Đề bài
Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d // BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B, C và H [xem hình vẽ].
a] Chứng minh rằng: \[{{AH'} \over {AH}} = {{B'C'} \over {BC}}\]
b] Áp dụng: Cho biết \[AH' = {1 \over 3}AH\] và diện tích tam giác ABC là 67,5 cm2. Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
a] ABC có \[H'C'//HC\] \[[d//BC,H',C' \in d,H \in BC]\]
\[ \Rightarrow {{AH'} \over {AH}} = {{AC'} \over {AC}}\] [định lý Thales] [1]
ABC có \[B'C'//BC[d//BC;B',C' \in d]\]
\[ \Rightarrow {{AC'} \over {AC}} = {{B'C'} \over {BC}}\] [hệ quả của định lý Thales] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[{{AH'} \over {AH}} = {{B'C'} \over {BC}}\]
b] Ta có
\[\left\{ \matrix{ AH \bot BC[AH\,là\,đường\,cao] \hfill \cr B'C'//BC \hfill \cr} \right.\]\[\, \Rightarrow AH \bot B'C' \]
\[\Rightarrow AH' \bot B'C'[H' \in AH]\]
Vì \[AH' = {1 \over 3}AH \Rightarrow {{AH'} \over {AH}} = {1 \over 3} \]
\[\Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{AH'} \over {AH}} = {1 \over 3}\]
Ta có: \[{{{S_{AB'C'}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{{1 \over 2}AH'.B'C'} \over {{1 \over 2}AH.BC}} = {{AH'} \over {AH}}.{{B'C'} \over {BC}} \]\[\,= {1 \over 3}.{1 \over 3} = {1 \over 9}\]
\[\Rightarrow {{{S_{AB'C'}}} \over {67,5}} = {1 \over 9}\]
Do đó \[{S_{AB'C'}} = {{67,5} \over 9} = 7,5[c{m^2}]\]