án: B
Trả lời:
D0 M thuộc trục hoành nên tọa độ M [x; 0]
Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là:
d[ M; a] =
Để điểm M cách đều hai đường thẳng a và b thì:
= ⇔ |3x - 6| = |3x + 12|
⇔3x - 6 = - 3x - 12 ⇔x = -1
⇒ Điểm M [ -1; 0] .
Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[1; 2] ; B[ 0; 3] và đường thẳng d: y = 2. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại B
A. C[1; 2] B. C[4; 2] C. C[1; 2] hoặc C[ -1; 2] D. C[-1; 2]
Đáp án: C
Trả lời:
Gọi toạ độ của điểm C[ x; y] .
Do C thuộc d nên y = 2. [1]
Ta có: BA2 = [1 - 0]2 + [2 - 3]2 = 2 và BC2 = x2 + [y - 3]2
Để tạm giác ABC cân tại B thì BA = BC ⇔ BA2 = BC2
⇔ 2 = x2 + [y - 3]2 [2]
Từ [ 1] và [2] ta có hệ phương trình :
⇒ Có hai điểm C thỏa mãn đầu bài là C[ 1; 2] hoặc C[ -1; 2]
Câu 9: Phương trình của đường thẳng qua P[2; 5] và cách Q[5; 1] một khoảng bằng 3 là:
A. 7x + 24y - 13 = 0 . B. x = 2
C. x = 2 hoặc 7x + 24y – 134 = 0 . D. 3x + 4y - 5 = 0
Đáp án: C
Trả lời:
+ Đường thẳng ∆ qua P[ 2; 5] và có VTPT n→[ a; b] .
⇒ Phương trình ∆: a[x - 2] + b[y - 5] = 0 hay ax + by – 2a – 5b = 0
+ Khoảng cách từ điểm Q đến ∆:
d[Q, ∆] = 3 ⇔
⇔ -24ab + 7b2 = 0 ⇔
+ Với b = 0, chọn a = 1 thì phương trình ∆ : x - 2 = 0.
+ Với b =
Câu 10: Cho hai điểm A[3; -1] và B[0; 3] . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB?
A. [ -4; 0]; [-3,5; 0] B. [2; 0] và [1; 0] C. [4; 0] D. [-4; 0] ; [ 8,5; 0]
Đáp án: D
Trả lời:
+ Ta gọi tọa độ điểm M nằm trên trục Ox là M[ a ; 0]
+ Phương trình đường thẳng AB :
⇒ Phương trình AB : 4[x - 3] + 3[y + 1] = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0
+ Độ dài đoạn AB =
+ Để khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB thì d[ M; AB] = 5
⇔
⇔
Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M [ 8,5; 0] và M[ -4; 0] .
Câu 11: Cho hai điểm A[ 2; 3] và B[1; 4]. Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm A; B?
A. x - y + 2 = 0 B. x - y + 100 = 0 C. x + 2y = 0 D. 2x - y + 10 = 0.
Đáp án: A
Trả lời:
Cách 1: Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B ta có:
M[x; y] ∈ d ⇔ MA = MB ⇔ MA2 = MB2
⇔ [x - 2]2 + [y - 3]2 = [ x - 1]2 + [y - 4]2
⇔ x2 - 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = x2 - 2x + 1 + y2 - 8y + 16
⇔2x - 2y + 4 = 0 hay x - y + 2 = 0
Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn AB ⇒ I[
Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B suy ra d là đường trung trực của đoạn AB hoặc d// AB.
+ Viết đường trung trực d của AB :
⇒ d đi qua I[ ; ] và nhận AB→[ -1; 1] làm VTPT
⇒ d: -[x - ] + [y - ] = 0 ⇒ d: -x + y - 2 = 0
+ Viết đường thẳng d’ song song với AB.
⇒ d’ nhận AB→[ -1 ;1] làm VTCP và VTPT là n→[1 ; 1]
⇒ [d’] có dạng :x + y + c = 0.
Trong các phương án chỉ có phương án A thỏa mãn.
