- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.
- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện.
- Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
+ Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại.
- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn
thẳng đó.
+ Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại.
- Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.
- Hình chóp nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp được đường tròn.
+ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.
- Hình chóp đều:
Bán kính: \[R = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\] với \[b\] là độ dài cạnh bên,
\[h\] là chiều cao hình chóp.
- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:
Bán kính \[R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \] với \[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[h\] là chiều cao hình chóp.
Đặc biệt: tứ diện vuông: \[R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \] với \[a,b,c\] là ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh các góc vuông.
- Lăng trụ nội tiếp được mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn.
Bán kính \[R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \] với \[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[h\] là chiều cao lăng trụ đứng.
3. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Cho mặt cầu \[\left[ S \right]\] có bán kính \[R\], khi đó:
- Công thức tính diện tích mặt cầu: \[S = 4\pi {R^2}\]
- Công thức tính thể tích khối cầu: \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\]
Cho hình nón có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là $R = 3,l = 5.$ Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là
Cho hình nón có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là \[R = 3,l = 5.\] Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là
A. \[r = \dfrac{3}{2}.\]
B. \[r = \dfrac{2}{3}.\]
C. \[r = 1.\]
D. Đáp án khác.
1. Lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón . Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Lý thuyết:Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn
Bài toán:Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón
2. Ví dụ bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Bài 1. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
a] Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b] Một hình nón có chiều caohvà bán kính đáy bằngr. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c] Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kínhR. Nếu hình nón đó có chiều cao bằnghthì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Lời giải:
a]
Hình nón[N]có đỉnhSvà đường tròn đáy là[O;r]. Lấy điểmMtrên[O;r]thìΔSOMvuông tạiO.
SOlà trục của đường tròn[O;r]nênIlà tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khiIthuộcSOvà cách đều hai điểmS,M. VậyIlà giao điểm củaSOvới mặt phẳng trung trực củaSM. Mặt cầu tâmIbán kínhR=ISlà mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b]
Kẻ đường kínhSS′của mặt cầu ngoại tiếp hình nón[SS′>h]
ΔMSS′vuông tạiMcó đường caoMO=r.
Ta có:
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
c] Nếu hình nón có chiều caoh, bán kính đáy làrnội tiếp mặt cầu bán kínhRthì theo câu b] ta có hệ thức
Bài 2: Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó
A. 4 B. 2 C. 6 D. 3
Lời giải
Hình nón ngoại tiếp hình cầu⇒
Chọn D.
Bài 3: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn [C]. Một khối nón [N] có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn [C]. Biết khối nón [N] có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng bao nhiêu ?
Lời giải
Bài 4: Cho hình nón tròn xoay [N] có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ?
Lời giải
Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp đường tròn
Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón $\Rightarrow R=OI,r=IB,h=SI$
Ta có $\Delta SEO\sim\Delta SIB\Rightarrow \frac{OE}{IB}=\frac{SO}{SB}\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{h-R}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}}$
Vậy mối liên hệ cần tìm là $$
Hình nón nội tiếp hình cầu
Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn
Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón
Ta có ${{x}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$ mà $x=h-R\Rightarrow {{\left[ h-R \right]}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$
Vậy mối liên hệ cần tìm là $$
Hình nón ngoại tiếp hình trụ
Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp hình chữ nhật, cụ thể là tam giác SAB [thiết diện qua trục hình nón] và hình chữ nhật MNPO [thiết diện qua trục hình trụ]
Bài toán: Gọi R, h, R’, H’ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình nón; bán kính đáy và chiều cao hình trụ $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} R=IA \\ {} h=SI \\ \end{array} \right.;\left\{ \begin{array} {} R'=IN \\ {} h=OI \\ \end{array} \right.$
Ta có $\Delta AMN\sim\Delta ASI\Rightarrow \frac{MN}{SI}=\frac{AN}{AI}\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$
Vậy mối liên hệ cần tìm là $$
| Bài tập 1: Cho hình cầu bán kính bằng 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường tròn đường kính 4 cm. Tính thể tích khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm của hình cầu đã cho. A. $\approx 19,18c{{m}^{3}}$ B. $\approx 19,20c{{m}^{3}}$ C. $\approx 19,21c{{m}^{3}}$ D. $\approx 19,19c{{m}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, ta có R = 5 cm, r = 2 cm
Chiều cao của khối nón là $h=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{21}cm$
Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{4\sqrt{21}\pi }{3}\approx 19,20c{{m}^{3}}$.
Chọn B.
| Bài tập 2: Cho mặt cầu [S] tâm O, bán kính R [không đổi]. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng bằng x, [x< R] và cắt [S] theo giao tuyến là đường tròn [C] có tâm H. Gọi T là giao điểm của tia HO với [S]. Thể tích của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn [C] bằng A. $\frac{\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]}{6}$ B. $2\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]$ C. $\frac{\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]}{3}$ D. $\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]$ |
Lời giải chi tiết
Bán kính đáy hình nón là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Chiều cao hình nón là $h=OT+OH=R+h$
Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]}{3}$
Chọn C.
| Bài tập 3: Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó A. 4 B. 2 C. 6 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình cầu $\Rightarrow R=\frac{rh}{r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\frac{6.8}{6+\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}}=3$
Chọn D.
| Bài tập 4: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn [C]. Một khối nón [N] có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn [C]. Biết khối nón [N] có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng A. $x=\frac{2}{3}$ B. $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. $x=\frac{1}{3}$ D. $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Bài toán: Hình nón nội tiếp hình cầu.
Ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}$, với r là bán kính đáy hình nón
Chiều cao hình nón là $h=x+R$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right].\left[ x+R \right]$
Lại có $V=\frac{\pi }{6}.\left[ 2R-2x \right].\left[ R+x \right].\left[ R+x \right]\le \frac{\pi }{6}.\frac{{{\left[ 2R-2x+R+x+R+x \right]}^{3}}}{27}=\frac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2R-2x=R+x\Leftrightarrow x=\frac{R}{3}=\frac{2}{3}$
Chọn A.
| Bài tập 5: Cho hình nón tròn xoay [N] có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ? A. $x=\frac{h}{3}$ B. $x=\frac{h\sqrt{3}}{3}$ C. $x=\frac{h}{6}$ D.$x=\frac{h\sqrt{3}}{6}$ |
Lời giải chi tiết
Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình trụ $\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$
Với R’, h’ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao hình trụ $\Rightarrow x=\frac{h}{R}.\left[ R-R' \right]$
Thể tích khối trụ là $V=\pi R{{'}^{2}}x=\pi R{{'}^{2}}.\frac{h}{R}.\left[ R-R' \right]=\frac{\pi h}{R}.\left[ R{{'}^{2}}.[R-R'] \right]$
Ta có: $R{{'}^{2}}.\left[ R-R' \right]=4.\frac{R'}{2}.\frac{R'}{2}.[R-R']\le 4.\frac{{{\left[ \frac{R'}{2}+\frac{R'}{2}+R-R' \right]}^{3}}}{27}=\frac{4{{R}^{3}}}{27}$
Suy ra $V\le \frac{\pi h}{R}.\frac{4{{R}^{3}}}{27}=\frac{4\pi {{R}^{2}}h}{27}$. Dấu = xảy ra khi $\frac{R'}{2}=R-R'\Rightarrow R'=\frac{2}{3}R\Rightarrow x=\frac{h}{3}$.
Chọn A.