Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y'\].
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:
+ Hàm số có điểm cực trị \[ \Leftrightarrow y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \Delta > 0\].
+ Hàm số không có điểm cực trị \[ \Leftrightarrow y' = 0\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \Delta \le 0\].
- Bước 3: Kết luận.
Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y'\].
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:
+ Hàm số có \[1\] điểm cực trị nếu phương trình \[y' = 0\] có nghiệm duy nhất.
+ Hàm số có \[3\] điểm cực trị nếu phương trình \[y' = 0\] có ba nghiệm phân biệt.
- Bước 3: Kết luận.
Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có \[1\] điểm cực trị hoặc có \[3\] điểm cực trị.
+ Trường hợp có \[1\] điểm cực trị thì đó là \[x = 0\].
+ Trường hợp có \[3\] điểm cực trị thì đó là \[x = 0;x = - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;x = \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \]
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số nhận điểm cho trước làm điểm cực trị
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y',y''\].
- Bước 2: Nêu điều kiện để \[x = {x_0}\] là điểm cực trị của hàm số:
+ \[x = {x_0}\] là điểm cực đại nếu \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\f''\left[ {{x_0}} \right] < 0\end{array} \right.\]
+ \[x = {x_0}\] là điểm cực tiểu nếu \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\f''\left[ {{x_0}} \right] > 0\end{array} \right.\]
- Bước 3: Kết luận.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y'\].
- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung
\[ \Leftrightarrow y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt trái dấu\[ \Leftrightarrow ac < 0\]
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung
\[ \Leftrightarrow y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt cùng dấu\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\]
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung
\[ \Leftrightarrow y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt cùng dương \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\]
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung
\[ \Leftrightarrow y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt cùng âm \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\]
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \[A\left[ {{x_1};{y_1}} \right],B\left[ {{x_2};{y_2}} \right]\] thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa \[{x_1},{x_2}\] thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện \[{x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\] rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right.\] và tìm \[m\].
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y'\].
- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:
+ Ba điểm cực trị \[A,B,C\] trong đó \[A\left[ {0;c} \right]\] lập thành một tam giác vuông [vuông cân]
\[ \Leftrightarrow \Delta ABC\] vuông tại \[A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\] .
Khi đó:
\[y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow A\left[ {0;c} \right],B\left[ { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right],C\left[ {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right]\]
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{{2a}} + \dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0\\ \Leftrightarrow 8a + b^3 = 0\\ \Leftrightarrow b = -2\sqrt[3]{a}\end{array}\]
Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.
+ Ba điểm cực trị \[A,B,C\] trong đó \[A\left[ {0;c} \right]\] tạo thành tam giác đều \[ \Leftrightarrow AB = BC = CA\].
+ Ba điểm cực trị \[A,B,C\] trong đó \[A\left[ {0;c} \right]\] tạo thành tam giác có diện tích \[{S_0}\] cho trước
\[ \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC\] với \[H\] là trung điểm của \[BC\].
+ Ba điểm cực trị \[A,B,C\] trong đó \[A\left[ {0;c} \right]\] tạo thành tam giác có diện tích \[{S_0}\] lớn nhất
\[ \Leftrightarrow \] Tìm \[\max {S_0}\] với \[{S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H\] là trung điểm của \[BC\].
+ Ba điểm cực trị \[A,B,C\] trong đó \[A\left[ {0;c} \right]\] tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \[\alpha \] cho trước
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha \]
+ Ba điểm cực trị \[A,B,C\] trong đó \[A\left[ {0;c} \right]\] tạo thành tam giác có ba góc nhọn
\[ \Leftrightarrow \alpha \] là góc ở đỉnh phải nhọn \[ \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\]
- Bước 3: Kết luận.
Dạng 6: Viết phương trình đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y'\].
- Bước 2: Lấy \[y\] chia \[y'\] ta được đa thức dư \[g\left[ x \right] = mx + n\].
- Bước 3: Kết luận: \[y = mx + n\] là đường thẳng cần tìm.