Câu 12: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng
[a]: 2x - 3y + 4 = 0 và [b]: 2x + 3y + 2 = 0
A. [
Đáp án: D
Trả lời:
Điểm M nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm M [ a ; 0] .
Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là :
d[M ; a] =
Để M cách đều hai đường thẳng [a] và [b] khi và chỉ khi :
=
⇔ |2a + 4|= |2a + 2| ⇔
⇒ Điểm M[ - ; 0]
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số y= f[x] tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C] của hàm số tại điểm M0[x0; f[x0] ].
Khi đó phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M0 là:
y–y0=f' [x0].[x–x0]
1.- Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M[x0 ; y0] là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f’[x0]= k [*] .
- Giải [*] tìm x0. Suy ra y0= f[x0]. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= k[x- x0] + y0
2. Cho đường thẳng d : y= kdx + b
+] Nếu ∆ // d thì k∆ = kd
+] Nếu ∆ vuông góc với d thì : k∆. kd = -1 ⇔ k∆ = [- 1]/kd
Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] :y=-x4-x2+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=1/6x-1 .
A.y= 6x+ 1 B. y= - 6x+ 6 C.y= -6x+ 10 D. y= 6x+ 12
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định D=R.
Đạo hàm của hàm số: y’= - 4x3 – 2x
Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d : y=1/6x-1 .
⇒ đường thẳng ∆ có hệ số góc : k= -6.
Cách 1: Gọi M[x0 ; y0] là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị [C] của hàm số .
Khi đó, ta có phương trình: y'[x0]=-6 ⇔-4x03-2x0=-6
⇔[x0-1][2x02+2x0+3]=0[*].
Vì 2x02+2x0+3 > 0,∀x0∈R nên phương trình [ *] tương đường x0 =1
⇒ y0= y[1]= 4 nên M[ 1 ; 4]
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-6[x-1]+4=-6x+10.
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=-6x+m [ **]
Do ∆ tiếp xúc [C] tại điểm M[x0 ; y0] khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :
Thay vào [**] ta có phương trình tiếp tuyến là: y= - 6x+ 10
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 2. Cho hàm số y=1/3 x3-x+2/3 có đồ thị là [C]. Tìm trên đồ thị [C] điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y=-1/3 x+2/3.
A. [ 1; -2] và [ -2; 0] B. [ - 2; 0] và [ 2; 4/3 ]
C. [ -2; 5] và [ 1;0] D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định D= R.
Ta có đạo hàm: y'=x2-1
GọiM[x0;y0]∈[C] ⇔y0=1/3 x03-x0+2/3,
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'[x0]=x02-1
Đường thẳng d: có hệ số góc k2=-1/3
Ví dụ 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y=x3-3x2+2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng
A.-3 B.3 C.4 D.0
Hướng dẫn giải
Đạo hàm:y'=3x2-6x=3[x-1]2 -3 ≥-3với mọi x.
Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng - 3.
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hàm số y= x3+ 3x2- 9x+ 5 có đồ thị [C]. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị [C], hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
A: y=-2x+4 B: x+y+12=0 C: 12x+y-4=0 D: x-12y+4=0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm : y’= 3x2+ 6x- 9
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f' [x0 ]= 3.x02+6x0-9
Ta có: 3.x02+6x0-9=3[ x02+2x0+1]-12=3[x0+1]2-12 ≥ -12 ∀x0
Vậy min f' [x0 ]=-12 tại x0= -1 ⇒ y0= 16
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:y= -12[x+1]+16 hay y=-12x+4
Chọn C
Ví dụ 5.Cho hàm số y= x3+ 3mx2+ [m+ 1]x+ 1 [ 1], m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số [1] tại điểm có hoành độ x=-1 đi qua điểm A[1;2].
A: 1 B: -1 C: 3 D: 5/8
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y’= 3x2+ 6mx + m+ 1
Với x0 = - 1 ⇒ y0= 2m- 1 và y’[ -1] = - 5m+ 4.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M[-1;2m-1]:
y=[-5m+4][x+1]+2m-1 [d].
