Đặt\[{I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx} \]. Chứng minh rằng\[{I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\]. Từ đó hãy tính\[{I_5}\]
Đề bài
Đặt\[{I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx} \]. Chứng minh rằng\[{I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\]. Từ đó hãy tính\[{I_5}\]
Lời giải chi tiết
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \[u = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 1}}x,v' = c{\rm{os}}x\] suy ra
\[{I_n} = \left[ {n - 1} \right]\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{n - 2}}x.{{\sin }^2}xdx} \]
Thay \[{\sin ^2}x = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\], ta có điều cần chứng minh.
Suy ra \[{I_5} = {4 \over 5}{I_3} = {4 \over 5}.{2 \over 3}{I_1} = {8 \over {15}}\]