Giải bài toán đồ thị bằng cách gọi hàm phụ

Hàm số và đồ thị là một kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán trung học cơ sở. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về ứng dụng của đồ thị hàm số bậc 3 trong việc giải các bài tập toán. Đây là một trong những dạng thường xuất hiện ở các đề thi cuối cấp cũng như tuyển sinh lên lớp 10. Cùng tham khảo nhé:

I. Đồ thị hàm số bậc 3 - Lý thuyết cơ bản

1. Các bước khảo sát hàm số bất kì.

Xét hàm y=f(x), để khảo sát hàm số, ta thực hiện theo các bước như sau:

• Tìm tập xác định.
• Xét sự biến thiên:
  • Tìm đạo hàm y’
  • Tìm ra các điểm làm y’=0 hoặc y’ không xác định.
  • Xét dấu y’, từ đó kết luận chiều biến thiên.
• Xác định cực trị, tìm giới hạn, vẽ bảng biến thiên.
• Vẽ đồ thị hàm số.

2. Khảo sát hàm số bậc 3.

Cho hàm số bậc 3 dạng:

• Tập xác định: D=R
• Sự biến thiên
  • Tính đạo hàm:
  • Giải phương trình y’=0.
  • Xét dấu y’, từ đó suy ra chiều biến thiên.
• Tìm giới hạn. Chú ý: hàm bậc ba nói riêng và các hàm đa thức nói chung không có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Sau đó vẽ bảng biến thiên.
• Vẽ đồ thị: ta tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị, thường là giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành.
• Khi nhận xét, chú ý rằng đồ thị hàm bậc 3 nhận 1 điểm làm tâm đối xứng (là nghiệm của phương trình y’’=0), gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số bậc 3.

Đăng Ký Học Ngay: Toán Thầy Thế 12 – Chuyên đề kiến thức lớp 12

3. Dạng đồ thị hàm số bậc 3:

Cho hàm số bậc 3 dạng:

Đạo hàm

Ta xảy ra các trường hợp bên dưới:

• Phương trình y’=0 tồn tại hai nghiệm phân biệt:

• Phương trình y’=0 có nghiệm kép.

• Phương trình y’=0 vô nghiệm.

Ví dụ 1: Khảo sát đồ thị của hàm số bậc 3 sau: y=x3+3x2-4.

Hướng dẫn:

Bài này là một bài kinh điển, để khảo sát, lần lượt thực hiện theo các bước:

Tập xác định: D=R

Sự biến thiên:

Tìm giới hạn:

Vẽ bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại yCD=0

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yCT=-4

Vẽ đồ thị:

Xác định điểm đặc biệt:

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y=0, hay

Vậy giao điểm với trục hoành là (-2;0) và (1;0)

• Giao điểm với trục tung: ta thế x=0 vào hàm số y, được y=-4.

Vậy giao điểm với trục tung là (0;-4).

• Điểm uốn:
  Vậy điểm uốn của đồ thị là (-1;-2) Ta thu được đồ thị sau:

Nhận xét: cách trình bày trên phù hợp với các bài toán tự luận, ngoài ra đồ thị hàm số bậc 3 còn được sử dụng rộng rãi trong các bài toán trắc nghiệm mà ở đó, đòi hỏi những kỹ năng nhận dạng một cách nhanh chóng, chính xác để tìm ra đáp án bài toán.

Ví dụ 2: Hãy tìm hàm số có đồ thị là hình dưới đây:

1. y=x3-3x+1
2. y=-x3+3x2+1
3. y=-x3+x2+3
4. y=x3-3x2+3x+1

Hướng dẫn:

Dựa vào dạng đồ thị, ta có a>0. Hiển nhiên B, C bị loại.

Hàm số này không có cực trị, nên loại đáp án A.

Vậy đáp án D đúng.

Nhận xét: bài toán này, các bạn có thể lý luận theo một cách khác, để ý hàm số đi qua điểm (0;1), vậy loại đáp án C. Mặt khác, đồ thị đi qua (1;2) nên loại A, B. Vậy suy ra đáp án D đúng.

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 3:

Tìm đáp án chính xác:

1. a<0, b>0, c>0, d>0.
2. a<0, b<0, c=0, d>0.
3. a>0, b<0, c>0, d<0.
4. a<0, b>0, c=0, d>0.

Hướng dẫn:

Từ hình vẽ đồ thị, dễ dàng nhận thấy a<0.

Mặt khác khi thay x=0, ta có y=d. Điểm (0;d) là giao của đồ thị với trục tung, suy ra d>0.

Lại có:

• Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, nên y’(0)=0, suy ra c=0. Loại đáp án A.

lúc này y’=0, suy ra x=0 hoặc x=-2b/3a. Lại dựa vào đồ thị, nhận thấy hoành độ điểm cực đại dương nên -2b/3a>0, kết hợp với a<0 suy ra b>0.