Đề bài
Chứng minh rằng nếu a 0 và b0 thì: \[{{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi tương đương đưa về các bđt luôn đúng.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr&\Leftrightarrow \left[ {a + b} \right]\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] \le 2\left[ {{a^3} + {b^3}} \right]\cr &\Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr
& \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a\left[ {{a^2} - {b^2}} \right] - b\left[ {{a^2} - {b^2}} \right] \ge 0\cr &\Leftrightarrow [a - b][{a^2} - {b^2}] \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {[a - b]^2}[a + b] \ge 0 \cr} \]
Điều suy ra luôn đúng dovới a 0; b 0 thì [a - b]2 0, a + b 0.
Vậy \[{{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\].
Dấu "=" xảy ra khi
\[\left[ \begin{array}{l}
{\left[ {a - b} \right]^2} = 0\\
a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\]