Đề bài
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn [O] kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB tới đường tròn [C nằm giữa M và B]. Phân giác của góc \[\widehat {BAC}\] cắt BC tại D và cắt đường tròn [O] tại N. Chứng minh:
a] MA = MD
b] \[M{A^2} = MC.MB\]
c] \[N{B^2} = NA.ND\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh \[\widehat {ADC}\]và \[\widehat {MAN}\] cùng bằng \[\dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\]. Từ đó suy ra tam giác MAD cân tại M.
b] Chứng minh tam giác MAC và tam giác MBA đồng dạng.
c] Chứng minh tam giác NBA và tam giác NDB đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {ADC}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn \[ \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BN}}{2}\].
Mà \[\widehat {BAN} = \widehat {CAN}\][AN là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]] \[ \Rightarrow sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\] [hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau].
\[ \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,CN}}{2}\]\[\; = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\].
Lại có \[\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\] [số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn],
\[ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {MAN} \Rightarrow \Delta MAD\] cân tại M \[ \Rightarrow MA = MD\].
b] Xét tam giác MAC và tam giác MBA có:
\[\widehat M\] chung;
\[\widehat {MAC} = \widehat {MBA}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC]
\[ \Rightarrow \Delta MAC\] đồng dạng \[\Delta MBA\] [g.g]
\[ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \] \[\Rightarrow M{A^2} = MB.MC\].
cc] Xét tam giác NBA và tam giác NDB có:
+] \[\widehat N\] chung;
+] \[sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\] \[ \Rightarrow \widehat {NAB} = \widehat {NBD}\] [trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau];
\[ \Rightarrow \Delta NBA \sim \Delta NDB\,\,\left[ {g.g} \right]\] \[ \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{ND}} = \dfrac{{NA}}{{NB}}\] \[ \Rightarrow N{B^2} = NA.ND\].