SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NGHỆ ANTRƯỜNG THPT KỲ SƠNĐề tài:TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃYSỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒIVÀ ỨNG DỤNGGiaùo vieân: Traàn ThanhVaânToåÑt: Toaùn: 0979057900Năm học 2014 – 2015“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”MỤC LỤCMỤC LỤC.............................................................................................................1Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................2Phần 2: NỘI DUNG ............................................................................................3A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .....................................................................................3I. DÃY SỐ ............................................................................................................3II. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN..................................................................5B. NỘI DUNG CHÍNH........................................................................................7I. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨCTRUY HỒI............................................................................................................7II. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐBÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ....................................................................................14C. BÀI TẬP ÁP DỤNG .....................................................................................25Phần 3: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ...................................................................28TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................31Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn2“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Phần 1ĐẶT VẤN ĐỀTrong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số làmột phần quan trọng. Học sinh thường gặp phải nhiều bài toán liên quan đếndãy số và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát củadãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quátcủa dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Tuy vậy trongchương trình SGK được ban hành chưa cung cấp được một công cụ đủ mạnh đểgiúp học sinh giải quyết được vấn đề này. Các tài liệu của các tác giả khác khiđề cập đến vấn đề này đều sử dụng kiến thức về phương trình sai phân là kiếnthức của toán học cao cấp, do đó học sinh rất khó lĩnh hội.Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng” sẽcho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đốivới các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tácgiả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trìnhgiảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số.Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìmcách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ. Sử dụngcác kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãysố mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho.Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát củamột số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụthể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác địnhcông thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan.Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bàitoán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi.Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung. Tuynhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nêntrong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theologic, giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn. Qua đó giúphọc sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí.Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn3“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Phần 2NỘI DUNGA. CƠ SỞ LÍ THUYẾTI. DÃY SỐ.1. Định nghĩaa] Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là dãy số vô hạn [gọi tắtlà dãy số]u:n u[n]Đặt u[n] = un và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số [un].b] Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m , được gọi là dãysố hữu hạn.2. Cách cho một dãy số.a] Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát un.Khi đó un = f[n], trong đó f là một hàm số xác định trên .Ví dụ 1: Cho dãy số [un] xác định bởi un = 2n + 1. Khi đó nếu viết dãy số nàydưới dạng khai triển ta được 3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, …b] Dãy số cho bằng phương pháp mô tả.Ví dụ 2: Cho dãy số [un] với un là chữ số thứ n trong cách viết thập phân của số ,khi đó ta có dãy số: u1 = 3; u2 = 1; u3 = 4; u4 = 1; u5 = 5; …trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng un qua n.c] Dãy số cho bằng công thức truy hồi.- Cho số hạng đầu u1[hoặc một vài số hạng đầu]- Với n 2, cho một công thức tính un nếu biết un-1 [hoặc một vài số hạng đứngtrước nó]. Các công thức có thể là:Ví dụ 3: cho dãy số [Fn] xác định bởiDãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi.Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn4“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”3. Tính chất của dãy số.-Dãy số [un] được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un< un+1.Dãy số [un] được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un> un+1.Dãy số [un] được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: .Dãy số [un] được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: .Dãy số [un] được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới,nghĩa là tồn tại số M và m sao cho : .Chú ý :- Dãy số [un] tăng- Dãy số [un] giảm4. Giới hạn của dãy số.a. Dãy số có giới hạn 0.-Ta nói rằng dãy số [un] có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước,mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đốinhỏ hơn số dương đó.Khi đó ta viết :lim[un] = 0 hoặc limun = 0 hoặclimun = 0 .- Định lí 1: Cho hai dãy số [un] và [vn]Nếu với mọi n và limvn = 0 thì limun = 0.- Định lí 2: Nếu thì limqn = 0.b. Dãy số có giới hạn hữu hạn.- Ta nói rằng dãy số [un] có giới hạn là số thực L nếu lim[un – L] = 0.Khi đó ta viết : lim[un] = L hoặc limun = L hoặc . Dãy số có giới hạn là một sốthực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.- Định lí 3: Giả sử limun = A, limvn = B và c là một hằng số. Khi đó :lim[un + vn] = A + B ;lim[un.vn] = A.B;lim[un – vn] = A – B,lim[cun] = cA ;- Định lí 4:[Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn]Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q2, …, u1.qn, … có công bội q với gọi là một cấpsố nhân lùi vô hạn.S = u1 + u1q + u1q2 + … + u1.qn + … =.Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn5“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”c. Dãy số có giới hạn vô cực.- Ta nói rằng dãy số [un] có giới hạn là nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước,mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dươngđó. Khi đó ta viết :lim[un] = hoặc limun = hoặc- Ta nói rằng dãy số [un] có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọisố hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều bé hơn số âm đó. Khiđó ta viết:lim[un] = hoặc limun = hoặc- Định lí 5: Nếu5. Các tổng đặc biệt.II. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN.1. Cấp số cộnga. Định nghĩa: Dãy số [un] xác định bởi[a, d là hai số thực cho trước] được gọi là cấp số cộng.- a là số hạng đầu tiên.- d là công sai.Đặc biệt khi d = 0 thì [un] là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau vàgọi là dãy số không đổi.b. Các tính chất:Định lí 1: Ba số un, un+1, un+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng [un] nếu:Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng [un] được cho bởi công thức:Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên [kí hiệu là Sn] của cấp số cộng [un] đượccho bởi công thức :Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn6“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”2. Cấp số nhân.a. Định nghĩa: Dãy số [un] xác định bởi[a, q là hai số thực khác 0 cho trước] được gọi là cấp số nhân.