Đề bài
Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến chung của parabol \[y = {x^2} - 3x\] đi qua điểm \[A\left[ {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right]\] và chúng vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k là
\[y = k\left[ {x - {3 \over 2}} \right] - {5 \over 2}\] \[\left[ {{D_k}} \right]\]
Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng \[\left[ {{D_k}} \right]\] là nghiệm của phương trình
\[\eqalign{& {x^2} - 3x = kx - {3 \over 2}k - {5 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2[k + 3]x + 3k + 5 = 0 \cr} \]
Đường thẳng \[\left[ {{D_k}} \right]\] là tiếp tuyến của parabol khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép, tức là
\[\eqalign{& \Delta ' = {\left[ {k + 3} \right]^2} - 2\left[ {3k + 5} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {k^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \pm 1 \cr} \]
Như vậy có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A.
Hệ số góc của hai tiếp tuyến đó là \[{k_1} = 1\] và \[{k_2} = - 1\].
Vì \[k_1.{k_2} = - 1\] nên hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.