Đề bài
Câu 1. [0,5 điểm].Một phương trình có tập nghiệm là \[S\]. Nếu một số bất kì đều là nghiệm của phương trình đó thì:
[A] \[S\] là một tập số bất kì;
[B] \[S=\mathbb R\];
[C] \[S=\emptyset \];
[D] Không có kết luận gì về tập \[S\].
Hãy chọn khẳng định đúng.
Câu 2. [0,5 điểm].Cho hai phương trình tương đương với nhau, kí hiệu là [1] và [2]. Biết rằng một nghiệm của phương trình [1] là \[x=5,\] một nghiệm của phương trình [2] là \[x=-2\].
Khi đó, nếu \[S\] là tập nghiệm của phương trình [2] thì:
\[\begin{array}{l}
[A]\,S = {\rm{\{ }}5\} \\
[B]\,S = {\rm{\{ }} - 2\} \\
[C]\,S = {\rm{\{ }}5; - 2\} \\
[D]\,S \supset {\rm{\{ }}5; - 2\} .
\end{array}\]
Câu 3. [0,5 điểm].Số\[\dfrac{{ - 1}}{2}\] là nghiệm của phương trình
[A] \[2x=4\]
[B] \[2x-1=0\]
[C] \[5=2-6x\]
[D] \[5=6x+2\]
Câu 4. [0,5 điểm].Điều kiện xác định của phương trình\[\dfrac{2}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{{x^3} + 1}} \]\[\,= \dfrac{1}{{3{x^2} + 3x}}\] là
[A] \[x\ne 1\] và \[x\ne -1\]
[B] \[x\ne0\] và \[x\ne -1\]
[C] \[x\ne -1\]
[D] \[x\ne1\] và \[x\ne0\].
Hãy chọn khẳng định đúng.
Câu 5. [0,5 điểm].Tập nghiệm của phương trình \[x[x+5]=3[x+5]\] là
\[\begin{array}{l}
[A]\,S = {\rm{\{ 3;}} - {\rm{5}}\} \\
[B]\,S = {\rm{\{ 3;5}}\} \\
[C]\,S = {\rm{\{ }} - {\rm{3}}; - 5\} \\
[D]\,S = {\rm{\{ }} - 3;5\} .
\end{array}\]
Hãy chọn khẳng định đúng.
Câu 6. [0,5 điểm].Tập nghiệm của phương trình \[x\left[ {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right] = \dfrac{1}{{x + 1}} - 1\] là
\[\begin{array}{l}
[A]\,S = {\rm{\{ }} - {\rm{1;0}}\} \\
[B]\,S = {\rm{\{ 1;0}}\} \\
[C]\,S = {\rm{\{ 0}}\} \\
[D]\,S = {\rm{\{ }} - 1\} .
\end{array}\]
Hãy chọn khẳng định đúng.
Câu 7. [4 điểm].Giải phương trình:
\[\begin{array}{l}
a]\,\dfrac{{{x^2} - 1}}{3} = 2\left[ {x + 1} \right]\\
b]\,\dfrac{3}{{x - 2}} + \dfrac{7}{{x + 2}} = \dfrac{{8x}}{{{x^2} - 4}}
\end{array}\]
Câu 8. [3 điểm].Hai người khởi hành từ A lúc \[6\] giờ sáng để đến B. Người thứ nhất đến B lúc \[8\] giờ sáng cùng ngày. Người thứ hai đi với vận tốc chậm hơn so với người kia \[10km/h\] nên đến B chậm hơn \[40\] phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp:
\[x\] là số bất kì thì \[x\in\mathbb R\].
Lời giải
Một số bất kì đều là nghiệm của phương trình nghĩa là phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn.
Do đó \[S=\mathbb R\].
Chọn B.
Câu 2:
Phương pháp:
Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải
\[x=5\] là nghiệm của phương trình [1] nên \[x=5\] cũng là nghiệm của phương trình [2].
Do đó \[\{5;-2\}\subset S\].
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp:
Lần lượt thay\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] vào các phương trình nếu cho ta một khẳng định đúng thì\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] là nghiệm của phương trình đó.
Lời giải
- Thay\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] và phương trình \[2x=4\] ta được:
\[2.\dfrac{{ - 1}}{2} = - 1 \ne 4\]
Vậy\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] không là nghiệm của phương trình\[2x=4\].
- Thay\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] và phương trình \[2x-1=0\] ta được:
\[2.\dfrac{{ - 1}}{2} - 1 = - 2 \ne 0\]
Vậy\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] không là nghiệm của phương trình\[2x-1=0\].
-Thay\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] và phương trình \[5=2-6x\] ta được:
\[5 = 2 - 6.\dfrac{{ - 1}}{2}\]
Vậy\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] là nghiệm của phương trình\[5=2-6x\].