- a là số hạng đầu tiên.- q là công bội.Đặc biệt khi q = 1 thì [un] là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau vàgọi là dãy số không đổi.b. Các tính chất:Định lí 1: Ba số un, un+1, un+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân [un] nếu:Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân [un] được cho bởi công thức:Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên [kí hiệu là Sn] của cấp số nhân [un] đượccho bởi công thức :Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn7“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”B. NỘI DUNGI. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆTHỨC TRUY HỒIPhần dãy số trong chương trình Đại số & Giải tích 11, khi đề cập đến bàitoán tìm số hạng tổng quát thường sử dụng phương pháp quy nạp để chứngminh. Phương pháp này chỉ khả thi khi chúng ta biết trước công thức số hạngtổng quát, hoặc dự đoán được nó. Trong nhiều trường hợp chúng ta chưa biếttrước và cũng không dự đoán được công thức số hạng tổng quát thì phương pháptrên không khả thi.Vì vậy, phần này sẽ xây dựng cách xác định công thức tổng quát của mộtsố dãy số cho bởi hệ thức truy hồi đặc biệt [các bài toán về dãy số chủ yếu đượccho bởi hệ thức truy hồi dạng này] dựa vào các kiến thức đã biết về cấp số cộng,cấp số nhân và đặc biệt là cách lựa chọn các dãy số phụ thích hợp.1. Các ví dụ đơn giản.Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiTa thấy dãy số [un] là một cấp số cộng, với u1 = 3, công sai d = 2.Áp dụng kết quả [2] ta có un = 3 + [n-1]2 = 2n + 1Vậy un = 2n + 1 .Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiTa thấy dãy số [un] là một cấp số nhân, với u1 = -2, công bội q = 3.Áp dụng kết quả [4] ta có un = -2.3n-1Vậy un = -2.3n-1.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.Ở phần 1 ta thấy việc xác định số hạng tổng quát của các dãy số đã cho làkhá đơn giản khi áp dụng trực tiếp các kết quả đã có về cấp số cộng và cấp sốnhân. Tuy nhiên thực tế các bài toán chúng ta gặp hầu hết đều không đơn giảnnhư thế, chẳng hạn dãy số :Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn8“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Ở đây ta nhận thấy trong hệ thức truy hồi thì hệ số đi kèm u n-1 khác 1 dođó nó không phải là cấp số cộng, đồng thời hệ số đi kèm khác 0 nên nó không làcấp số nhân ddơn thuần.Khi đó ta làm thế nào để xác định số hạng tổng quát của dãy số đã cho?Sau đây ta sẽ nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi:GiảiVới bài toán này thì công việc không còn đơn giản, vì dãy số đã cho không phảilà cấp số cộng hay cấp số nhân, ta sẽ giải bài toán này với tư tưởng cố gắng đưadãy số đã cho về dạng một cấp số nhân.Gọi [vn] là một dãy số sao cho un = vn – 1 [1]. Suy ra v1 = 3Và từ hệ thức truy hồi ta có :Như vậy [vn] là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 = 3 và công bội q = 3, nên tacó số hạng tổng quát vn=3.3n-1=3nThay vào [1] ta có un = 3n – 1, .Nhận xét: Mấu chốt của cách làm trên là ta đặt u n = vn – 1, và thay vào hệthức truy hồi của [un] ta dễ dàng suy ra [vn] là một cấp số nhân. Từ đó suy ra kếtquả bài toán.Vậy câu hỏi đặt ra là «tại sao lại đặt un=vn– 1?», « con số -1 từ đâu màcó ? ». Quay lại ví dụ trên ta thấy nếu không có số « 2 » trong hệ thức truy hồithì dãy số đã cho là một cấp số nhân, do đó việc xác định số hạng tổng quát củadãy số này là đơn giản. Vì vậy ta tìm cách « loại bỏ » số « 2 » để đưa dãy số đãcho trở thành một cấp số nhân bằng cách đặt un = vn + c, thay vào hệ thức truyhồi [*] ta có vn = 3vn-1 + 2c + 2. Ta chọn c sao cho 2c + 2 = 0, suy ra c = -1. Dođó mà ta có cách đặt như trên ......Tổng quát : Với cách làm như trên ta xác định được số hạng tổng quát của dãysố [un] cho bởi:- Nếu a = 1 thì [un] là cấp số cộng với công sai d = b, nên ta có un= + [n-1]b.Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn9“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”- Nếu , ta gọi [vn] là dãy số có các số hạng thỏa mãn un = vn + c, thay vào hệ thứctruy hồi ta có vn = avn-1 + [a-1]c + b.