Đề bài - bài 3.3 trang 129 sbt hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi Pvà Qlần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BDlần lượt ta lấy các điểm M, Nsao cho

\(\displaystyle {{AM} \over {AC}} = {{BN} \over {B{\rm{D}}}} = k\left( {k > 0} \right)\)

Chứng minh rằng ba vectơ \(\displaystyle \overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \)đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {P{\rm{D}}} } \right) \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AP} } \right) + \left( {\overrightarrow {B{\rm{D}}} - \overrightarrow {BP} } \right)} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) - \underbrace {\left( {\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right] \cr
& = {1 \over 2}.{1 \over k}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} } \right) \cr} \)

Vì \(\displaystyle \overrightarrow {AC} = {1 \over k}.\overrightarrow {AM} \)và \(\displaystyle \overrightarrow {B{\rm{D}}} = {1 \over k}.\overrightarrow {BN} \)

Đồng thời \(\displaystyle \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} \)và \(\displaystyle \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} \), nên \(\displaystyle \overrightarrow {PQ} = {1 \over {2k}}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right)\) vì \(\displaystyle \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(\displaystyle \overrightarrow {PQ} = {1 \over {2k}}\overrightarrow {PM} + {1 \over {2k}}\overrightarrow {PN} \)

Do đó ba vectơ \(\displaystyle \overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \)đồng phẳng.