-Thay\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] và phương trình \[5=6x+2\] ta được:
\[5 \ne 6.\dfrac{{ - 1}}{2} + 2\]
Vậy\[x = \dfrac{{ - 1}}{2}\] không là nghiệm của phương trình\[5=6x+2\].
Chọn C.
Câu 4:
Phương pháp:
Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của các mẫu thức khác \[0\].
Lời giải:
\[{x^2} - x + 1\]\[\,= {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{3}{4} > 0\]
\[\begin{array}{l}
{x^3} + 1 = \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - x + 1} \right]\\
3{x^2} + 3x = 3x\left[ {x + 1} \right]
\end{array}\]
Điều kiện xác định của phương trình là: \[x\ne0;x\ne-1\].
Chọn B.
Câu 5:
Phương pháp:
Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích
\[A\left[ x \right]B\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left[ x \right] = 0\\
B\left[ x \right] = 0
\end{array} \right.\]
Lời giải:
\[\begin{array}{l}
x\left[ {x + 5} \right] = 3\left[ {x + 5} \right]\\
\Leftrightarrow x\left[ {x + 5} \right] - 3\left[ {x + 5} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {x + 5} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 5 = 0\\
x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 5\\
x = 3
\end{array} \right.
\end{array}\]
Chọn A.
Câu 6:
Phương pháp:
Tìm ĐKXĐ của phương trình. Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.
\[A\left[ x \right]B\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left[ x \right] = 0\\
B\left[ x \right] = 0
\end{array} \right.\]
Lời giải:
ĐKXĐ: \[x\ne-1\].
\[x\left[ {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right] = \dfrac{1}{{x + 1}} - 1\]
\[\Leftrightarrow x\left[ {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right] - \left[ {\dfrac{1}{{x + 1}} - 1} \right] \]\[\,= 0\]
\[\Leftrightarrow x\left[ {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right] + \left[ {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right] \]\[\,= 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]\left[ {x + 1} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - \dfrac{1}{{x + 1}} = 0\\
x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - \dfrac{1}{{x + 1}} = 0\,\,\,\,[*]\\
x = - 1\text{ [loại]}
\end{array} \right.\]
Giải phương trình [*]:
\[\begin{array}{l}
1 - \dfrac{1}{{x + 1}} = 0\,\,\,\,[*]\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = 0\\
\Rightarrow x = 0\text{ [thỏa mãn ĐKXĐ]}
\end{array}\]
Phương pháp:
a] Quy đồng hai vế khử mẫu đặt nhân tử chung tìm \[x\]
b] Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1:Tìm điều kiện xác của phương trình.
- Bước 2:Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
- Bước 3:Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4:Kết luận.
Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a]{\mkern 1mu} \dfrac{{{x^2} - 1}}{3} = 2\left[ {x + 1} \right]\\
\Leftrightarrow {\mkern 1mu} \dfrac{{{x^2} - 1}}{3} - \dfrac{{6\left[ {x + 1} \right]}}{3} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 1 - 6\left[ {x + 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] - 6\left[ {x + 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1 - 6} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 7} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
x - 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 7
\end{array} \right.
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b] \;ĐKXĐ:\,\,x \ne \pm 2{\mkern 1mu} \\
\dfrac{3}{{x - 2}} + \dfrac{7}{{x + 2}} = \dfrac{{8x}}{{{x^2} - 4}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{3\left[ {x + 2} \right] + 7\left[ {x - 2} \right]}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{8x}}{{{x^2} - 4}}\\
\Rightarrow 3\left[ {x + 2} \right] + 7\left[ {x - 2} \right] = 8x\\
\Leftrightarrow 3x + 6 + 7x - 14 = 8x\\
\Leftrightarrow 2x = 8\\
\Leftrightarrow x = 8:2\\
\Leftrightarrow x = 4\text{ [thỏa mãn ĐKXĐ]}
\end{array}
\end{array}\]
Câu 8:
Phương pháp:
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Lời giải:
Gọi vận tốc của người thứ nhất là \[x\] [km/h] [\[x>10\]].
Vận tốc của người thứ hai là \[x-10\] [km/h].
Thời gian người thứ nhất đi hết quãng đường AB là: \[8-6=2\] [giờ].
Thời gian người thứ hai đi hết quãng đường AB là:\[2 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}\] [giờ].
Vì cùng đi quãng đường AB nên quãng đường đi của hai xe là như nhau nên ta có:
\[\begin{array}{l}
2x = \dfrac{8}{3}\left[ {x - 10} \right]\\
\Leftrightarrow \dfrac{{6x}}{3} - \dfrac{{8\left[ {x - 10} \right]}}{3} = 0\\
\Leftrightarrow 6x - 8x + 80 = 0\\
\Leftrightarrow - 2x = - 80\\
\Leftrightarrow x = \left[ { - 80} \right]:\left[ { - 2} \right]\\
\Leftrightarrow x = 40\,\text{[thỏa mãn]}
\end{array}\]
Vậy quãng đường AB dài số kilômét là:
\[S=40.2=80\] [km].