Dạng toán tìm m để hàm số đồng biến năm 2024

Bài viết này VerbaLearn sẽ giúp bạn phân tích tìm hướng giải dạng toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1, 2, 3, 4, 5, 6,… dễ hiểu nhất. Đây là một bài toán khá hay trong chương trình toán 12. Bài toán vận dụng phương pháp tìm m để thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số đồng thời ứng dụng định lý VIET, một kiến thức quan trọng khi tìm hiểu về hàm số.

Ngoài xét tính đơn điệu của hàm số thì bước áp dụng định lí ViET và biến đổi cũng khá quan trọng.

Dạng 1: Dạng tổng quát

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + x + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l. (l = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…)

• Bước 1: Tính y’ = f’(x).
• Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1)
• Bước 3: Biến đổi |x1 – x2| = l thành (x1 – x2)2 – 4x1․x2 = l2 (2).
• Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m.
• Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Nhắc lại định lí Vi-et

Ứng dụng định lý Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

Dạng 2: Đoạn có độ dài bằng l

Phương pháp giải

Bài toán tương tự như dạng tổng quát. Ở bước 3, ta tiến hành giải phương trình (2) sau khi có độ dài của đề bài.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2

1. m = 0

2. m < 3

3. m = 2

4. m > 3

Lời giải

Đáp án: A

Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x + m.

Xét phương trình y’ = 0 hay 3x2 + 6x + m = 0 (*)

Để hàm số nghịch biển trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 và |x1 – x2| = 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Giải |x1 – x2| = 2 ⇔ (x1 – x2)2 = 4

⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 = 4 ⇔ m = 0

Vậy m = 0

Câu 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng .

Lời giải

Xét hàm số , ta có

Để hàm số nghịch biến thì:

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng nên:

Theo định lí Vi-et-ta có:

,

Đối chiếu với điều kiện (*), ta kết luận: Không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.

Dạng 3: Đoạn có độ dài lớn hơn l hoặc nhỏ hơn l

Phương pháp giải

Bước 1, bước 2 ta tiến hành theo dạng tổng quát. Tuy nhiên tới bước 3 phương trình sẽ bị thay thế thành một bất phương trình.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 1

1. Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; +∞).

2. Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1.

Lời giải

TXÐ: D = ℝ

Ta có: y’ = x2 – 2mx + 1 – 2m

Hàm số cho đồng biến trên (1; +∞) ⇔ y’ ≥ 0

⇔ x2 – 2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m (x + 1)

⇔ (do x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số , x ∊ (1; +∞)

, ∀ x ∊ (1; +∞)

Suy ra f(x) ≥ 2m, ∀ x ∊ (1; +∞) ⇔ f(1) ≥ 2m

⇔ 1 ≥ 2m ⇔ m ≤ ½

2. y = -x3 + 3x2 + (m – 1) x + 2m – 3

TXÐ: D=R

Ta có: y’ = -3x2 + 6x + m–1, ∆’ = 3m +6

Nếu m ≤ -2 ⇒ ∆’ ≤ 0 ⇒ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ nên hàm số không có khoảng đồng biến.

Nếu m > -2 ⇒ y’ = 0 có hai nghiệm x1 < x2, và y’ ≤ 0 ⇔ x ∊ [x1;x2]

⇒ Yêu cầu bài toán ⇔ |x1 – x2| < 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 < 1

Vậy là những giá trị cần tìm.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực m để f(x) = -x3 + 3x2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.

1. m ≥ 0

2. m ≤ 0

Lời giải

Đáp án: D

Ta có đạo hàm y’ = -3x2 + 6x + m – 1.

Hàm số đồng biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2, thỏa mãn |x1 – x2| = 1.

Theo Vi-ét ta có

Để |x1 – x2| > 1 ⇔ (x1 – x2)2 > 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 > 1

⇔ 4m + 5 > 0 hay

Kết hợp với điều kiện ta được:

Câu 3. Tìm m để hàm số y = 2x3 + 3(m – 1) x2 + 6(m – 2) x + 3 nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3.

1. m > 6

2. 0 < m < 6

3. m < 0

4. m < 0 hoặc m > 6

Lời giải

Đáp án: D

Tập xác định D = ℝ.

Ta có đạo hàm y’ = 6x2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2)

Xét phương trình y’ = 0 hay 6x2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2) = 0

Hàm số nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3 khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho|x1 – x2| > 3 (1)

Làm thế nào để biết hàm số đồng biến nghịch biến?

Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f(x) cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và x giảm thì f(x) tăng.

Hàm số chứa m đồng biến khi nào?

Thông thường để xác định tính chất đơn điệu của hàm số người ta tìm đạo hàm của hàm số đó nếu đạo hàm lớn hơn hoặc bằng 0 thì nó đồng biến, nếu hàm số nhỏ hơn hoặc bằng thì nó nghịc biến.

Hàm số đồng biến trên một khoảng khi nào?

Định lí về tính đồng biến nghịch biến của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với: Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Hàm số đồng biến thị đồ thị của nó có dạng như thế nào?

Khi hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì đồ thị đi lên. Khi hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó thì đồ thị đi xuống.