+ Ta chọn c sao cho [a-1]c + b = 0 hay+ Khi đó [vn] là một cấp số nhân với công bội q = a, số hạng đầu v1=u1 - c, tức làv1 = .Do đó số hạng tổng quátSuy raVậy ta có kết quả sau:Dạng 1 : Dãy số [un] cho bởi [a, b là các số thực khác 0] có số hạng tổngquát như sau:Như vậy ta đã giải quyết xong trường hợp b trong biểu thức truy hồi đi kèm làhằng số, sau đây ta sẽ xét một dãy số mà b là một biểu thức f[n].Ví dụ 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiVới tư tưởng như ở ví dụ 3. Để tìm số hạng tổng quát của dãy số trên ta sẽ tìmcách làm mất đi « 3n-2 », và đưa dãy số đã cho về cấp số nhân.Muốn vậy ta gọi [vn] là dãy số thỏa mãn un = vn + an + b.Khi đó ta có:vn = 2[vn-1+a[n-1]+b]- an – b + 3n – 2vn = 2vn-1 + [a + 3]n - 2a + b – 2Ta chọn a, b sao cho [a + 3]n - 2a + b – 2 = 0Như vậy ta có un = vn - 3n – 4Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn10“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”[vn] xác định bởi là cấp số nhân, do đó vn = 8.2n-1=2n+2.Vậy un = 2n+2 - 3n – 4.Tổng quát : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:Với f[n] đa là một đa thức bậc k, ta làm như sau:Gọi [vn] là dãy số thỏa mãn un = vn + g[n].Khi đó ta cóvn = avn-1 + ag[n-1] – g[n] + f[n].Ta lựa chọn g[n] thích hợp sao cho ag[n-1] – g[n] + f[n] = 0Do đó từ hệ thức truy hồi ta cóun – g[n] = a[un-1 – g[n-1]]=[un-2 – g[n-2]]a2 =……=[u1 – g[1]]an-1.Vậy un = [u1 – g[1]]an-1+ g[n].Vấn đề ở đây là ta chọn g[n] như thế nào cho thích hợp?--Nếu a = 1 thì có bậc nhỏ hơn k [là bậc của f[n]], do đó ta chọn g[n] làmột đa thức bậc k+1, và để đơn giản ta chọn hệ số tự do bằng không. Đểxác định các hệ số của g[n] từ [*] ta cho các hệ số của đa thức bằng 0.Nếu thì có bậc k cùng bậc với f[n], do đó ta chọn g[n] là một đa thức bậck. Để xác định các hệ số của g[n] từ [*] ta cho các hệ số của đa thức bằng0.*] Vậy ta có kết quả sau:Dạng 2 : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:Với f[n] đa là một đa thức bậc k, a và là hằng số, ta làm như sau:Gọi [vn] là dãy số thỏa mãn, un = vn + g[n], từ đó suy ra .Ta có được un = [u1 – g[1]]an-1 + g[n].Chú ý: Nếu a = 1 thì ta chọn g[n] là đa thức bậc k + 1 có hệ số tự do bằng 0,còn nếu thì chọn g[n] là đa thức bậc k.Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn11“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Ta vận dụng kết quả trên để tìm số hạng tổng quát của dãy số sau đây.Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiTa có hệ số a = 1.Theo kết quả trên ta có un = u1 – g[1] + g[n], với g[n] = an2 + bn là một đa thứcbậc 2 có hệ số tự do bằng 0, thỏa mãn[2a – 4]n – a + b + 2 = 0Do đó g[n] = 2n2. Vậy .Tiếp theo ta sẽ xét trường hợp f[n] =Ví dụ 6: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiTương tự các ví dụ trên.Gọi [vn] là dãy số thỏa mãn un = vn + a.2n.Khi đó ta có vn = 3vn-1 + . Chọn a = -2. Suy ra un = vn - 2n+1.Từ đó [vn] là dãy số xác định bởi .Như vậy [vn] là một cấp số nhân với và công bội q = 3.Do đó vn = 3.3n-1=3nVậy un = 3n – 2n+1.Tổng quát : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:a, b, x0 là hằng số, . Ta làm như sau:Gọi [vn] là một dãy số thỏa mãn un = vn + .Khi đó ta cóChọn k sao cho .Từ hệ thức truy hồi ban đầu ta có:Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn12“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”.Vậy với .Trường hợp ta phân tích , khi đó ta có..Vậy ta có kết quả sau :Dạng 3 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:Với a, b, x0 và là hằng số:-NếuNếu ta gọi gọi [vn] là một dãy số thỏa mãn un = vn+ .Chọn k sao cho .Ta đượcTừ Dạng 3 ta có thể xây dựng cách tìm số hạng tổng quát của dãy số ở dạng sau:Dạng 4 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi :Với a, b, c, x0, là hằng sốỞ trên ta đã nghiên cứu cách xác định số hạng tổng quát của một số dãy số chobởi hệ thức truy hồi ở dạng un = f[un-1]. Sau đây ta sẽ nghiên cứu phương phápđể tìm số hạng tổng quát của một vài dạng dãy số mà un = f[un-1, un-2].Ví dụ 7: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiTa cóGọi [vn] là dãy số thỏa mãn .Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn13“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Suy ra [vn] xác định bởi là một cấp số nhân nênDo đó , thay vào [*] ta cóNhư vậy ta có [un] là một dãy số xác định bởi :Đến đây đưa bài toán về dạng 3 ở trên và ta dễ dàng tìm đượcTừ ví dụ trên suy ra cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau:Dạng 5 : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:Với a, b, x1 và x2 là hằng số và , ta làm như sau:-Tìm 2 sốTa có , xét dãy số [vn] thỏa mãn , suy ra [v n] là một cấp số nhân, do đódễ dàng tìm được vn. Từ đó đưa về dãy số Dạng 3 và suy ra kết quả.Ví dụ 8: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiGọi là hai số thỏa mãnKhi đó từ hệ thức truy hồi, ta cóĐặt [vn] là dãy số xác định bởi là một cấp số nhân, do đó .Từ [*] suy ra :Như vậy [un] là một dãy số xác định bởi :Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn14“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Theo Dạng 3 ta cóChú ý : Với cách làm tương tự kết hợp cả Dạng 3, 4, 5 ta sẽ xây dựng đượcphương pháp tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho ở dạng sau :Dạng 6 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:Với a, b, x1 và x2 là hằng số và , f[n] là một đa thức ẩn n.Dạng 7 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:Với a, b, x1, x2 và là hằng số và , f[n] là một đa thức ẩn n.Các Dạng toán trên ta đã tìm được số hạng tổng quát của các dãy số mà hệ thứctruy hồi là một biểu thức tuyến tính. Sau đây ta sẽ tìm số hạng tổng quát của dãysố mà hệ thức truy hồi ở dạng phi tuyến với hệ số hằng đơn giản.Ta xét một vài ví dụ như sau :Ví dụ 9: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiTa cóĐặt thì dãy số xác định bởi :Từ đó theo Dạng 1 ta dễ dàng có được .VậyVí dụ 10: Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:GiảiGiáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn15“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này lại không đơn giản như ví dụ trên nữavì ta thấy ở tử số có cả hệ số tự do. Vì vậy ta tìm cách làm mất đi hệ số tự do củatử bằng cách, đặt , với t là hằng số. Thay vào [*] ta có :Chọn t sao cho –t2 + 1 = 0Do đó xác định bởiTa có:Đặt thì dãy số xác định bởiTừ đó theo Dạng 1 ta dễ dàng có đượcThay vào [2] ta có:Tiếp tục thay t = 1 và vào [1] ta có:Từ hai ví dụ trên ta có kết quả sau :Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn16“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Dạng 8: Để tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:Với , a, b, p và q là hằng số, ta làm như sau:-Đặt , ta có :-Ta chọn sao cho .Khi đó ta có :-Từ đây đặt , tìm được [xn] suy ra [vn] và có được [un].II. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐBÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ.Trong phần này chúng ta sẽ cùng nhau xem xét một số ứng dụng rất hiệuquả của bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số như: Tính giới hạn của dãy số,chứng minh tính bị chặn, tính đơn điệu của dãy số, tính tổng của một dãy số, …Ví dụ 1: Cho dãy số [un] xác định bởi :Tính limunGiảiĐặt vn = un - thì dễ dàng chứng minh được dãy số [vn] là một cấp số nhân xácđịnh như sau:Do đó ta cóSuy raTừ đó ta đượcGiáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn17“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Ví dụ 2 : Cho dãy số [un] thỏa mãna. Đặt , chứng minh [vn] là một cấp số cộng.b. Tìm số hạng tổng quát của [un] và [vn]. Từ đó tính limun và limvn.Giảia. Ta cóMặt khácVậy [vn] là một cấp số cộng với và d = -1.b. [vn] là một cấp số cộng do đó số hạng tổng quát của [vn] là:VậyVí dụ 3: Cho dãy số [un] xác định bởi :TínhGiảiTa có:Đặt , ta có [vn] là dãy số xác định bởi :Sử dụng cách giải bài toán ở Dạng 2 ta tìm đượcGiáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn18“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”VậyVí dụ 4: Cho dãy số [un] xác định bởi:Số 16385 có nằm trong dãy [un] không? Nếu có thì dó là số hạng thứ mấy?GiảiTa cóĐặt , thì là dãy số xác định bởi , tức là một cấp số nhân do đó số hạng tổng quátcảu nó là .Khi đó dãy số xác định