Ta có điểm A[ 1; 2] thuộc đường thẳng d nên:
2= [ - 5m+ 4].[1+1] +2m- 1 ⇔ 2= - 10m+ 8+ 2m- 1
⇔ - 8m+ 5= 0 ⇔ m= 5/8.
Chọn D.
Ví dụ 6:Cho hàm số y= -x3- 3x2+ 9x – 5 [C]. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị [C] hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
A: y=8x-3 B: y=6x-4 C: y=10x-2 D: y=12x-4
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y’= - 3x2- 6x+ 9
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có y' [x0 ]= -3x02-6x0+9
Từ đó suy ra max y' [x0]=12 tại x0= - 1.
Với x0= -1 ⇒ y0= - 16 , phương trình tiếp tuyến cần tìm:y=12x-4
Chọn D
Ví dụ 7: Cho hàm số y= [2x-1]/[x-1] có đồ thị [ C] . Gọi I[1;2] Tìm điểm M thuộc [C] sao cho tiếp tuyến của [C] tại M vuông góc với đường thẳng IM?
A. M[3;2] B. [0;1] C. [2;3] D. Cả B và C đúng
Hướng dẫn giải
Ví dụ 8:Cho hàm số y= 2x/x+1. Có mấy điểm M thuộc C, biết tiếp tuyến của [C] tại M cắt hai trục tọa độ tại A; B và tam giác 0AB có diện tích bằng 1/4
A: 0 B: 1 C: 2 D: 3
Hướng dẫn giải
Ví dụ 9. Cho đồ thị [C]: y= [[ 3m+1]x-m]/[x+m].Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của [C] với Ox song song với đường thẳng d: y=-x-5.
A. [- 1]/6; [- 1]/2 B: - 1/4 C: -1/2 ; 1 D: Tất cả sai
Hướng dẫn giải
Ví dụ 10: Gọi [C] là đồ thị của hàm số y=1/3x3 -m/2x2+1/3 [m là tham số].
Gọi M là điểm thuộc [C] có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của [C] tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0
A: m=1 B: m=2 C: m=3 D: m=4
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị [C]: y= x3- 3x2+ 2, biết d cắt các trục Ox; Oy lần lượt tại A; B thỏa mãn OB= 9OA.
A. y= 9x+ 5 và y= 9x- 25 B. y= 9x+ 7 và y= 9x- 25
C. y= - 9x+ 1 và y= 9x + 7 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi M[x0; y0] là toạ độ tiếp điểm
Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 3x2- 6x
Theo bài toán, đường thẳng d ≡AB.
Ví dụ 12. Cho hàm số y=x3-2x2+8x+5 có đồ thị là [C]. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
C. Hàm số đi qua điểm M[ 1 ;17]
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải
Ta có y'[x]=3x2-4x+8
Xét phương án A:
Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị vuông góc với nhau.
Gọi x1; x2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó.
Gọi k1 ; k2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên [C] có hoành độ x1 ; x2 .
Khi đó k1,k2=-1⇒y' [x1 ].y' [x2 ]=-1
⇒[3x12-4x1+8][3x22-4x2+8]=-1
Tam thức f[t]=3t2-4t+8 có nên f[t]> 0∀t∈R
⇒ [ 1] không thể xảy ra.
Vậy, giả thiết phản chứng là sai. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
Chọn A.
Ví dụ 13.Cho hàm số: y= 2x+2/x-1 có đồ thị [ C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1.
A. y= -x- 2; y= -x+ 7. B. y= -x- 5; y= -x+ 6.
C. y= -x- 1; y= -x+ 4. D. y= -x- 1; y= -x+ 7.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 14. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/[x-1] nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng [Δ]:9x-2y+1=0
Hướng dẫn giải
Ví dụ 15: Cho hàm số y=x4/4+x2/2+2 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của [C] song song với đường thẳng d: y= 2x- 2
Hướng dẫn giải
Đạo hàm y’= x3+ x
Đường thẳng d có hệ số góc k= 2.
Do tiếp tuyến ∆ của [C] song song với đường thẳng d:y= 2x-2 nên hệ số góc của đường thẳng ∆ là k∆= 2
⇒ x3+ x= 2 ⇒ x= 1
Tại x= 1 ta có y= 11/4;y' [1]=2
Phương trình tiếp tuyến ∆: y=2[x-1]+11/4=2x+3/4
Chọn A
Ví dụ 16: .Cho hàm số y=2x4-4x2-1 có đồ thị là [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C], biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x- 48y + 1= 0..
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y'=8x3-8x.
Gọi M[x0.y0 ]Tiếp tuyến tại M có phương trình:.
y=[8x03-8x0][x-x0]+2x04-4x02-1..
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-48y+1=0 hay y= 1/48 x+ 1/48.
Nên ta có: y'[x0].1/48=-1⇔y'[x0]=-48.
8x03-8x0+48=0 ⇒x0=-2 ⇒y0=15..
Phương trình Δ:y=-48[x+2]+15=-48x-81.
Chọn A.
Ví dụ 17: Tìm m để đồ thị hàm số y=1/3 mx3+[m-1]x2+[2-3m]x+1 tồn tại đúng điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x+ 2y – 3= 0.
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có: y'=mx2+2[m-1]x+2-3m.
Ví dụ 18Gọi [Cm] là đồ thị của hàm số y=1/3x3 +m/2x2+1/3 [m là tham số]
.Gọi M là điểm thuộc [Cm] có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của [Cm] tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0
A: m=1 B: m=2 C: m=3 D: m=4
Hướng dẫn giải
Câu 1: Biết rằng trên đồ thị [C]: y=x3-[m+1]x2+[4m+2]x+1 tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x+ 10y+ 2013= 0.Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm đó
A. y= - 3x+ 4 B. y= 6x- 9
C. y= 10x – 9 D. y= - 8x+ 12
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 3x2 - 2[ m+ 1]x + 4m+ 2
+ Gọi tiếp điểm là M[ a; b], tiếp tuyến tại M có hệ số góc là:
k2=y'[a]=3a2-2[m+1]a+4m+2 [ 1]
Do tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng d: x+ 10y+ 2013 = 0 nên :
k1. k2 = -1 ⇒ k2 = 10 [ 2]
Từ [1] và [2]suy ra: 3a2-2[m+1]a+4m+2=10
⇔ 3a2-2[m+1]a+4m-8=0 [*]
Trên đồ thị [ C] chỉ có đúng một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d nên [*] có nghiệm kép hay
⇔ [ m+ 1]2 – 3[ 4m- 8] = 0 ⇔ m2+2m+ 1 – 12m + 24 = 0
⇔ m2 – 10m + 25 = 0 ⇔ m= 5
thay vào [*] ta được a = 2 ⇔ M[ 2; 29] .
Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y= 10x+ 9
Chọn C.
Câu 2: Cho hàm số y= x3- 3x + 1 [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C], biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.
A. y= 2;y= -1 B, y= 3; y= - 1 C. y= 3;y= -2 D. x= 3; x= - 1
Ta có đạo hàm y’= 3x2- 3. Gọi M[ x0; y0] là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên tiếp tuyến có dạng y+ c= 0
⇒ y' [x0 ]=0 ⇔ 3x02-3=0 ⇒ x0= ±1
+ Với x0= 1 ta có y0= - 1 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm [1; -1] là
y+ 1= 0 [x – 1] hay y= -1
+ Với x0= - 1 ta có yo= 3 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm [ -1; 3] là :
y- 3= 0[ x+ 1] hay y= 3
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là y= 3 và y= -1
Chọn B.
Câu 3: Cho đồ thị hàm số [ C]; y= [2x+2]/[x-1]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C], biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân
Hàm số xác định với mọi x≠1. Ta có đạo hàm: y'=[-4]/[x-1]2