Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Bài 1 [trang 77 SGK Giải tích 12]: Vẽ đồ thị của các hàm số:
Lời giải:
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
+ y' =
4^{x}
.ln4 > 0 ∀ x ∈ R.
⇒ Hàm số đồng biến trên R.
⇒ y = 0 [trục Ox] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số đi qua [0; 1] và [1; 4].
- Hàm số
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
⇒ Hàm số nghịch biến trên R.
⇒ y = 0 [trục Ox] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị hàm số:
+ Đồ thị hàm số đi qua [0; 1] và
Kiến thức áp dụng
+ Hàm số y =
a^{x}
có đạo hàm tại mọi x và:
+ Với a > 1 thì ln a > 0
Với 0 < a < 1 thì ln a < 0
Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại các điểm \[[0;1]\], đi qua điểm \[[1;4]\] và qua các điểm \[[\frac{1}{2}; 2]\], \[[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]\], \[[-1; \frac{1}{4}]\].
- Đồ thị hàm số \[y=\left [ \frac{1}{4} \right ]^{x}\]
Tập xác định: \[\mathbb R\]
Sự biến thiên:
\[y' = - {\left[ {{1 \over 4}} \right]^x}\ln 4 < 0,\forall x \in \mathbb R\]
- Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \cr} \]
Tiệm cận ngang \[y=0\]
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm [0; 1], đi qua điểm [1; \[\frac{1}{4}\]] và qua các điểm [\[-\frac{1}{2}\]; 2], [-1;4].
Bài 2 trang 77 sgk giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
- \[y = 2xe^x +3sin2x\];
- \[y = 5x^2- 2^xcosx\];
- \[y = {{x + 1} \over {{3^x}}}\].
Giải:
- \[y' = [2x{e^x}]' + 3[\sin 2x]' = 2.{e^x} + 2x[{e^x}]'\]
\[+ {\rm{ }}3.2cos2x\]=\[2\left[ {1 + x} \right]{e^x} + 6cos2x\]
- \[y' = 10x-[{2^x}cosx]'\]\[ = 10x-[{2^x}ln2.cosx-{2^x}.sinx]\]\[= 10x - {2^x}\left[ {ln2.cosx-sinx} \right]\].
\[\eqalign{ & y' = \left[ {x + 1} \right]'. {3^{ - x}} + \left[ {x + 1} \right]\left[ {{3^{ - x}}} \right]' \cr & = {3^{ - x}} + \left[ {x + 1} \right]{3^{ - x}}\ln 3,\left[ { - x} \right]' \cr & = {3^{ - x}}\left[ {1 - \ln 3\left[ {x + 1} \right]} \right] \cr & = {{1 - \left[ {{\rm{x}} + 1} \right]\ln 3} \over {{3^x}}} \cr} \]
Bài 3 trang 77 sgk giải tích 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
- \[y = lo{g_2}\left[ {5 - 2x} \right]\] ;
- \[y =lo{g_3}[{x^2} - 2x]\] ;
- \[y=log_{\frac{1}{5}}\left [ x^{2} -4x+3 \right ]\];
- \[y= log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\].
Giải:
Hàm số \[y = log_{a}\varphi [x]\] [ cơ số a dương, khác 1 đã cho] xác định khi và chỉ khi \[\varphi [x]\] > 0. Vì vậy hàm số \[y= log_{a}\varphi [x]\] có tập xác định là tập nghiệm bất phương trình \[\varphi [x]\] > 0.
- ta có \[5- 2x > 0\] \[\Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\]. Vậy hàm số \[y = lo{g_2}\left[ {5 - 2x} \right]\] có tập xác định là khoảng \[\left[ { - \infty ;{5 \over 2}} \right]\].
- Ta có \[x^2-2x > 0 \Leftrightarrow x< 0\] hoặc \[x>2\] . Vậy hàm số \[y =lo{g_3}[{x^2} - 2x]\] có tập xác định là khoảng \[[-∞; 0] ∪ [2;+∞]\].
- Ta có \[ x^2- 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x< 1\] hoặc \[x> 3\]. vậy hàm số \[y= log_{\frac{1}{5}}\left [ x^{2} -4x+3 \right ]\] có tập xác định là \[[-∞; 1] ∪ [3;+∞]\].
- Ta có \[\frac{3x+2}{1-x} > 0\] \[\Leftrightarrow [3x+2] [1-x] > 0\] \[\Leftrightarrow\] \[-\frac{2}{3} < x