bởi:Từ đó tìm được số hạng tổng quát của là:XétVậy 16385 là số hạng thứ 15 của dãy sốVí dụ 5: Cho dãy số [un] xác định bởi:a] Tìm số hạng tổng quát unb] Tính tổng n số hạng đầu tiên Sn.Giảia] Từ hệ thức truy hồi ta cóĐặt , ta có dãy số [vn] là một cấp số cộng xác định bởi :Do đó số hạng tổng quátNhư vậy dãy số [un] xác định bởi:Suy ra , vớiSao choGiáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn19“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:b. Sn = u1 + u2 + … + unVậyVí dụ 6: Cho dãy số [un] xác định bởi:a] Xác định số hạng tổng quát của dãy số [un].b] Tính tổng[HSG Long An 2011]Giảia] Từ hệ thức truy hồi ta cóĐặt , thì là dãy số xác định bởi :Từ đó dễ dàng tìm được .Vậy ta cób] Ta có:Ví dụ 7: Cho dãy số [un] xác định bởi:Tính limun.[HSG - TP HCM 2012-2013]GiảiĐặt , ta cóGiáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn20“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Chọn t sao choKhi đó [ là dãy số xác định bởi :Từ [*] ta có :Đặt , thì là dãy số xác định bởi :Từ đó dễ dàng tìm được số hạng tổng quát của dãy số là:VậyVí dụ 8: Cho dãy số [xn] xác định bởi:Tính[Olympic 30/04/2006 – Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ]GiảiTa cóĐặt , thì là dãy số xác định bởi:Từ đó dễ dàng suy ra là một cấp số cộng xác định bởiDo đó ta cóSuy ra:VậyGiáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn21“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Ví dụ 9: Cho dãy số[ un ]xác định bởiu1 = 41un+1 = 9 un + 4 + 4 1 + 2un[Tìm công thức số hạng tổng quátun]∀n ∈ N *.của dãy số.[HSG Thái Nguyên 2011 – 2012]GiảiĐặtxn = 1 + 2un ∀n ∈ N *Ta cóxn ≥ 0vàxn2 = 1 + 2un , ∀n ∈ N *hayxn2 − 1un =2Thay vào giả thiết, ta được:xn2+1 − 1 1 xn2 − 1= + 4 + 4 xn ÷29 2⇔ 9 xn2+1 − 9 = xn2 − 1 + 8 + 8 xn⇔ [ 3xn +1 ] = [ xn + 4 ]2Suy ra:HayĐặt[ Doxn ≥ 0 , ∀n ∈ N *]3n+1 xn +1 = 3n xn + 4.3n , ∀n ∈ N *yn = 3n xn , ∀n ∈ N *Từ đóHay3xn+1 = xn + 4 ∀n ∈ N *2. Ta có:yn +1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N *yn+1 = y1 + 4 [ 3n + 3n−1 + ..... + 3] , ∀n ∈ N *yn +1 = y1 − 6 + 2.3n+1 , ∀n ∈ N *Theo cách đặt ta có:x1 = 3 ⇒ y1 = 9 ⇒ yn = 3 + 2.3nGiáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn.22“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”xn = 2 +Suy ra:Do đó1, ∀n ∈ N *n −13141 un = 3 + n −1 + 2 n −2 ÷ , ∀n ∈ N *233 Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn23“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”C. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số [un] cho bởi:a]c]e]g]i]u1 = 1*un +1 = 3un + 2[n ∈ N ]u1 = 2*un +1 = un + 2n + 1[ n ∈ N ]u1 = 12*un +1 = 5un − 2n + 9[n ∈ N ]u1 = 2n*un +1 = 4un + 3 [n ∈ N ]j]b]d]f]h]u1 = 211*u=u+ n +1 3 n 3 [n ∈ N ]u1 = 12*un +1 = un + n [n ∈ N ]u1 = 1n +1*un +1 = 3un + 2 [ n ∈ N ]u1 = 1; u2 = 5*un + 2 = 5un +1 − 6un [n ∈ N ]u1 = u2 = 1un − 2un −1 + un− 2 = 2; ∀n ≥ 3Bài 2: Cho dãy số [un] xác định bởi:a] Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy [un].b] Chứng minh rằng có thể biểu diễn thành tổng của ba số tự nhiên liên tiếpvới .Bài 3:Cho dãy số [un] xác định bởi:a] Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy [un].b] Tìm các giá trị của n để .Bài 4: [Đề thi OLYPIC 30 - 4 Toán 11 Lần thứ VIII - 2002]Cho dãy số [un] xác định bởi:Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn24“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”Tìm công thức số hạng tổng quát[x ]un.nBài 5: Cho dãy sốxác định như sau xn + 2 − 2 xn +1 + xn = 2 x0 = 1, x1 = 0Xác định số tự nhiên n sao cho[x ]n∈ Nxn +1 + xn = 22685nBài 6: Cho dãy sốxác định như sau xn+ 2 + 8.xn +1 + 9.xn = 0 x0 = 2, x1 = −8Tính giá trị của biểu thứcBài 7: Cho dãy số[u ]nA = x2006 − 5.x2007 + 4thoả mãn điều kiệnun+ 2 − 2.un +1 + un = 2n∈ Nu0 = 1, u1 = 0Chứng minh rằngunn∈ N[ n ≥ 2]là một số chính phương.Bài 8:[Đề thi HSG Đồng Tháp 2011]Cho dãy số [un] xác định bởi:Hãy xác định công thức số hạng tổng quát un.Bài 9: [Đề thi HSG Hà Nam 2011 – 2012]Cho dãy số [un] xác định bởi:a] Chứng minh dãy số trên có giới hạn, tìm giới hạn đó.b] Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn25